2019-2020年高中數(shù)學(xué)《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必修3 導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 大家都喜歡吃蘋果吧，我們吃蘋果都是從外到里一口一口的吃，而蟲子卻是先鉆到蘋果里面從里到外一口一口的吃，由此看來處理同一個問題的方法多種多樣.怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時的值呢？方法也是多種多樣的，今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)， 今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 （1）求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時的值有哪些方法？比較它們的特點. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎樣評價一個算法的好壞？ 討論結(jié)果： （1）怎樣求多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時的值呢？ 一個自然的做法就是把5代入多項式f(x)，計算各項的值，然后把它們加起來，這時，我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算. 另一種做法是先計算x2的值，然后依次計算x2x，（x2x）x，（（x2x）x）x的值，這樣每次都可以利用上一次計算的結(jié)果，這時，我們一共做了4次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算. 第二種做法與第一種做法相比，乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了，因而能夠提高運(yùn)算效率，對于計算機(jī)來說，做一次乘法運(yùn)算所用的時間比做一次加法運(yùn)算要長得多，所以采用第二種做法，計算機(jī)能更快地得到結(jié)果. （2）上面問題有沒有更有效的算法呢？我國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202~1261）在他的著作《數(shù)書九章》中提出了下面的算法： 把一個n次多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改寫成如下形式： f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =（anxn-1+an-1xn-2+…+a1）x+ a0 =（（anxn-2+an-1xn-3+…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0. 求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即 v1=anx+an-1， 然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即 v2=v1x+an-2， v3=v2x+an-3， … vn=vn-1x+a0， 這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值. 上述方法稱為秦九韶算法.直到今天，這種算法仍是多項式求值比較先進(jìn)的算法. （3）計算機(jī)的一個很重要的特點就是運(yùn)算速度快，但即便如此，算法好壞的一個重要標(biāo)志仍然是運(yùn)算的次數(shù).如果一個算法從理論上需要超出計算機(jī)允許范圍內(nèi)的運(yùn)算次數(shù)，那么這樣的算法就只能是一個理論的算法. 應(yīng)用示例 例1 已知一個5次多項式為f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)x=5時的值. 解：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式： f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8， 按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)x=5時的值： v0=5； v1=55+2=27; v2=275+3.5=138.5; v3=138.55-2.6=689.9; v4=689.95+1.7=3 451.2; v5=3 415.25-0.8=17 255.2; 所以，當(dāng)x=5時，多項式的值等于17 255.2. 算法分析：觀察上述秦九韶算法中的n個一次式，可見vk的計算要用到vk-1的值，若令v0=an，我們可以得到下面的公式： 這是一個在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn). 算法步驟如下： 第一步，輸入多項式次數(shù)n、最高次的系數(shù)an和x的值. 第二步，將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1. 第三步，輸入i次項的系數(shù)ai. 第四步，v=vx+ai,i=i-1. 第五步，判斷i是否大于或等于0.若是，則返回第三步；否則，輸出多項式的值v. 程序框圖如下圖： 程序： INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i＞=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END 點評：本題是古老算法與現(xiàn)代計算機(jī)語言的完美結(jié)合，詳盡介紹了思想方法、算法步驟、程序框圖和算法語句,是一個典型的算法案例. 變式訓(xùn)練 請以5次多項式函數(shù)為例說明秦九韶算法，并畫出程序框圖. 解：設(shè)f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 首先，讓我們以5次多項式一步步地進(jìn)行改寫： f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0 =（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0 =（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0 =（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0. 上面的分層計算,只用了小括號，計算時，首先計算最內(nèi)層的括號，然后由里向外逐層計算，直到最外層的括號，然后加上常數(shù)項即可. 程序框圖如下圖： 例2 已知n次多項式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一種算法中，計算（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，計算P3(x0)的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計算P10(x0)的值共需要__________次運(yùn)算.下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用該算法，計算P3(x0)的值共需要6次運(yùn)算，計算P10(x0)的值共需要___________次運(yùn)算. 答案：65 20 點評：秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運(yùn)算的次數(shù)最多可到達(dá)，加法最多n次.秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運(yùn)算的次數(shù)減少到最多n次，加法最多n次. 例3 已知多項式函數(shù)f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求當(dāng)x=5時的函數(shù)的值. 解析：把多項式變形為：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7. 計算的過程可以列表表示為： 最后的系數(shù)2 677即為所求的值. 算法過程： v0=2； v1=25－5=5； v2=55－4=21； v3=215+3=108； v4=1085－6=534； v5=5345+7=2 677. 點評：如果多項式函數(shù)中有缺項的話，要以系數(shù)為0的項補(bǔ)齊后再計算. 知能訓(xùn)練 當(dāng)x=2時，用秦九韶算法求多項式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值． 解法一：根據(jù)秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式： f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6. 按照從內(nèi)到外的順序，依次計算一次多項式當(dāng)x=2時的值. v0=3; v1=v02+8=32+8=14; v2=v12-3=142-3=25; v3=v22+5=252+5=55; v4=v32+12=552+12=122; v5=v42-6=1222-6=238. ∴當(dāng)x=2時，多項式的值為238. 解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6， 則f(2)=((((32+8)2－3)2+5)2+12)2－6＝238． 拓展提升 用秦九韶算法求多項式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x當(dāng)x=3時的值. 解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x v0=7； v1=73+6=27； v2=273+5=86； v3=863+4=262； v4=2623+3=789； v5=7893+2=2 369； v6=2 3693+1=7 108； v7=7 1083+0=21 324. ∴f(3)=21 324. 課堂小結(jié) 1.秦九韶算法的方法和步驟. 2.秦九韶算法的計算機(jī)程序框圖. 作業(yè) 已知函數(shù)f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值. 解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8 ∴f(9)=((9－2)9－5)9+8=530. 設(shè)計感想 古老的算法散發(fā)濃郁的現(xiàn)代氣息，這是一節(jié)充滿智慧的課.本節(jié)主要介紹了秦九韶算法. 通過對秦九韶算法的學(xué)習(xí)，對算法本身有哪些進(jìn)一步的認(rèn)識？ 教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、概括，小結(jié)時要關(guān)注如下幾點：（1）算法具有通用的特點，可以解決一類問題；（2）解決同一類問題，可以有不同的算法，但計算的效率是不同的，應(yīng)該選擇高效的算法；（3）算法的種類雖多，但三種邏輯結(jié)構(gòu)可以有效地表達(dá)各種算法等等.