2019-2020年高中數(shù)學(xué) 推理與證明 板塊二 直接證明與間接證明完整講義(學(xué)生版).doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 推理與證明 板塊二 直接證明與間接證明完整講義(學(xué)生版) 典例分析 題型一:綜合法 【例1】 若,則下列結(jié)論不正確的是 ( ) A. B. C. D. 【例2】 如果數(shù)列是等差數(shù)列,則( )。 (A) (B) (C) (D) 【例3】 在△ABC中若,則A等于( ) (A) (B) (C) (D) 【例4】 下列四個(gè)命題:①若,則;②若,則;③若x、yR,滿足,則的最小值是;④若a、bR,則。其中正確的是( )。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】 下面的四個(gè)不等式:①;②;③ ;④.其中不成立的有 (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè) 【例6】 已知且,則在①;②; ③;④這四個(gè)式子中,恒成立的個(gè)數(shù)是 ( ) A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè) 【例7】 已知均大于1,且,則下列各式中,一定正確的是 ( ) A B C D 【例8】 已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【例9】 、為銳角,,則a、b之間關(guān)系為 ( ) A. B. C. D.不確定 【例10】 設(shè)M是內(nèi)一點(diǎn),且,,定義,其中m、n、p分別是,,的面積,若,則的最小值是 ( ) A.8 B.9 C.16 D.18 【例11】 若函數(shù)是偶函數(shù),則,(a∈R)的大小關(guān)系是 . 【例12】 設(shè) 【例13】 函數(shù)在(0,2)上是增函數(shù),函數(shù)是偶函數(shù),則,,的大小關(guān)系是 . 【例14】 已知 ,向量的 夾角為,則= 【例15】 定義運(yùn)算,例如,,則函數(shù)的最大值為. 【例16】 若,,且恒成立,則的最大值是 。 【例17】 已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)的全體: ①當(dāng)時(shí),函數(shù)值為非負(fù)實(shí)數(shù); ②對(duì)于任意的,都有 在三個(gè)函數(shù)中,屬于集合M的是 。 【例18】 給出下列四個(gè)命題: ①若,則; ②若,則; ③若,則; ④若,,且,則的最小值為9. 其中正確命題的序號(hào)是 .(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上) 【例19】 如圖,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件 (或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其他條件,例如ABCD是正方形、菱形等)時(shí),有A1C⊥B1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形) 圖 【例20】 用一根長(zhǎng)為12m的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架(不計(jì)損耗),要使這個(gè)窗戶通過(guò)的陽(yáng)光最充足,則框架的長(zhǎng)與寬應(yīng)為 . 【例21】 若,求證:. 【例22】 若,求證: 【例23】 已知a,b,c是全不相等的正實(shí)數(shù),求證 【例24】 證明:已知:,求證: 【例25】 已知求的最大值。 【例26】 設(shè),求證:. 【例27】 某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸,每次都購(gòu)買噸,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則 噸. 【例28】 在銳角三角形中,求證: 題型二:分析法 【例29】 設(shè),,,則x與y的大小關(guān)系為( )。 (A); (B); (C); (D) 【例30】 已知,則正確的結(jié)論是( )。 (A) (B) (C) (D)a、b大小不定 【例31】 設(shè)a、b、m都是正整數(shù),且a<b,則下列不等式中恒不成立的是( )。 (A) (B) (D) (D) 【例32】 已知,且,則不能等于( )。 (A)f(1)+2f(1)+…+nf(1) (B) (C)n(n+1) (D)n(n+1)f(1) 【例33】 的大小關(guān)系是__________. 【例34】 在十進(jìn)制中,那么在5進(jìn)制中數(shù)碼xx折合成十進(jìn)制為 。 【例35】 設(shè),那么P, Q, R的大小順序是 。 【例36】 有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪了四位歌手,甲說(shuō):“是乙或丙獲獎(jiǎng)?!币艺f(shuō):“甲、丙都未獲獎(jiǎng)?!北f(shuō):“我獲獎(jiǎng)了?!倍≌f(shuō):“是乙獲獎(jiǎng)?!彼奈桓枋值脑捴挥袃删涫菍?duì)的,則獲獎(jiǎng)的歌手是 【例37】 若是△的三邊長(zhǎng),求證: 【例38】 △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列, 求證:。 【例39】 用分析法證明:若a>0,則。 【例40】 設(shè)若函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,求證為偶函數(shù)。 【例41】 自然狀態(tài)下魚(yú)類是一種可再生資源,為持續(xù)利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響,用表示某魚(yú)群在第年年初的總量,,且>0.不考慮其它因素,設(shè)在第年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與成正比,死亡量與成正比,這些比例系數(shù)依次為正常數(shù). (Ⅰ)求與的關(guān)系式; (Ⅱ)猜測(cè):當(dāng)且僅當(dāng),滿足什么條件時(shí),每年年初魚(yú)群的總量保持不變?(不要求證明) 【例42】 設(shè)函數(shù). (1)證明:; (2)設(shè)為的一個(gè)極值點(diǎn),證明. 【例43】 已知二次函數(shù), (1)若且,證明:的圖像與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn); (2)證明: 若對(duì),, 且,,則方程必有一實(shí)根在區(qū)間 (,) 內(nèi); (3)在(1)的條件下,是否存在,使成立時(shí),為正數(shù). 題型三:反證法 【例44】 下列表中的對(duì)數(shù)值有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的: 3 5 8 9 15 請(qǐng)將錯(cuò)誤的一個(gè)改正為 = 【例45】 用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí),反設(shè)正確的是( ) ( A ) 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60; (B) 假設(shè)三內(nèi)角都大于60; (C) 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60; (D) 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60。 【例46】 已知=2,關(guān)于p+q的取值范圍的說(shuō)法正確的是 ( ) (A)一定不大于2 (B)一定不大于 (C)一定不小于 (D)一定不小于2 【例47】 否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中,正確的是 ( ) (A)有一個(gè)解 (B)有兩個(gè)解 (C)至少有三個(gè)解 (D)至少有兩個(gè)解 【例48】 設(shè)大于0,則3個(gè)數(shù):,,的值 ( ) (A)都大于2 (B)至少有一個(gè)不大于2 (C)都小于2 (D)至少有一個(gè)不小于2 【例49】 已知α∩β=l,aα、bβ,若a、b為異面直線,則 ( ) (A) a、b都與l相交 (B) a、b中至少一條與l相交 (C) a、b中至多有一條與l相交 (D) a、b都與l相交 【例50】 用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí),反設(shè)正確的是( ) A、假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度; B、 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度; C、假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度;D、 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。 【例51】 命題“關(guān)于x的方程的解是唯一的”的結(jié)論的否定是 ( ) A、無(wú)解 B、兩解 C、至少兩解 D、無(wú)解或至少兩解 【例52】 用反證法證明命題“如果那么”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)____________. 【例53】 用反證法證明“,求證:中至少有一個(gè)不小于”時(shí)的假設(shè)為 【例54】 用反證法證明“若>0,則 ”時(shí)的假設(shè)為 【例55】 用反證法證明命題“可以被5整除,那么中至少有一個(gè)能被5整除?!蹦敲醇僭O(shè)的內(nèi)容是 【例56】 證明:不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng). 【例57】 對(duì)于直線l:y=kx+1,是否存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得l與雙曲線C:3x-y=1的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax(a為常數(shù))對(duì)稱?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。 【例58】 已知,求證: 【例59】 若均為實(shí)數(shù),且。 求證:中至少有一個(gè)大于0。 【例60】 求證:形如的正整數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)的平方和 【例61】 若、, (1)求證:; (2)令,寫(xiě)出、、、的值,觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式; (3)證明:存在不等于零的常數(shù)p,使是等比數(shù)列,并求出公比q的值. 【例62】 設(shè),函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)設(shè)≥1,≥1,且,求證:. 【例63】 設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成: ①; ②存在實(shí)數(shù),使.(為正整數(shù)) ⑴在只有項(xiàng)的有限數(shù)列,中,其中; ;試判斷數(shù)列是否為集合的元素; ⑵設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列,是其前項(xiàng)和,,, 證明數(shù)列;并寫(xiě)出的取值范圍; ⑶設(shè)數(shù)列且對(duì)滿足條件的的最小值,都有. 求證:數(shù)列單調(diào)遞增. 【例64】 設(shè)是定義在上的函數(shù),若存在,使得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則稱為上的單峰函數(shù),為峰點(diǎn),包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間. 對(duì)任意的上的單峰函數(shù),下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法. (1)證明:對(duì)任意的,,若,則為含峰區(qū)間;若,則為含峰區(qū)間; (2)對(duì)給定的,證明:存在,滿足,使得由(1)所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于; (3)選取,,由(1)可確定含峰區(qū)間或,在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取,由與或與類似地可確定一個(gè)新的含峰區(qū)間.在第一次確定的含峰區(qū)間為的情況下,試確定,的值,滿足兩兩之差的絕對(duì)值不小于0.02,且使新的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度縮短到0.34.(區(qū)間長(zhǎng)度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差) 【例65】 已知數(shù)列滿足:, ,;數(shù)列滿足: . ⑴求數(shù)列,的通項(xiàng)公式; ⑵證明:數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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