2019-2020年高中數學 2.2《平面向量的線性運算》教學設計 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數學 2.2《平面向量的線性運算》教學設計 新人教A版必修4 【教學目標】 1．掌握向量的加、減法運算，并理解其幾何意義； 2．會用向量加、減的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數形結合解決問題的能力； 3．通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法； 4．掌握實數與向量的積的定義以及實數與向量的積的三條運算律，會利用實數與向量的積的運算律進行有關的計算； 5．理解兩個向量平行的充要條件，能根據條件判斷兩個向量是否平行； 6．通過對實數與向量的積的學習培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想. 【導入新課】 設置情景： 1、 復習：向量的定義以及有關概念 強調：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置 A B C 2、 情景設置： （1）某人從A到B，再從B按原方向到C， C A B 則兩次的位移和： （2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C， A B C 則兩次的位移和： （3）某車從A到B，再從B改變方向到C， A B C 則兩次的位移和： （4）船速為，水速為，則兩速度和： 新授課階段 一、向量的加法 １．向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法. A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ＋ｂ a ２．三角形法則（“首尾相接，首尾連”） 如圖，已知向量a、ｂ.在平面內任取一點，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ，規(guī)定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量； （2）當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<||+||； O A B a a a b b b （3）當與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，當與反向時，若||>||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；若||<||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加. 例1 已知向量、，求作向量+. 作法：在平面內取一點，作 ，則. ４．加法的交換律和平行四邊形法則 問題：上題中+的結果與+是否相同？ 驗證結果相同 從而得到：１）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）； ２）向量加法的交換律：+=+. ５．向量加法的結合律：(+) +=+ (+). 證：如圖：使， ， ， 則(+) +=，+ (+) =. ∴(+) +=+ (+). 從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行. 二、 向量的減法 1．用“相反向量”定義向量的減法 （1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a. （2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0. 如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量減法的定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b)，求兩個向量差的運算叫做向量的減法. 2．用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算： O a b B a b a-b 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b. 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b. ∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a， 作法：在平面內取一點O， 作= a， = b. 則= a - b. 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量. 注意：1表示a - b.強調：差向量“箭頭”指向被減數， O A B a B’ b -b b B a+ (-b) a b 2用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b). 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一. 4 探究： １） 如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是b - a. a-b A A B B B’ O a-b a a b b O A O B a-b a-b B A O -b ２）若a∥b， 如何作出a - b？ 例2 已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 解：在平面上取一點O，作= a， = b， = c， = d， A B C b a d c D O 作， ，則= a-b， = c-d. A B D C 例3 平行四邊形中，a，b， 用a、b表示向量、. 解：由平行四邊形法則得： = a + b， = = a-b. 變式一：當a， b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？（|a| = |b|） 變式二：當a， b滿足什么條件時，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直） 變式三：a+b與a-b可能是相當向量嗎？（不可能，∵ 對角線方向不同） 三、向量數乘運算 1．定義： 請大家根據上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數與向量的積？（可結合教材思考） 可根據小學算術中的解釋，類比規(guī)定：實數與向量的積就是，它還是一個向量，但要對實數與向量相乘的含義作一番解釋才行. 實數與向量的積是一個向量，記作. 它的長度和方向規(guī)定如下： （1）. （2）時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；特別地，當或時，. 2．運算律： 問：求作向量和（為非零向量）并進行比較，向量與向量相等嗎？（引導學生從模的大小與方向兩個方面進行比較） 生：，. 師：設、為任意向量，、為任意實數，則有： （1）；　（2）；　（3）. 通常將（2）稱為結合律，（1）（3）稱為分配律. 3．向量平行的充要條件： 請同學們觀察，，回答、有何關系？ 生：因為，所以、是平行向量. 引導：若、是平行向量，能否得出？為什么？可得出嗎？為什么？ 生：可以！因為、平行，它們的方向相同或相反. 師：由此可得向量平行的充要條件：向量與非零向量平行的充要條件是有且僅有一個實數，使得. 對此定理的證明，分兩層來說明： 其一，若存在實數，使，則由實數與向量乘積定義中第(2)條可知與平行，即與平行. 其二，若與平行，且不妨令，設（這是實數概念）．接下來看、方向如何：①、同向，則，②若、反向，則記，總而言之，存在實數（或）使. 例4 如圖：已知，，試判斷與是否平行． 解：∵， ∴與平行. 4）單位向量： 單位向量：模為1的向量. 向量（）的單位向量：與同方向的單位向量，記作. 思考：如何用來表示？ （） 例5 已知，設，如果 ，那么為何值時，三點在一條直線上？ 解：由題設知，，三點在一條 直線上的充要條件是存在實數，使得，即， 整理得. ①若共線，則可為任意實數； ②若不共線，則有解之，得. 綜上，共線時，則可為任意實數；不共線時，. 例6 在平行四邊形ABCD中，分別是的中點，為與的交點，若， ，試以，表示、、． 解：， ， 是△的重心，. 課堂小結 （1）與的積還是向量，與是共線的； （2）向量平行的充要條件的內容和證明思路，也是應用該結論解決問題的思路.該結論主要用于證明點共線、求系數、證直線平行等題型問題； （3）運算律暗示我們，化簡向量代數式就像計算多項式一樣去合并同類項. 作業(yè) P88-89習題3 A組 2、3、4、5. P89習題3 B組 2、3. 拓展提升 1.設都是單位向量，則下列結論中正確的是 A． B． C． D． 2.已知正方形的邊長為，，則 A. B. C. D. 3. 已知向量，且，則 .(用表示) 4..已知，為線段上距較近的一個三等分點，為線段上距較近的一個三等分點，則用表示的表達式為 A. B . C. D. 5. 已知向量不共線，為實數，則當時，有 ， . 6. 若菱形的邊長為，則 . 7.已知,則的取值范圍是 . 參考答案 1．提示：因為是單位向量， 2．提示：， ∴. 3． 4．提示：， ∴，. 5．提示：若不全為，比方，則有，從而共線. 6．2 提示： 7．提示:.