2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 19空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示課時作業(yè) 新人教A版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 19空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示課時作業(yè) 新人教A版選修2-1 1．已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a(chǎn),2b，b－c D．c，a＋c，a－c 解析：對于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，則3a，a－b，a＋2b共面，不能作為基底；同理可判斷B、D錯誤． 答案：C 2．如圖，在四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，則＝(　　) A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 解析：連結(jié)ON，＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c. 答案：B 3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為{2,1,3}，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，則向量在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(　　) A．(7,3,12)　　　 B．(3,7,12) C．(2,4,6) D．(8,3,12) 解析：＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k. ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,3,12)． 答案：D 4．已知平行六面體OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四邊形OABC的對角線的交點(diǎn)，則(　　) A.＝－a＋b＋c B.＝－b－a－c C.＝a－b－c D.＝a－b＋c 解析：＝＋＝－＋(＋)＝ －＋＝a－b＋c. 答案：D 5．設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖，由已知＝ ＝(＋) ＝ ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋， 從而x＝y(tǒng)＝z＝. 答案：A 6．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則向量p在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 解析：依題意知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(12,14,10)． 答案：A 7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點(diǎn)共線，則m＋n＝__________. 解析：因?yàn)椋?m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，由題意，得∥，則＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0. 答案：0 8．已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝__________，y＝________. 解析：因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有 解得 答案：1?。? 9．正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，則λ＝________. 解析：連接A1C1，C1D，則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上易知EF綊A1D， ∴＝，即－＝0. ∴λ＝－. 答案：－ 10．棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱DD1，D1C1，BC的中點(diǎn)，以{，，}為基底，求下列向量的坐標(biāo)： (1)，，； (2)，，. 解：(1)＝＋＝＋ ＝＋＝， ＝＋＝＋＝， ＝＋＋＝＋＋＝. (2)＝－＝－＝＋＝. ＝－＝－＝－－＝， ＝－＝＋－＝－＝. B組　能力提升 11．若向量，，的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合且無三點(diǎn)共線，則能使向量、、成為空間一組基底的關(guān)系是(　　) A.＝＋＋ B.＝＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 解析：對于選項(xiàng)A，由結(jié)論＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面知，，，共面；對于B，D選項(xiàng)，易知、、共面，故只有選項(xiàng)C中、、不共面． 答案：C 12．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1、e2、e3為空間一個基底)且d＝xa＋yb＋zc，則x、y、z的值分別為(　　) A.，－，－1 B.，，1 C．－，，1 D.，－，1 解析：d＝xa＋yb＋zc ＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3 又∵d＝e1＋2e2＋3e3 ∴ 解得：x＝，y＝－，z＝－1. 答案：A 13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的三等分點(diǎn)，且|NC|＝2|PN|，|AM|＝2|MB|，|PA|＝|AB|＝1，求的坐標(biāo)． 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)．分別以DA，AB，AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， ＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋－) ＝－＋＋ 又∵||＝||＝1，∴＝. 14．如圖，設(shè)四面體OABC的三條棱＝a，＝b，＝c，G為△BCD的重心，以{a，b，c}為空間基底表示向量，. 解析：由G為△BCD的重心易知E為AC的中點(diǎn)， ∴＝(＋)＝[(－)＋(－)] ＝[(a－b)＋(c－b)]＝(a＋c－2b)， ＝＋＝b＋＝b＋(a＋c－2b) ＝(a＋b＋c)． 15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐標(biāo)． 解析：由已知p＝2a＋3b－c，設(shè)p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc. 由向量分解的唯一性， 有解得 ∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐標(biāo)為(－1,4，－1)．