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2019-2020年高中數(shù)學 1．3.1 單調性與最大(小)值 第一課時教案精講 新人教A版必修1
[讀教材填要點]
1．定義域為I的函數(shù)f(x)的增減性
2．函數(shù)的單調性與單調區(qū)間
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上具有(嚴格)的單調性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．
[小問題大思維]
1．定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2時有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù)，對嗎？
提示：不對，如函數(shù)f(x)＝x2，(－1＜x＜1)，
存在x1＝－，x2＝，顯然x1＜x2，
有f(x1)＝＜f(x2)＝，
但f(x)＝x2在(－1,1)上不是增函數(shù)．
2．定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若有無窮多對x1，x2∈(a，b)使得x1
0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)．
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利用定義證明函數(shù)單調性的步驟如下：
(1)取值：設x1，x2是該區(qū)間內的任意兩個值，且x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)0時，在R上單調遞增；
a<0時，在R上單調遞減
反比例函數(shù)y＝(a≠0)
a>0時，單調減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)；a<0時，單調增區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函數(shù)y＝a(x－m)2＋n(a≠0)
a>0時，單調減區(qū)間是(－∞，m]，單調增區(qū)間是[m，＋∞)；a<0時，單調減區(qū)間是[m，＋∞)，單調增區(qū)間是(－∞，m]
(3)需注意若一函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調的．
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3．若函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為________．
解析：∵f(x)＝(2a－1)x＋b為一次函數(shù)，
∴當2a－1<0即a<時，f(x)是R上的減函數(shù)．
答案：(－∞，)
解題高手
妙解題
同樣的結果，不一樣的過程，節(jié)省解題時間，也是得分！
求f(x)＝x2－2ax－1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值．
[巧思] 先求出函數(shù)的對稱軸x＝a，分四種情況a<0,0≤a<1,1≤a<2，a≥2時，討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的單調性，再結合圖形，可分別求出相應的最小值和最大值．
[妙解] ∵f(x)＝(x－a)2－1－a2，
對稱軸為直線x＝a，
①當a<0時，由圖1可知
f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②當0≤a<1時，由圖2可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③當1≤a<2時，由圖3可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(0)＝－1；
④當a≥2時，由圖4可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
1．函數(shù)y＝x2＋x＋1(x∈R)的遞減區(qū)間是( )
A. B．[－1，＋∞)
C. D．(－∞，＋∞)
解析：y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋.
其對稱軸為x＝－，在對稱軸左側單調遞減，
∴x≤－時單調遞減．
答案：C
2．函數(shù)f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的遞增區(qū)間依次是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：f(x)＝|x|的圖象如圖甲，
g(x)＝x(2－x)＝－x2＋2x
＝－(x2－2x＋1)＋1
＝－(x－1)2＋1的圖象如圖乙，易知選C.
答案：C
3．已知函數(shù)y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．減函數(shù)且f(0)<0 B．增函數(shù)且f(0)<0
C．減函數(shù)且f(0)>0 D．增函數(shù)且f(0)>0
解析：∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是減函數(shù)，
∴a<0，b<0.
f(x)＝bx＋a為減函數(shù)且f(0)＝a<0.
答案：A
4．若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a＝________.
解析：由f(x)＝可得函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為[－，＋∞)，故3＝－，解得a＝－6.
答案：－6
5．若函數(shù)f(x)＝則f(x)的遞減區(qū)間是________．
解析：∵分段函數(shù)當x≥1時，f(x)＝2x＋1為增函數(shù)，當x<1時，f(x)＝5－x為減函數(shù)．
答案：(－∞，1)
6．已知f(x)＝，試判斷f(x)在[1，＋∞)上的單調性，并證明．
解：f(x)＝在 [1，＋∞)上是增函數(shù)．
證明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，
且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝－
＝＝
∵1≤x1＜x2，∴x2＋x1＞0，x2－x1＞0，
＋＞0.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．
故函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．
一、選擇題
1．下圖中是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)，則下列關于函數(shù)f(x)的說法錯誤的是( )
A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調遞增
B．函數(shù)在區(qū)間[1,4]上單調遞增
C．函數(shù)在區(qū)間[－3,1]∪[4,5]上單調遞減
D．函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上沒有單調性
解析：若一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調區(qū)間時，不能用∪連接．比如0＜5，但f(0)＞f(5)．
答案：C
2．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[－2，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)，當x∈(－∞，－2]時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則m等于( )
A．－4 B．－8
C．8 D．無法確定
解析：由題意可知x＝－2是f(x)的對稱軸，∴＝－2，m＝－8.
答案：B
3．下列有關函數(shù)單調性的說法，不正確的是( )
A．若f(x)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)＋g(x)為增函數(shù)
B．若f(x)為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)＋g(x)為減函數(shù)
C．若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)＋g(x)為增函數(shù)
D．若f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)－g(x)為減函數(shù)
解析：∵若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，
則f(x)＋g(x)的增減性不確定．
例如f(x)＝x＋2為R上的增函數(shù)，
當g(x)＝－x時，則f(x)＋g(x)＝＋2為增函數(shù)；當g(x)＝－3x，則f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上為減函數(shù)．
∴不能確定f(x)＋g(x)的單調性．
答案：C
4．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是( )
A．y＝|x＋1| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
解析：B、C、D在(0,1)上均為減函數(shù)，只有A項在(0,1)上是增函數(shù)．
答案：A
二、填空題
5．已知函數(shù)f(x)為區(qū)間[－1,1]上的增函數(shù)，則滿足f(x)0，
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)
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單調性與最大小值
第一課時教案精講
新人教A版必修1
2019
2020
年高
數(shù)學
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