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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第八課時(shí) 算法案例教案 蘇教版必修3
教學(xué)目標(biāo)：
本節(jié)通過(guò)算法案例的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解算法的含義，掌握算法設(shè)計(jì)的常用方法.
教學(xué)重點(diǎn)：
如何在偽代碼中運(yùn)用條件語(yǔ)句.
教學(xué)難點(diǎn)：
如何在偽代碼中運(yùn)用條件語(yǔ)句.
教學(xué)過(guò)程：
Ⅰ.課題導(dǎo)入
1.中國(guó)古代數(shù)學(xué)中算法的內(nèi)容是非常豐富的，比如，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中介紹了下述“約分術(shù)”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”給出了求任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的一種算法，被后人稱(chēng)為“更相減損術(shù)”.這種方法與歐氏的輾轉(zhuǎn)相除法異曲同工，本質(zhì)上是相同的.
2.中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共井問(wèn)題就是一個(gè)不定方程組問(wèn)題，公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題標(biāo)志著中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究.秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來(lái).研究不定方程要解決三個(gè)問(wèn)題：①判斷何時(shí)有解；②有解時(shí)決定解的個(gè)數(shù)；③求出所有的解.
二分法是用計(jì)算機(jī)求解多項(xiàng)式方程的一種常用方法.基本思想是：如果?。踑，b］的中點(diǎn)x0=（a+b）/2；若f(x0)=0，則x0就是方程的根，若f(a)f(x0)>0，則解在（x0，b）上，以x0代替a，否則解在（a，x0）之間，以x0代替b，重復(fù)上述步驟，直到|a－b|
b），求它們的最大公約數(shù).
解析：求兩個(gè)正整數(shù)a、b（a>b）的最大公約數(shù)，可以歸結(jié)為求一數(shù)列：
a，b，r1，r2，…，rn－1，rn，rn+1，0
此數(shù)列的首項(xiàng)與第二項(xiàng)是a和b，從第三項(xiàng)開(kāi)始的各項(xiàng)，分別是前兩項(xiàng)相除所得的余數(shù)，如果余數(shù)為0，它的前項(xiàng)rn+1即是a和b的最大公約數(shù)，這種方法叫做歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法，其算法如下：
S1 輸入a，b（a>b）；
S2 求a/b的余數(shù)r；
S3 如果r≠0，則將b→a，r→b，再次求a/b的余數(shù)r，轉(zhuǎn)至S2；
S4 輸出最大公約數(shù)b.
偽代碼如下：
10 Read a，b
20 r←mod（a，b）
30 If r=0 then Goto 80
40 Else
50 a←b
60 b←r
70 Goto 20
80 Print b
流程圖如下：
點(diǎn)評(píng)：算法的多樣性：對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，可以有不同的算法.例如求1+2+3+…+100的和，可以采用如下方法：先求1+2，再加3，再加4，一直加到100，最后得到結(jié)果5050.也可以采用這樣的方法：1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=50101=5050.顯然，對(duì)于算法來(lái)說(shuō)，后一種方法更簡(jiǎn)便，而循環(huán)累加更適用于計(jì)算機(jī)解題.因此，為了有效地進(jìn)行解題，不僅要保證算法正確，還要選擇好的算法，即方法簡(jiǎn)單、運(yùn)算步驟少，能迅速得出正確結(jié)果的算法.
例5：求1734，816，1343的最大公約數(shù).
分析：三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)分別是每個(gè)數(shù)的約數(shù)，因此也是任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)，也就是說(shuō)三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與第三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).
解：用“輾轉(zhuǎn)相除法”.
先求1734和816的最大公約數(shù)，
1734=8162+102；
816=1028；
所以1734與816的最大公約數(shù)為102.
再求102與1343的最大公約數(shù)，
1343=10213+17；
102=176.
所以1343與102的最大公約數(shù)為17，即1734，816，1343的最大公約數(shù)為17.
例6：猴子吃桃問(wèn)題：有一堆桃子不知數(shù)目，猴子第一天吃掉一半，覺(jué)得不過(guò)癮，又多吃了一只，第二天照此辦法，吃掉剩下桃子的一半另加一個(gè)，天天如此，到第十天早上，猴子發(fā)現(xiàn)只剩一只桃子了，問(wèn)這堆桃子原來(lái)有多少個(gè)？
解析：此題粗看起來(lái)有些無(wú)從著手的感覺(jué)，那么怎樣開(kāi)始呢？假設(shè)第一天開(kāi)始時(shí)有a1只桃子，第二天有a2只……第9天有a9只，第10天有a10只.在a1，a2，…，a10中，只有a10=1是知道的，現(xiàn)要求a1，而我們可以看出a1，a2，…，a10之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系：
a9=2（a10+1），
a8=2（a9+1），
a1=2（a2+1）.
也就是：ai=2（ai+1+1） i=9，8，7，6，…，1.
這就是此題的數(shù)學(xué)模型.
再考察上面從a9，a8直至a1的計(jì)算過(guò)程，這其實(shí)是一個(gè)遞推過(guò)程，這種遞推的方法在計(jì)算機(jī)解題中經(jīng)常用到.另一方面，這九步運(yùn)算從形式上完全一樣，不同的只是ai的下標(biāo)而已.由此，我們引入循環(huán)的處理方法，并統(tǒng)一用a0表示前一天的桃子數(shù)，a1表示后一天的桃子數(shù)，將算法改寫(xiě)如下：
S1 a1←1；｛第10天的桃子數(shù)，a1的初值｝
S2 i←9；｛計(jì)數(shù)器初值為9｝
S3 a0←2（a1+1）；｛計(jì)算當(dāng)天的桃子數(shù)｝
S4 a1←a0；｛將當(dāng)天的桃子數(shù)作為下一次計(jì)算的初值｝
S5 i←i－1；
S6 若i≥1，轉(zhuǎn)S3；
S7 輸出a0的值；
偽代碼如下：
10 a1←1
20 i←9
30 a0←2（a1+1）
40 a1←a0.
50 i←i－1
60 If i≥1 then Goto 30
70 Else
80 Print a0
流程圖如下：
點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)從具體到抽象的過(guò)程，具體方法：
（1）弄清如果由人來(lái)做，應(yīng)該采取哪些步驟；
（2）對(duì)這些步驟進(jìn)行歸納整理，抽象出數(shù)學(xué)模型；
（3）對(duì)其中的重復(fù)步驟，通過(guò)使用相同變量等方式求得形式的統(tǒng)一，然后簡(jiǎn)練地用循環(huán)解決.
Ⅲ.課堂練習(xí)
課本P30 1，2.
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
算法是在有限步驟內(nèi)求解某一問(wèn)題所使用的一組定義明確的規(guī)則.通俗點(diǎn)說(shuō)，就是計(jì)算機(jī)解題的過(guò)程.
1.本節(jié)通過(guò)對(duì)解決具體問(wèn)題過(guò)程與步驟的分析（如求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)），體會(huì)算法的思想，進(jìn)一步了解算法的含義.
2.本節(jié)通過(guò)閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，如約分術(shù)，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn).通過(guò)學(xué)生自己的親身實(shí)踐，親自去解決幾個(gè)算法設(shè)計(jì)的問(wèn)題，才能體會(huì)到算法的基本思想.數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容與算法密切相關(guān)，如函數(shù)、數(shù)列等.我們?cè)趯W(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)要和算法聯(lián)系起來(lái)
Ⅴ.課后作業(yè)
課本P31 1，3.
變式練習(xí)
1.數(shù)4557、1953、5115的最大公約數(shù)是（ ?。?
A.31 B.93 C.217 D.651
答案：B
2.下面的偽代碼的算法目的是（ ?。?
10 Read x，y
20 m←x
30 n←y
40 If m/n=int（m/n） then Goto 90
50 c←m－int（m/n）n
60 m←n
70 n←c
80 Goto 40
90 a←（xy）/n
100 Print a
A.求x，y的最小公倍數(shù)
B.求x，y的最大公約數(shù)
C.求x被y整除的商
D.求y除以x的余數(shù)
答案：B
3.下面的偽代碼的算法目的是 .
Read X，Y
If X>Y then
Print X
Else
Print Y
End if
答案：輸出x，y兩個(gè)值中較大的一個(gè)值
4.下面的偽代碼的算法目的是 .
Read a，b，c，
If a>b then
t←a
a←b
b←t
Else if a>c then
t←a
a←c
c←t
Else if b>c then
t←b
b←c
c←b
End if
Print a，b，c
答案：輸入三個(gè)數(shù)，要求由小到大的順序輸出
5.流程圖填空：
輸入x的值，通過(guò)函數(shù)y=求出y的值.其算法流程圖如下：
答案：①x?、?≤x<10?、?x－11
6.根據(jù)下面的流程圖寫(xiě)出其算法的偽代碼.
答案：解：這是計(jì)算2+4+6+…+200的一個(gè)算法，可以用循環(huán)語(yǔ)句表示為
T←0
For I from 2 to 200 step 2
T←T+I
End for
7.輸入一個(gè)華氏溫度，要求輸出攝氏溫度.公式為C=（F－32）.寫(xiě)出其算法的偽代碼.
答案：解：這是順序結(jié)構(gòu).其偽代碼如下：
Read F
C←（F－32）
Print C
8.一個(gè)小球從100 m高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下.設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求它在第10次落地時(shí)共經(jīng)過(guò)多少米？第10次反彈多高？畫(huà)出流程圖并用偽代碼表示.
答案：解：這是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，可以用循環(huán)語(yǔ)句實(shí)現(xiàn).
偽代碼：
S←100
H←S/2
For n from 2 to10
S←S+2H
H←H/2
End for
Print S，H
流程圖：
9.用秦九韶算法求多項(xiàng)式
f(x)=3x6+12x5+8x4－3.5x3+7.2x2+5x－13當(dāng)x=6時(shí)的值.
答案：243168.2.
10.區(qū)間二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步驟為
S1 取［a，b］的中點(diǎn)x0=（a+b）/2；
S2 若f(x0)=0，則x0就是方程的根，否則
若f(a)f(x0)>0，則a←x0；否則b←x0；
S3 若|a－b|
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