2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 3.3 等比數(shù)列教案.doc

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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 3.3 等比數(shù)列教案 ●知識梳理 1.定義 數(shù)列{an}從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)的數(shù)列稱作等比數(shù)列.常數(shù)叫公比. 2.通項公式：an=a1qn－1，推廣形式：an=amqn－m.變式：q=（n、m∈N*）. 3.前n項和Sn= 注：q≠1時，=. 4.等比中項：若a、b、c成等比數(shù)列，則b為a、c的等比中項，且b=. 5.三個數(shù)或四個數(shù)成等比數(shù)列且又知積時，則三個數(shù)可設(shè)為、a、aq，四個數(shù)可設(shè)為、、aq、aq3為好. 6.證明等比數(shù)列的方法：（1）用定義：只需證=常數(shù)；（2）用中項性質(zhì)：只需an+12=anan+2或=. ●點擊雙基 1.一個直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角是 A.arccos B.arcsin C.arccos D.arcsin 解析：設(shè)Rt△ABC中，C=，則A與B互余且A為最小內(nèi)角.又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1－sin2A=sinA，解之得sinA=或sinA=（舍）. 答案：B 2.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，那么a3a6a9…a30等于 A.210 B.220 C.216 D.215 解析：由等比數(shù)列的定義，a1a2a3=（）3，故a1a2a3…a30=（）3.又q=2，故a3a6a9…a30=220. 答案：B 3.某純凈水制造廠在凈化水過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需過濾的次數(shù)為 A.5 B.10 C.14 D.15 解析：由題意列式（1－20%）n＜5%，兩邊取對數(shù)得n＞≈13.4.故n≥14. 答案：C 4.（xx年全國，文14）已知等比數(shù)列{an}中，a3=3，a10=384，則該數(shù)列的通項an=___________________. 解析：由已知得q7==128=27，故q=2.∴an=a3qn－3=32n－3. 答案：32n－3 5.如下圖，在楊輝三角中，從上往下數(shù)共有n（n∈N*）行，在這些數(shù)中非1的數(shù)字之和是___________________. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 解析：觀察可知，第n（n∈N*）行中有n個數(shù)，從左向右依次是二項式系數(shù)C，C，C，…，C，故當n≥3時，除了1外，第n行各數(shù)的和為an=C+C+…+C=2n－1－2.又前兩行全部為數(shù)字1，故前n行非1的數(shù)字之和為a3+a4+…+an=－2（n－2）=2n－2n. 答案：2n－2n ●典例剖析 【例1】 已知等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an. 剖析：利用等比數(shù)列的基本量a1，q，根據(jù)條件求出a1和q. 解：設(shè){an}的公比為q，由題意知解得或 ∴an=2n－1或an=23－n. 評述：轉(zhuǎn)化成基本量解方程是解決數(shù)列問題的基本方法. 思考討論 用a2和q來表示其他的量好解嗎？該題的{an}若成等差數(shù)列呢？ 【例2】 已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，公差d≠0，｛an｝的部分項組成下列數(shù)列：a，a，…，a，恰為等比數(shù)列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋k3＋…＋kn. 剖析：運用等差（比）數(shù)列的定義分別求得a，然后列方程求得kn. 解：設(shè)｛an｝的首項為a1，∵a、a、a成等比數(shù)列，∴（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d）. 得a1＝2d，q＝＝3. ∵a＝a1＋（kn－1）d，又a＝a13n－1，∴kn＝23n－1－1. ∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3n－1）－n＝2－n＝3n－n－1. 評述：運用等差（比）數(shù)列的定義轉(zhuǎn)化為關(guān)于kn的方程是解題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化時要注意：a是等差數(shù)列中的第kn項，而是等比數(shù)列中的第n項. 【例3】 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足5，5，5成等比數(shù)列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項an、bn. 剖析：由等比中項、等差中項的性質(zhì)得an+1=遞推出an=（n≥2）. 解：∵5，5，5成等比數(shù)列，∴（5）2=55，即2bn=an+an+1. ① 又∵lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1，即an+12=bnbn+1. ② 由②及ai＞0，bj＞0（i、j∈N*）可得an+1=. ③ ∴an=（n≥2）. ④ 將③④代入①可得2bn=+（n≥2），∴2=+（n≥2）. ∴數(shù)列{}為等差數(shù)列. ∵b1=2，a2=3，a22=b1b2，∴b2=.∴=+（n－1）（－） =（n+1）（n=1也成立）. ∴bn=.∴an===（n≥2）. 又當n=1時，a1=1也成立.∴an=. 評述：由Sn求an時要注意驗證a1與S1是否一致. 特別提示 1.{an}為等比數(shù)列是an+12=anan+2的充分但不必要條件. 2.若證{an}不是等比數(shù)列，只需證ak2≠ak－1ak+1（k為常數(shù)，k∈N，且k≥2）. ●闖關(guān)訓練 夯實基礎(chǔ) 1.若等比數(shù)列{an}的公比q＜0，前n項和為Sn，則S8a9與S9a8的大小關(guān)系是 A.S8a9＞S9a8 B.S8a9＜S9a8 C.S8a9=S9a8 D.不確定 解析：由等比數(shù)列通項公式和前n項和公式得 S8a9－S9a8=－a1q3－a1q7 ===－a12q7. 又q＜0，則S8a9－S9a8＞0，即S8a9＞S9a8. 答案：A 2.銀行一年定期的年利率為r，三年定期的年利率為q，銀行為吸收長期資金，鼓勵儲戶存三年定期的存款，那么q的值應略大于 A. B.［（1+r）3－1］ C.（1+r）3－1 D.r 解析：由題意得（1+r）3＜1+3q，故q＞［（1+r）3－1］. 答案：B 3.（xx年上海，8）若首項為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和總小于這個數(shù)列的各項和，則首項a1，公比q的一組取值可以是（a1，q）=___________. 解析：由題意知＜且|q|＜1對n∈N都成立，∴a1＞0，0＜q＜1. 答案：（1，）（a1＞0，0＜q＜1的一組數(shù)） 4.設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）an+12－nan2+an+1an=0（n∈N*），則它的通項公式an=___________________. 解析：分解因式可得［（n+1）an+1－nan］［an+1+an］=0，又an＞0，則（n+1）an+1－nan=0，即=.又a1=1，由累積法可得an=. 答案： 5.定義一種運算“*”對于任意非零自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)： （1）1*1=1； （2）（n+1）*1=3（n*1）. 試求n*1關(guān)于n的代數(shù)式. 解：“n*1”是一個整體，聯(lián)想數(shù)列通項形式，設(shè)n*1=an，則a1=1，an+1=3an，得an=3n－1，即n*1=3n－1. 6.等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項中，數(shù)值最大的一項是54，若該數(shù)列的前n項之和為Sn，且Sn=80，S2n=6560，求： （1）前100項之和S100. （2）通項公式an. 解：設(shè)公比為q，∵S2n－Sn=6480＞Sn，∴q＞1.則最大項是an=a1qn－1（∵an＞0）. ① 又Sn==80， ② S2n==6560， ③ 由①②③解得a1=2，q=3，則（1）前100項之和S100==3100－1. （2）通項公式為an=23n－1. 培養(yǎng)能力 7.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1=a1，bn=an－an－1（n≥2），若an+Sn=n. （1）設(shè)cn=an－1，求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列{bn}的通項公式. （1）證明：∵a1=S1，an+Sn=n，∴a1+S1=1，得a1=. 又an+1+Sn+1=n+1，兩式相減得2（an+1－1）=an－1，即=，也即=，故數(shù)列{cn}是等比數(shù)列. （2）解：∵c1=a1－1=－， ∴cn=－，an=cn+1=1－，an－1=1－. 故當n≥2時，bn=an－an－1=－=.又b1=a1=，即bn=（n∈N*）. 8.設(shè)數(shù)列｛an｝、｛bn｝（bn＞0，n∈Ｎ*），滿足an＝（n∈Ｎ*），證明：｛an｝為等差數(shù)列的充要條件是｛bn｝為等比數(shù)列. 證明：充分性：若｛bn｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則an＝＝＝lgb1＋（n－1）lgq，an＋1－an＝lgq為常數(shù)， ∴｛an｝為等差數(shù)列. 必要性：由an＝得nan＝lgb1＋lgb2＋…＋lgbn，（n＋1）an＋1＝lgb1＋lgb2＋…＋lgbn＋1， ∴n（an＋1－an）＋an＋1＝lgbn＋1. 若｛an｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則nd＋a1＋nd＝lgbn＋1， ∴bn＋1＝10，bn＝10.∴＝102d為常數(shù). ∴｛bn｝為等比數(shù)列. 探究創(chuàng)新 9.有點難度喲！ 設(shè)數(shù)列｛an｝，a1＝，若以a1，a2，…，an為系數(shù)的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0（n∈Ｎ*且n≥2）都有根α、β滿足3α－αβ＋3β＝1. （1）求證:｛an－｝為等比數(shù)列； （2）求an； （3）求｛an｝的前n項和Sn. （1）證明：∵α＋β＝，αβ＝代入3α－αβ＋3β＝1得an＝an－1＋， ∴＝＝為定值. ∴數(shù)列｛an－｝是等比數(shù)列. （2）解：∵a1－＝－＝， ∴an－＝（）n－1＝（）n.∴an＝（）n＋. （3）解：Sn＝（＋+…+)+＝+＝－. ●思悟小結(jié) 1.深刻理解等比數(shù)列的定義，緊扣從“第二項起”和“比是同一常數(shù)”這兩點. 2.運用等比數(shù)列求和公式時，需對q=1和q≠1進行討論. 3.證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法是： （1）利用定義，證明（n≥2）為常數(shù)； （2）利用等比中項，即證明an2=an－1an+1（n≥2）. ●教師下載中心 教學點睛 1.等比數(shù)列的性質(zhì)在求解中有著十分重要的作用，應讓學生熟練掌握、靈活運用. 2.解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法： （1）方程的思想：等比數(shù)列中五個元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”； （2）分類討論的思想：當a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時為遞增數(shù)列，當a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1時為遞減數(shù)列；當q＜0時為擺動數(shù)列；當q=1時為常數(shù)列. 3.轉(zhuǎn)化為“基本量”是解決問題的基本方法. 拓展題例 【例1】 數(shù)列{an}中，a1=1，an=an－1+1（n≥2），求通項公式an. 解：由an=an－1+1，得an－2=（an－1－2）. 令bn=an－2，則bn－1=an－1－2，∴有bn=bn－1. ∴bn=bn－1=bn－2=bn－3 =…=b1=（）n－1b1. ∵a1=1，∴b1=a1－2=－1.∴bn=－（）n－1.∴an=2－. 【例2】 已知數(shù)列{an}中，a1=，a2=并且數(shù)列l(wèi)og2（a2－），log2（a3－），…，log2（an+1－）是公差為－1的等差數(shù)列，而a2－，a3－，…，an+1－是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式. 分析：由數(shù)列{log2（an+1－）}為等差數(shù)列及等差數(shù)列的通項公式，可求出an+1與an的一個遞推關(guān)系式①；由數(shù)列{an+1－}為等比數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式，可求出an+1與an的另一個遞推關(guān)系式②.解兩個關(guān)系式的方程組，即可求出an. 解：∵數(shù)列{log2（an+1－）}是公差為－1的等差數(shù)列， ∴l(xiāng)og2（an+1－）=log2（a2－a1）+（n－1）（－1）=log2（－）－n+1=－（n+1），于是有an+1－=2－（n+1）. ① 又∵數(shù)列{an+1－an}是公比為的等比數(shù)列， ∴an+1－an=（a2－a1）3－（n－1）=（－）3－（n－1）=3－（n+1）. 于是有an+1－an=3－（n+1）. ② 由①－②可得an=2－（n+1）－3－（n+1）， ∴an=－.