2019-2020年高中數(shù)學(xué)模塊綜合檢測(cè)教學(xué)案蘇教版選修4-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)模塊綜合檢測(cè)教學(xué)案蘇教版選修4-2 1.(本小題滿分10分)曲線9x2+4y2=1在→=伸壓變換下變成另一曲線C,求曲線C的方程. 解:伸壓變換矩陣為M=,由= ,得即其中點(diǎn)P(x,y)在曲線9x2+4y2=1上,所以有92+42=1,即x′2+y′2=1. 故曲線C的方程為x2+y2=1. 2.(本小題滿分10分)二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,-1)與(-2,1)分別變換成點(diǎn)(-1,-1)與(0,-2). (1)求矩陣M; (2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m:x-y-4=0,求l的方程. 解:(1)設(shè)M=, 則有 =, =, 所以且解得 所以M=. (2)因?yàn)椋?=, 且x′-y′-4=0,所以(x+2y)-(3x+4y)-4=0, 整理得x+y+2=0, 所以直線l的方程為x+y+2=0. 3.(本小題滿分10分)已知M=,N=,求二階方陣X,使MX=N. 解:設(shè)X=, 據(jù)題意有 =, 根據(jù)矩陣乘法法則有 解得所以X=. 4.(本小題滿分10分)變換T1是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M1;變換T2對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M2=. (1)求點(diǎn)P(2,1)在T1作用下的點(diǎn)P′的坐標(biāo); (2)求曲線2x2-2xy+y2=1先在T1旋轉(zhuǎn)變換作用下,后在T2變換的作用下所得曲線的方程. 解:(1)由題意知M1=, 故M1= =, 所以點(diǎn)P(2,1)在T1作用下的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是(-1,2). (2)由題意得M=M2M1=, 設(shè)是變換后的圖像上任意一點(diǎn),與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是,則M=,也就是即代入2x-2x0y0+y=1,得2y2-2y(y-x)+(y-x)2=1,即x2+y2=1. 所以所求曲線的方程是x2+y2=1. 5.(本小題滿分10分)在直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0),B(1,1),C(0,2),求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積.這里M=,N=. 解:在矩陣N=的作用下,一個(gè)圖形變換為其繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的圖形, 在矩陣M=的作用下,一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖形. 所以△ABC在矩陣MN的作用下變換所得到的圖形與△ABC全等, 從而其面積等于△ABC的面積,即為21=1. 6.(本小題滿分10分)已知矩陣A=,B=. (1)計(jì)算AB; (2)若矩陣B把曲線:x2-y2=1變?yōu)榍€C′,求曲線C′的方程. 解:(1)AB=. (2)任取直線l上一點(diǎn)P(x,y),經(jīng)矩陣B變換后為點(diǎn)P′(x′,y′), 則= =, ∴ ∴ 代入x2-y2=1,得(x′+2y′)2-y′2=1, ∴x′2+4x′y′+3y′2=1. ∴曲線C′的方程為x2+4xy+3y2=1. 7.(本小題滿分10分)已知二階矩陣A的特征值λ1=3及其對(duì)應(yīng)向量α1=,特征值λ2=-1及其對(duì)應(yīng)向量α2=,求矩陣A的逆矩陣A-1. 解:設(shè)二階矩陣A=(a,b,c,d∈R),則有 =3, 且 =-, 即且 解得a=1,b=2,c=2,d=1. 所以A=,從而A-1=. 8.(本小題滿分10分)給定矩陣M=及向量α=. (1)求矩陣M的特征值及與各自對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1,e2; (2)確定實(shí)數(shù)a,b,使向量α可以表示為α=ae1+be2; (3)利用(2)中的表達(dá)式計(jì)算M3α,Mnα. 解:(1)矩陣M的特征多項(xiàng)式 f(λ)= =(λ-2)(λ-1)-30=(λ-7)(λ+4). 令f(λ)=0,解得矩陣M的特征值λ1=-4,λ2=7. 易求得屬于特征值λ1=-4的一個(gè)特征向量e1=, 屬于特征值λ2=7的一個(gè)特征向量e2=. (2)由(1)可設(shè)=a+b, 解得a=1,b=3,所以α=e1+3e2. (3)M3α=M3(e1+3e2)=M3e1+3M3e2 =(-4)3+373 ==. Mnα=Mn(e1+3e2)=Mne1+3Mne2 =(-4)n+37n =. 9.(本小題滿分10分)曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=的作用下變換為曲線x2-2y2=1. (1)求a,b的值;(2)求M的逆矩陣. 解:(1)設(shè)P(x,y)為曲線x2-2y2=1上任意一點(diǎn), P′(x′,y′)為曲線x2+4xy+2y2=1上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn), 則 =,即, 代入得(x′+ay′)2-2(bx′+y′)2=1, 即(1-2b2)x′2+(2a-4b)x′y′+(a2-2)y′2=1, 即為方程x2+4xy+2y2=1,比較系數(shù)得, 解得a=2,b=0. (2)因?yàn)閐et(M)==1≠0, 故M-1==. 10.(本小題滿分10分)已知矩陣A=(BC)-1,其中B=,C=,求A特征值λ1,λ2及對(duì)應(yīng)的特征向量α1,α2. 解:由B=,得B-1=, 由C=,得C-1=, 所以A=(BC)-1=C-1B-1 = =. 矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)==(λ-3)(λ+1). 令f(λ)=0,得A的特征值為λ1=3,λ2=-1. 當(dāng)λ1=3時(shí),由 =3, 得 所以y=0,取x=1,得到A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α1=; 當(dāng)λ2=-1時(shí),由 =-,得 取x=1,則y=-4,得到A屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為α2=.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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