2019-2020年高一數(shù)學(xué)下 6.4《反三角函數(shù)》教案（2）滬教版.doc

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2019-2020年高一數(shù)學(xué)下 6.4《反三角函數(shù)》教案（2）滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 根據(jù)反函數(shù)的概念，余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）沒有反函數(shù).但是如果我們適當(dāng)選取實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集[0，π]，那么函數(shù)y=cosx，x∈[0，π]就存在反函數(shù)，為什么要選取[0，π]，教師要引導(dǎo)學(xué)生作必要的討論和說明.類比反正弦函數(shù)的定義，我們把函數(shù)y=cosx，x∈[0，π]的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx，x∈[-1，1]，學(xué)生對符號(hào)的arccosx的理解比較困難，前面符號(hào)中的x必須滿足|x|≤1，arccosx是[0，π]上的一個(gè)角的弧度數(shù)，這個(gè)角的余弦值為x.根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系，函數(shù)y=arccosx，x∈[-1，1]的圖像和函數(shù)y =cosx，x∈[0，π]的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱，這樣容易作出反余弦函數(shù)的圖像，根據(jù)其圖像可以得到反余弦函數(shù)y=arccosx，x∈[-1，1]既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是單調(diào)遞減.類似地，把正切函數(shù)y=tanx，x∈（-，）的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctanx，x∈（-∞，∞），根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系，函數(shù)y=arctanx，x∈（-∞，∞）的圖像和函數(shù)y = tanx，x∈（-，）的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱，這樣容易作出反正切函數(shù)的圖像，根據(jù)其圖像可以得到反正切函數(shù)y= arctanx，x∈（-∞，∞）是奇函數(shù)，單調(diào)遞增. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1．理解函數(shù)y=cosx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+，k∈Z）沒有反函數(shù)；理解函數(shù)y=cosx， x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-，）有反函數(shù)；理解反余弦函數(shù)y=arccosx，反正切函數(shù)y=arctanx的概念，掌握反余弦函數(shù)的定義域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函數(shù)的定義域是（-∞，∞），值域是（-，）. 2．知道反余弦函數(shù)y=arccosx ，x∈[-1，1]和反正切函數(shù)y= arctanx，x∈（-∞，∞）的圖像. 3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=- arctanx，x∈（-∞，∞）. 4．能夠熟練計(jì)算特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值，并能用反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示角. 5．會(huì)用類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想分析和思考問題. 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：理解反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念以及他們的符號(hào)的本質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn)：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的證明及其使用. 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 直尺、多媒體設(shè)備 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的定義 （ 師生討論、探究、提煉概念） 反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的 圖象與性質(zhì) 互為反函數(shù) 的兩個(gè)函數(shù) 的圖象與性 質(zhì)的關(guān)系 余弦函數(shù)、正切函數(shù) 的圖象 與性質(zhì) 應(yīng)用舉例(求特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值、用反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示角、運(yùn)用反余弦和反正切恒等式化簡或求值) 鞏固、反饋、總結(jié)、反思、作業(yè) 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、 情景引入 1．復(fù)習(xí) 我們學(xué)習(xí)過反正弦函數(shù)，知道，對于函數(shù)y=sinx，x∈R，不存在反函數(shù)；但在[]存在反函數(shù). 2．思考 那么余弦函數(shù)和正切函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？ [說明] 因?yàn)閷τ谌我挥嘞抑岛驼兄刀加袩o數(shù)個(gè)角值與之對應(yīng).余弦函數(shù)和正切函數(shù)的自變量與因變量是多對一的.故而不存在反函數(shù). 3．討論 余弦函數(shù)和正切函數(shù)不存在反函數(shù).但選取怎樣的區(qū)間使得或y=tanx在對應(yīng)區(qū)間上存在反函數(shù)呢.因變量可以確定自變量，余弦值或正切值可以表示相應(yīng)的角值，并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的余弦值或正切值表示就可以了.學(xué)生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間，使得或y=tanx存在反函數(shù)呢？ 這個(gè)區(qū)間的選擇依據(jù)兩個(gè)原則： （1）和y=tanx在所取對應(yīng)區(qū)間上存在反函數(shù)； （2）能取到的一切函數(shù)值，y=tanx一切函數(shù)值R. 可以選取閉區(qū)間[0，π]，使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)；可以選取閉區(qū)間（-，），使得y=tanx在該區(qū)間上存在反函數(shù)，這個(gè)反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反余弦函數(shù)和反正切函數(shù). 二、學(xué)習(xí)新課 1．概念辨析 （1）反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的定義： 余弦函數(shù)y=cosx， x∈[0，π]的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx，x∈[-1，1]； 正切函數(shù)y=tanx， x∈（-，）的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctanx，x∈（-∞，∞）； （2）反正弦函數(shù)的性質(zhì)： ①圖像 y=arccosx y= arctanx ②定義域：函數(shù)y=arccosx的定義域是[-1，1]；函數(shù)y= arctanx的定義域是R. ③值域：函數(shù)y=arccosx的值域是[0，π]；函數(shù)y= arctanx的值域是（-，）. ④奇偶性：函數(shù)y=arccosx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函數(shù)y= arctanx是奇函數(shù)，即arctan（-x）=-arctanx. ⑤單調(diào)性：函數(shù)y=arccosx是減函數(shù)；函數(shù)y= arctanx是增函數(shù). [說明]互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)y=cosx，x∈[0，π]與函數(shù)y=arccosx，x∈[-1，1]的圖像關(guān)于直線對稱；函數(shù)y=tanx，x∈（-，）與函數(shù)y=arctanx，x∈R的圖像關(guān)于直線對稱. 2．例題分析 例1．求下列反三角函數(shù)的值： （1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0； （4）arctan1；（5）arctan（-） 解：（1）因?yàn)閏os=，且∈[0，π]，所以arccos=. （2）因?yàn)閏os=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=. （3）因?yàn)閏os=0，且∈[0，π]，所以arccos0=. （4）因?yàn)閠an=1，且∈（-，），所以arctan1=. （5）因?yàn)閠an（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-. 例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分別用反正弦函數(shù)值、反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示∠A、∠B、∠C. 解：因?yàn)锳C2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有 ∠A= arcsin= arccos=arctan； ∠B== arcsin1= arccos0； ∠C= arcsin= arccos=arctan. 例3．化簡下列各式： （1）arccos（cos）；（2）sin[arccos]；（3）cos[arctan（-1）] 解：（1）因?yàn)椤蔥0，π]，設(shè)cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=. （2）因?yàn)閍rccos=，所以sin[arccos]=sin=. （3）因?yàn)閍rctan（-1）=-，所以cos[arctan（-1）]= cos(-)=. 例4．求下列函數(shù)的反函數(shù)f-1（x），并指出反函數(shù)的定義域和值域. (1) f（x）=+arccos；（2）f（x）=3π-arctan（2x-1） 解：（1）設(shè)y=+arccos，則arccos= y-，因?yàn)椤蔥-1，1]，arccos∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，得=cos（y-），即x=2cos（y-）.將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）=2cos（x-），定義域是[，]，值域是[-2，2]. （2）設(shè)y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因?yàn)椋?x-1）∈R ，arctan（2x-1）∈（-，），所以x∈R，y∈（，），根據(jù)反正切函數(shù)的定義，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）=（1-tanx），定義域是（，），值域是R. 3．問題拓展 例1．證明等式：arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1] 證明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1] ∴cos[arccos（-x）]= -x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x 又因?yàn)閍rccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arccos（-x）∈[0，π]，且余弦函數(shù)在[0，π]上單調(diào)遞減，所以arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]. 例2．證明等式：arctan（-x）=-arctanx，xR. 證明：因?yàn)閠an arctan（-x）=-x，tan（-arctanx）=-tan arctanx， 又由arctanx（-，），得-arctanx（-，），再有arctan（-x）（-，），且正切函數(shù)在（-，）上單調(diào)遞增，所以arctan（-x）=-arctanx，xR. [說明]可以通過以上恒等式的證明形成學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力，但教師應(yīng)根據(jù)學(xué)校學(xué)生的實(shí)際情形進(jìn)行選擇. 三、鞏固練習(xí) 判斷下列各式是否成立?簡述理由. （1）cos（arccos）=；（2）arctan=；（3）arcsin（-）= arcos(-)；（4）arccos+ arccos(-)=0；（5）arctan+ arc tan(-)=0. 解：（1）式不成立，因?yàn)閇-1，1]，故arccos無意義；（2）式不成立，因?yàn)槠鋵?yīng)關(guān)系搞錯(cuò)了；（3）式不成立，理由是把反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)的值域搞錯(cuò)了，事實(shí)上arcsin（-）=-，而arcos(-)=，兩者不等；（4）式不成立，因?yàn)榘训仁絘rccos（-x）=π-arccosx錯(cuò)記成arccos（-x）=-arccosx；（5）式成立，因?yàn)榈仁絘rctan（-x）=-arctanx. 四、課堂小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)： （1）反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的定義； （2）反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的性質(zhì). 五、作業(yè)布置 書上練習(xí)6.4(2)中的1、2、3、4 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1．關(guān)于教學(xué)內(nèi)容 本節(jié)課是基于學(xué)習(xí)了反正弦函數(shù)之后，類比反正弦函數(shù)的概念，學(xué)生掌握反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念相對比較容易，所以這節(jié)課的主要力量要花在反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的應(yīng)用上，特別要注意反正弦函數(shù)值和反余弦函數(shù)值所表示的角的范圍的區(qū)別以及反正弦和反余弦恒等式的區(qū)別. 2．關(guān)于教學(xué)方法 為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，體現(xiàn)學(xué)生的自主式學(xué)習(xí)，我選用了啟發(fā)、自我探究的教學(xué)方式.在課堂教學(xué)過程中，始終貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析和概括，使學(xué)生能根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識(shí)的準(zhǔn)備：已掌握三角函數(shù)的概念及性質(zhì)、反函數(shù)，自主探究反余弦函數(shù)及其反正切函數(shù)的性質(zhì)