2019-2020年高中數(shù)學(xué)《推理與證明》教案蘇教版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《推理與證明》教案蘇教版選修2-2 掌握歸納推理的技巧,并能運(yùn)用解決實(shí)際問題。 通過“自主、合作與探究”實(shí)現(xiàn)“一切以學(xué)生為中心”的理念。 感受數(shù)學(xué)的人文價(jià)值,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使其體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感。 ●教學(xué)重點(diǎn):歸納推理及方法的總結(jié)。 ●教學(xué)難點(diǎn):歸納推理的含義及其具體應(yīng)用。 ●教具準(zhǔn)備:與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 ●課時(shí)安排:1課時(shí) ●教學(xué)過程: 一.問題情境 (1)原理初探 ①引入:“阿基米德曾對國王說,給我一個(gè)支點(diǎn),我將撬起整個(gè)地球!” ②提問:大家認(rèn)為可能嗎?他為何敢夸下如此海口?理由何在? ③探究:他是怎么發(fā)現(xiàn)“杠桿原理”的? 從而引入兩則小典故:(圖片展示-阿基米德的靈感) A:一個(gè)小孩,為何輕輕松松就能提起一大桶水? B:修筑河堤時(shí),奴隸們是怎樣搬運(yùn)巨石的? 正是基于這兩個(gè)發(fā)現(xiàn),阿基米德大膽地猜想,然后小心求證,終于發(fā)現(xiàn)了偉大的“杠桿原理”。 ④思考:整個(gè)過程對你有什么啟發(fā)? ⑤啟發(fā):在教師的引導(dǎo)下歸納出:“科學(xué)離不開生活,離不開觀察,也離不開猜想和證明”。 歸納推理的發(fā)展過程 觀察 猜想 證明 (2)皇冠明珠 追逐先輩的足跡,接觸數(shù)學(xué)皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。 世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師,也是一位著名的數(shù)學(xué)家,生于1690年,1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年,哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)(只能被和它本身整除的數(shù))之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一個(gè)≥6之偶數(shù),都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 (b) 任何一個(gè)≥9之奇數(shù),都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說,他相信這個(gè)猜想是正確的,但他不能證明。敘述如此簡單的問題,連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明,這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今,許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它,但都沒有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人對33108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗(yàn)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。從此,這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了,沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代,才有人開始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明,得出了一個(gè)結(jié)論:每一個(gè)比大的偶數(shù)都可以表示為(99)。這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學(xué)家們于是從(9十9)開始,逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù),直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止,這樣就證明了“哥德巴赫”。 思考:其他偶數(shù)是否也有類似的規(guī)律? ③討論:組織學(xué)生進(jìn)行交流、探討。 ④檢驗(yàn):2和4可以嗎?為什么不行? ⑤歸納:通過剛才的探究,由學(xué)生歸納“歸納推理”的定義及特點(diǎn)。 3.數(shù)學(xué)建構(gòu) ●把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納). 注:歸納推理的特點(diǎn); 簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。 ●歸納推理的一般步驟: 4.師生活動(dòng) 例1 前提:蛇是用肺呼吸的,鱷魚是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動(dòng)物. 結(jié)論:所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。 例2 前提:三角形的內(nèi)角和是1800,凸四邊形的內(nèi)角和是3600,凸五邊形的內(nèi)角和是5400,…… 結(jié)論:凸n邊形的內(nèi)角和是(n—2)1800。 例3 探究:上述結(jié)論都成立嗎? 強(qiáng)調(diào):歸納推理的結(jié)果不一定成立! —— “ 一切皆有可能!” 5.提高鞏固 ①探索:先讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行思考。 ②活動(dòng):“千里走單騎” — 鼓勵(lì)學(xué)生說出自己的解題思路。 ③活動(dòng):“圓桌會(huì)議” — 鼓勵(lì)其他同學(xué)給予評價(jià),對在哪里?錯(cuò)在哪里?還有沒有更好的方法? 【設(shè)計(jì)意圖】:提供一個(gè)舞臺, 讓學(xué)生展示自己的才華,這將極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,增強(qiáng)學(xué)生的榮譽(yù)感,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了“自主探究”,同時(shí),也鍛煉了學(xué)生敢想、敢說、敢做的能力。 【一點(diǎn)心得】:在“千里走單騎”和“圓桌會(huì)議”的探究活動(dòng)中,教師一定要以“鼓勵(lì)和表揚(yáng)”為主,面帶微笑,消除學(xué)生的恐懼感,提高學(xué)生的自信心. ⑵能力培養(yǎng)(例2拓展) ①思考:怎么求?組織學(xué)生進(jìn)行探究,尋找規(guī)律。 ②歸納:由學(xué)生討論,歸納技巧,得到技巧②和③。 技巧②:有整數(shù)和分?jǐn)?shù)時(shí),往往將整數(shù)化為分?jǐn)?shù). 技巧③:當(dāng)分子分母都在變化時(shí),往往統(tǒng)一分子 (或分母),再尋找另一部分的變化規(guī)律. 6.課堂小結(jié) (1)歸納推理是由部分到整體,從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 (2)歸納推理的一般步驟: 通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì) 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題(猜想) 證明 課題:類比推理 ●教學(xué)目標(biāo): 通過對已學(xué)知識的回顧,認(rèn)識類比推理這一種合情推理的基本方法,并把它用于對問 題的發(fā)現(xiàn)中去。 類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì),類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 正確認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用,養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì),善于發(fā)現(xiàn)問題,探求新知識。 認(rèn)識數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué),完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識。 ●教學(xué)重點(diǎn):了解合情推理的含義,能利用類比進(jìn)行簡單的推理。 ●教學(xué)難點(diǎn):用類比進(jìn)行推理,做出猜想。 ●教具準(zhǔn)備:與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 ●課時(shí)安排:1課時(shí) ●教學(xué)過程: 一.問題情境 從一個(gè)傳說說起:春秋時(shí)代魯國的公輸班(后人稱魯班,被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師)一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破了手,這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子. 他的思路是這樣的: 茅草是齒形的; 茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具; 它也可以是齒形的. 這個(gè)推理過程是歸納推理嗎? 二.?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng) 我們再看幾個(gè)類似的推理實(shí)例。 例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。 等式的性質(zhì): 猜想不等式的性質(zhì): (1) a=ba+c=b+c; (1) a>ba+c>b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a>b ac>bc; (3) a=ba2=b2;等等。 (3) a>ba2>b2;等等。 問:這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確? 例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比. 圓的定義:平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合. 球的定義:到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合. 圓 球 弦←→截面圓 直徑←→大圓 周長←→表面積 面積←→體積 圓的性質(zhì) 球的性質(zhì) 圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦 球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等;與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長 與球心距離相等的兩截面圓相等;與球心距離不等的兩截面圓不等,距球心較近的截面圓較大 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 球的切面垂直于過切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心 ☆上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)(兩類)對象之間在某些方面的相似或相同,推演出他們在其他方面也相似或相同;或其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比). 簡言之,類比推理是由特殊到特殊的推理. 類比推理的一般步驟: ⑴ 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征; ⑵ 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征,從而得出一個(gè)猜想; ⑶ 檢驗(yàn)猜想。即 觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜想新結(jié)論 例3.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論: 試通過類比,寫出在空間中的類似結(jié)論. 鞏固提高 1.(xx年上海)已知兩個(gè)圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為----------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想. 直角三角形 3個(gè)面兩兩垂直的四面體 ∠C=90 3個(gè)邊的長度a,b,c 2條直角邊a,b和1條斜邊c ∠PDF=∠PDE=∠EDF=90 4個(gè)面的面積S1,S2,S3和S 3個(gè)“直角面” S1,S2,S3和1個(gè)“斜面” S 3.(xx,北京)定義“等和數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列是等和數(shù)列,且,公和為5,那么的值為______________,這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為________________ 課堂小結(jié) 1.類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類比得出的結(jié)論就越可靠。 2. 類比推理的一般步驟: ①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。 ②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想) 課 題:演繹推理 教學(xué)目標(biāo):1. 了解演繹推理 的含義。 2. 能正確地運(yùn)用演繹推理 進(jìn)行簡單的推理。 3. 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。 教學(xué)重點(diǎn):正確地運(yùn)用演繹推理 進(jìn)行簡單的推理 教學(xué)難點(diǎn):了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。 教學(xué)過程: 一. 復(fù)習(xí):合情推理 歸納推理 從特殊到一般 類比推理 從特殊到特殊 從具體問題出發(fā)――觀察、分析比較、聯(lián)想――歸納。類比――提出猜想 二. 問題情境。 觀察與思考 1所有的金屬都能導(dǎo)電 銅是金屬, 所以,銅能夠?qū)щ? 2.一切奇數(shù)都不能被2整除, (2100+1)是奇數(shù), 所以, (2100+1)不能被2整除. 3.三角函數(shù)都是周期函數(shù), tan 是三角函數(shù), 所以,tan 是 周期函數(shù)。 提出問題 :像這樣的推理是合情推理嗎? 二.學(xué)生活動(dòng) : 1.所有的金屬都能導(dǎo)電 ←————大前提 銅是金屬, ←-----小前提 所以,銅能夠?qū)щ? ←――結(jié)論 2.一切奇數(shù)都不能被2整除 ←————大前提 (2100+1)是奇數(shù),←――小前提 所以, (2100+1)不能被2整除. ←―――結(jié)論 3.三角函數(shù)都是周期函數(shù), ←——大前提 tan 是三角函數(shù), ←――小前提 所以,tan 是 周期函數(shù)?!D―結(jié)論 三, 建構(gòu)數(shù)學(xué) 演繹推理的定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,這種推理稱為演繹推理. 1.演繹推理是由一般到特殊的推理; 2.“三段論”是演繹推理的一般模式;包括 ⑴大前提---已知的一般原理; ⑵小前提---所研究的特殊情況; ⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷. 三段論的基本格式 M—P(M是P) (大前提) S—M(S是M) (小前提) S—P(S是P) (結(jié)論) 3.三段論推理的依據(jù),用集合的觀點(diǎn)來理解: 若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P. 四,數(shù)學(xué)運(yùn)用 解:二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 (大前提) 例2.已知lg2=m,計(jì)算lg0.8 解 (1) lgan=nlga(a>0)---------大前提 lg8=lg23————小前提 lg8=3lg2————結(jié)論 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提 lg0.8=lg(8/10)——-小前提 lg0.8=lg(8/10)——結(jié)論 例3.如圖;在銳角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E是垂足,求證AB的中點(diǎn)M到D,E的距離相等 解: (1)因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90——-小前提 所以△ABD是直角三角形——結(jié)論 (2)因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半,——大前提 因?yàn)?DM是直角三角形斜邊上的中線,——小前提 所以 DM= AB——結(jié)論 同理 EM= AB 所以 DM=EM. 練習(xí):第35頁 練習(xí)第 1,2,3,4,題 五 回顧小結(jié): 演繹推理具有如下特點(diǎn):課本第33頁 。 演繹推理錯(cuò)誤的主要原因是 1.大前提不成立;2, 小前提不符合大前提的條件。 作業(yè):第35頁 練習(xí) 第5題 。習(xí)題2。1 第4題。 課題:推理案例賞識 課型:新授課 教學(xué)目標(biāo): 1. 了解合情推理和演繹推理 的含義。 2. 能正確地運(yùn)用合情推理和演繹推理 進(jìn)行簡單的推理。 3. 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。 教學(xué)重點(diǎn):了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別 教學(xué)難點(diǎn):了解合情推理和演繹推理是怎樣推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的。 教學(xué)過程: 2 復(fù)習(xí) 合情推理和演繹推理的過程 3 案例: 例一 正整數(shù)平方和公式的推導(dǎo)。 提出問題 我們知道,前n個(gè)正整數(shù)的和為 (n)=1+2+3+…….+n= n(n+i) ① 那么,前n 個(gè)正整數(shù)的平方和 (n)==? ② 三,數(shù)學(xué)活動(dòng) 思路1 (歸納的方案) 參照課本 第36頁 -37頁 三表 猜想 (n)= 思考 :上面的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的? 在這個(gè)過程中提出了哪些猜想? 提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法? 合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用? 思路2 (演繹的方案) 嘗試用直接相加的方法求出正整數(shù)的平方和。 2 把正整數(shù)的平方和表示出來,參照課本棣37頁 左右兩邊分別相加,等號兩邊的(n)被消去了,所以無法從中求出 (n)的值,嘗試失敗了。 (2)從失敗中吸取有用信息,進(jìn)行新的嘗試 (3)嘗試把兩項(xiàng)和的平方公式改為兩項(xiàng)和的立方公式。左右兩邊相加, 終于導(dǎo)出了公式。 思考: 上面的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的? 在這個(gè)過程中提出了哪些猜想? 提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法? 合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用。 四,數(shù)學(xué)理論: 上面的案例說明: (1)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個(gè)探索創(chuàng)造的過程.是一個(gè)不斷地提出猜想驗(yàn)證猜想的過程,合情推理和論證推理相輔相成,相互為用,共同推動(dòng)著發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的進(jìn)程。 (2)合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理,在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中,它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向,具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論,提供思路的作用。 (3)演繹推理是形式化程度較高的必然推理,在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中,它具有類似于“實(shí)驗(yàn)”的功能,它不僅為合情推理提供了前提,而且可以對猜想作出“判決”和證明,從而為調(diào)控探索活動(dòng)提供依據(jù)。 五,鞏固練習(xí): 閱讀課本第39頁 棱臺體積公式的探求 通過閱讀或查資料,尋找合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)推理在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的作用的案例,并回答問題: 1 。案例中的數(shù)學(xué)活動(dòng)是由哪些環(huán)節(jié)構(gòu)成的? 2 。在上這個(gè)過程中提出了哪些猜想? 3 , 提出猜想時(shí)使用了哪些推理方法? 4, 合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用? 六,教學(xué)小結(jié): (1)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個(gè)探索創(chuàng)造的過程.是一個(gè)不斷地提出猜想驗(yàn)證猜想的過程,合情推理和論證推理相輔相成,相互為用,共同推動(dòng)著發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的進(jìn)程。 (2)合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理,在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中,它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向,具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論,提供思路的作用。 (3)演繹推理是形式化程度較高的必然推理,在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中,它具有類似于“實(shí)驗(yàn)”的功能,它不僅為合情推理提供了前提,而且可以對猜想作出“判決”和證明,從而為調(diào)控探索活動(dòng)提供依據(jù)。 七,作業(yè): 八,教后感: 課題:直接證明--綜合法與分析法 1.教學(xué)目標(biāo): 知識與技能:結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。 過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子,培養(yǎng)他們的辨析能力;以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力; 情感、態(tài)度與價(jià)值觀:通過學(xué)生的參與,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 2.教學(xué)重點(diǎn):了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn) 3.教學(xué)難點(diǎn):分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn) 4.教具準(zhǔn)備:與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 5.教學(xué)設(shè)想:分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn). “變形”是解題的關(guān)鍵,是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。 6.教學(xué)過程: 學(xué)生探究過程:證明的方法 (1)、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中,分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā),一步一步地探索下去,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說,分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因,綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因,它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法,應(yīng)用十分廣泛。 (2)、例1.設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù),且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2. 證明:(用分析法思路書寫) 要證 a3+b3>a2b+ab2成立, 只需證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立, 即需證a2-ab+b2>ab成立。(∵a+b>0) 只需證a2-2ab+b2>0成立, 即需證(a-b)2>0成立。 而由已知條件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0顯然成立,由此命題得證。 (以下用綜合法思路書寫) ∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0 亦即a2-ab+b2>ab 由題設(shè)條件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab 即a3+b3>a2b+ab2,由此命題得證 例2、若實(shí)數(shù),求證: 證明:采用差值比較法: = = = = ∴ ∴ 例3、已知求證 本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明:1) 差值比較法:注意到要證的不等式關(guān)于對稱,不妨設(shè) ,從而原不等式得證。 2)商值比較法:設(shè) 故原不等式得證。 注:比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是:作差(或作商)、變形、判斷符號。 討論:若題設(shè)中去掉這一限制條件,要求證的結(jié)論如何變換? 鞏固練習(xí):第81頁練習(xí)1 , 2 , 3 , 4 課后作業(yè):第84頁 1,2, 3 教學(xué)反思:本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn). “變形”是解題的關(guān)鍵,是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。 課題:間接證明--反證法 1.教學(xué)目標(biāo): 知識與技能:結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例,了解間接證明的一種基本方法──反證法;了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。 過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子,培養(yǎng)他們的辨析能力;以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力; 情感、態(tài)度與價(jià)值觀:通過學(xué)生的參與,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 2.教學(xué)重點(diǎn):了解反證法的思考過程、特點(diǎn) 3. 教學(xué)難點(diǎn):反證法的思考過程、特點(diǎn) 4.教具準(zhǔn)備:與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 5.教學(xué)設(shè)想:利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果,通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式,以及與臨時(shí)假定矛盾等各種情況。 6.教學(xué)過程: 學(xué)生探究過程:綜合法與分析法 (1)、反證法 反證法是一種間接證法,它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè),然后,從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致矛盾,從而否定相反的假設(shè),達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟,大體上分為:(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論。 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ),為了正確地作出反設(shè),掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有;至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè);至多有一個(gè)/至少有兩個(gè);唯一/至少有兩個(gè)。 歸謬是反證法的關(guān)鍵,導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式,但必須從反設(shè)出發(fā),否則推導(dǎo)將成為無源之水,無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設(shè)矛盾;自相矛盾。 (2)、例子 例1、求證:不是有理數(shù) 例2、已知,求證:(且) 例3、設(shè),求證 證明:假設(shè),則有,從而 因?yàn)?,所以,這與題設(shè)條件矛盾,所以,原不 等式成立。 例4、設(shè)二次函數(shù),求證:中至少有一個(gè)不小于. 證明:假設(shè)都小于,則 (1) 另一方面,由絕對值不等式的性質(zhì),有 (2) (1)、(2)兩式的結(jié)果矛盾,所以假設(shè)不成立,原來的結(jié)論正確。 注意:諸如本例中的問題,當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中,至少有一個(gè)滿足某個(gè)不等式時(shí),通常采用反證法進(jìn)行。 議一議:一般來說,利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果,通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式,以及與臨時(shí)假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例,討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點(diǎn)? 例5、設(shè)0 < a, b, c < 1,求證:(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時(shí)大于 證:設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >, 則三式相乘:ab < (1 - a)b?(1 - b)c?(1 - c)a < ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理:, 以上三式相乘: (1 - a)a?(1 - b)b?(1 - c)c≤ 與①矛盾 ∴原式成立 例6、已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求證:a, b, c > 0 證:設(shè)a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 又:若a = 0,則與abc > 0矛盾, ∴必有a > 0 同理可證:b > 0, c > 0 鞏固練習(xí):第83頁練習(xí)3、4、5、6 課后作業(yè):第84頁 4、5、6 教學(xué)反思: 反證法是一種間接證法,它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè),然后,從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致矛盾,從而否定相反的假設(shè),達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟,大體上分為:(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論。 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ),為了正確地作出反設(shè),掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有;至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè);至多有一個(gè)/至少有兩個(gè);唯一/至少有兩個(gè)。 歸謬是反證法的關(guān)鍵,導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式,但必須從反設(shè)出發(fā),否則推導(dǎo)將成為無源之水,無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設(shè)矛盾;自相矛盾。 課題:數(shù)學(xué)歸納法 一、教學(xué)目標(biāo): 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。 2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法。 3.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 二、教學(xué)重點(diǎn):掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及證明問題的方法。 難點(diǎn):能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 三、教學(xué)過程: 【創(chuàng)設(shè)情境】 1.華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”。 2.“多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”。 問題:如何保證所摸的球都是紅球?多米諾骨牌全部倒下?處了利用完全歸納法全部枚舉之外,是否還有其它方法? 數(shù)學(xué)歸納法:數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理,它將一個(gè)無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程,是處理自然數(shù)問題的有力工具。 【探索研究】 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì): 無窮的歸納→有限的演繹(遞推關(guān)系) 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法公理: (1)(遞推奠基):當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確; (2)(遞推歸納):假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確;(歸納假設(shè)) 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。(歸納證明) 由(1),(2)可知,命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 【例題評析】 例1:以知數(shù)列{an}的公差為d,求證: 說明:①歸納證明時(shí),利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件,尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系,是解題的關(guān)鍵。 ②數(shù)學(xué)歸納法證明的基本形式; (1)(遞推奠基):當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確; (2)(遞推歸納):假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確;(歸納假設(shè)) 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。(歸納證明) 由(1),(2)可知,命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 EX: 1.判斷下列推證是否正確。 P88 2,3 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 例2:用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N,n≥2) 說明:注意從n=k到n=k+1時(shí),添加項(xiàng)的變化。 EX:1.用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng); (2)當(dāng)n=k時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng); (3)當(dāng)n=k+1時(shí),左邊有_____項(xiàng),右邊有_____項(xiàng); (4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時(shí)有什么不同? 變題: 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n∈N+) 例3:設(shè)f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2) 說明:注意分析f(k)和f(k+1)的關(guān)系。 【課堂小結(jié)】 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法公理: (1)(遞推奠基):當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確; (2)(遞推歸納):假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確;(歸納假設(shè)) 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。(歸納證明) 由(1),(2)可知,命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 2. 注意從n=k到n=k+1時(shí),添加項(xiàng)的變化。利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件,尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系. 【反饋練習(xí)】 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明第二步證明從“k到k+1”,左端增加的項(xiàng)數(shù)是( ) A. B C D 3.若n為大于1的自然數(shù),求證 證明 (1)當(dāng)n=2時(shí), (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立,即 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明 【課外作業(yè)】 《課標(biāo)檢測》 課題:數(shù)學(xué)歸納法 一、教學(xué)目標(biāo): 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。 2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題 3.能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。 二、教學(xué)重點(diǎn):能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 難點(diǎn):歸納→猜想→證明。 三、教學(xué)過程: 【創(chuàng)設(shè)情境】 問題1:數(shù)學(xué)歸納法的基本思想? 以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理,它將一個(gè)無窮歸納(完全歸納)的過程,轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程。(遞推關(guān)系) 問題2:數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟? (1)遞推奠基:當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確; (2)遞推歸納:假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確;(歸納假設(shè)) 證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。(歸納證明) 由(1),(2)可知,命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法,應(yīng)用十分廣泛,主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式;數(shù)的整除性、幾何問題;探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題。 【探索研究】 問題:用數(shù)學(xué)歸納法證明:能被9整除。 法一:配湊遞推假設(shè): 法二:計(jì)算f(k+1)-f(k),避免配湊。 說明:①歸納證明時(shí),利用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件,是解題的關(guān)鍵。 ②注意從“n=k到n=k+1”時(shí)項(xiàng)的變化。 【例題評析】 例1:求證: 能被整除(n∈N+)。 例2:數(shù)列{an}中,,a1=1且 (1)求的值; (2)猜想{an}的通項(xiàng)公式,并證明你的猜想。 說明:用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的常用方法:歸納→猜想→證明 變題:(xx全國理科)設(shè)數(shù)列{an}滿足,n∈N+, (1)當(dāng)a1=2時(shí),求,并猜想{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式; (2)當(dāng)a1≥3時(shí),證明對所有的n≥1,有 ①an≥n+2 ② 例3:平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條直線不共點(diǎn),問:這n條直線將平面分成多少部分? 變題:平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中每兩個(gè)圓都相交與兩點(diǎn),且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),求證:這n個(gè)圓把平面分成n2+n+2個(gè)部分。 例4:設(shè)函數(shù)f(x)是滿足不等式,(k∈N+)的自然數(shù)x的個(gè)數(shù); (1)求f(x)的解析式; (2)記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式; (3)令Pn=n2+n-1 (n∈N+),試比較Sn與Pn的大小。 【課堂小結(jié)】 1.猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結(jié)合 數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)問題的一般方法: 歸納→猜想→證明。 2.兩個(gè)注意: (1)是否用了歸納假設(shè)? (2)從n=k到n=k+1時(shí)關(guān)注項(xiàng)的變化? 【反饋練習(xí)】 1 觀察下列式子 …則可歸納出____ (n∈N*) 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 2.已知數(shù)列計(jì)算根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 3.是否存在常數(shù)a、b、c,使等式 對一切都成立?并證明你的結(jié)論. 【課外作業(yè)】 《課標(biāo)檢測》 課題:復(fù)習(xí)課 一、教學(xué)目標(biāo): 1.了解本章知識結(jié)構(gòu)。 2.進(jìn)一步感受和體會(huì)常用的思維模式和證明方法,形成對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識。課題:數(shù)學(xué)歸納法 3.認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì),把握數(shù)學(xué)本質(zhì),增強(qiáng)創(chuàng)新意識,提高創(chuàng)新能力。 二、教學(xué)重點(diǎn):進(jìn)一步感受和體會(huì)常用的思維模式和證明方法,形成對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識。 難點(diǎn):認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì),把握數(shù)學(xué)本質(zhì),增強(qiáng)創(chuàng)新意識,提高創(chuàng)新能力 三、教學(xué)過程: 【創(chuàng)設(shè)情境】 推理與證明 推理 證明 合情推理 演繹推理 直接證明 間接證明 類比推理 歸納推理 分析法 綜合法 反證法 數(shù)學(xué)歸納法 一、知識結(jié)構(gòu): 【探索研究】 我們從邏輯上分析歸納、類比、演繹的推理形式及特點(diǎn);揭示了分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法的思維過程及特點(diǎn)。通過學(xué)習(xí),進(jìn)一步感受和體會(huì)常用的思維模式和證明方法,形成對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識。 【例題評析】 例1:如圖第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來,(n=1,2,3,…)。則第n-2個(gè)圖形中共有________個(gè)頂點(diǎn)。 變題:黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案: 第1個(gè) 第2個(gè) 第3個(gè) 則第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊。 例2:長方形的對角線與過同一個(gè)頂點(diǎn)的兩邊所成的角為,則 =1,將長方形與長方體進(jìn)行類比,可猜測的結(jié)論為:_______________________; 變題1:已知,m是非零常數(shù),x∈R,且有= ,問f(x)是否是周期函數(shù)?若是,求出它的一個(gè)周期,若不是,說明理由。 變題2:數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn,已知證明: (Ⅰ)數(shù)列是等比數(shù)列; (Ⅱ) 例3:設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)f(x+1)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,求證: 為偶函數(shù)。 例4:設(shè)Sn=1+ (n>1,n∈N),求證: () 評析:數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),經(jīng)常用到“放縮”的技巧。 變題:是否存在a、b、c使得等式122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) 對于一切正整數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論。 解 假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立, 這時(shí)令n=1,2,3,有 于是,對n=1,2,3下面等式成立 122+232+…+n(n+1)2= 記Sn=122+232+…+n(n+1)2 (1)n=1時(shí),等式以證,成立。 (2)設(shè)n=k時(shí)上式成立,即Sk= (3k2+11k+10) 那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24)=[3(k+1)2+11(k+1)+10] 也就是說,等式對n=k+1也成立 綜上所述,當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí),題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立 【課堂小結(jié)】 體會(huì)常用的思維模式和證明方法。 【反饋練習(xí)】 1.(xx遼寧)在R上定義運(yùn)算若不等式對任意實(shí)數(shù)成立, 則 A. B. C. D. 2.定義A*B,B*C,C*D,D*B分別對應(yīng)下列圖形 (1) (2) (3) (4) 那么下列圖形中 (1) (2) (3) (4) 可以表示A*D,A*C的分別是 ( ) A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(2)、(4) D.(1)、(4) 3 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n),則最大的m的值為( ) A 30 B 26 C 36 D 6 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除 證明 n=1,2時(shí),由上得證,設(shè)n=k(k≥2)時(shí), f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,則n=k+1時(shí), f(k+1)-f(k)=(2k+9)3k+1-(2k+7)3k=(6k+27)3k-(2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k-2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除,∴所求最大的m值等于36 4 已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=1,b1+b2+…+b10=145 (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn; (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,試比較Sn與logabn+1的大小,并證明你的結(jié)論 解 (1) 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d, 由題意得,∴bn=3n-2 (2)證明 由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga[(1+1)(1+)…(1+ )] 而logabn+1=loga,于是,比較Sn與logabn+1的大小 比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小 取n=1,有(1+1)= 取n=2,有(1+1)(1+ 推測 (1+1)(1+)…(1+)> (*) ①當(dāng)n=1時(shí),已驗(yàn)證(*)式成立 ②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立,即(1+1)(1+)…(1+)> 則當(dāng)n=k+1時(shí), , 即當(dāng)n=k+1時(shí),(*)式成立 由①②知,(*)式對任意正整數(shù)n都成立 于是,當(dāng)a>1時(shí),Sn>logabn+1,當(dāng) 0<a<1時(shí),Sn<logabn+1 【課外作業(yè)】 《課標(biāo)檢測》- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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