2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第27課時 相似圖形.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第27課時 相似圖形 內(nèi)容標準: (1)了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段;通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。 (2)通過具體實例認識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。 (3)掌握基本事實:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例。 (4)了解相似三角形的判定定理:兩角分別相等的兩個三角形相似;兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;三邊成比例的兩個三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的證明。 (5)了解相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對應線段的比等于相似比;面積比等于相似比的平方。 (6)了解圖形的位似,知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。 (7)會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題。 (8)在直角坐標系中,探索并了解將一個多邊形的頂點坐標(有一個頂點為原點、有一條邊在橫坐標軸上)分別擴大或縮小相同倍數(shù)時所對應的圖形與原圖形是位似的。 數(shù)學思想、方法 在研究相似圖形性質(zhì)、判定的過程中,進一步發(fā)展空間觀念;經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程,初步建立幾何直觀。體會通過合情推理探索數(shù)學結論,運用演繹推理加以證明的過程,在多種形式的數(shù)學活動中,發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。 十大核心概念在本節(jié)課中突出培養(yǎng)的是幾何直觀、空間觀念、符號意識、推理能力、模型思想、應用意識。 一、基礎知識梳理(課前完成) 1.比例線段 對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等,即___________,那么,這四條線段叫做成比例線段,簡稱比例線段. 2.比例的性質(zhì) ⑴基本性質(zhì):如果a:b=c:d(),那么___________;如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0),那么___________. ⑵合比性質(zhì):如果,那么___________. ⑶等比性質(zhì):如果(b+d++n≠0),那么___________. 3.黃金分割 在線段AB上,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),如果__________,那么線段AB被點C黃金分割。點C叫做線段的黃金分割點,AC與BC的比叫做黃金比,即___________≈___________. 4. 相似多邊形 ⑴定義:各角對應__________、各邊對應__________的兩個多邊形叫做相似多邊形(定義也是判別).相似多邊形__________叫做相似比. ⑵性質(zhì):①對應角__________,對應邊__________; ②周長比等于__________;面積比等于__________. 5. 相似三角形 ⑴性質(zhì):①對應角__________,對應邊__________; ②相似三角形___________的比、對應角平分線的比和___________的比都等于___________的比;周長比等于___________;面積比等于___________. ⑵判別:①兩角對應__________的兩個三角形相似; ②兩邊對應__________且夾角__________的兩個三角形相似; ③三邊對應__________的兩個三角形相似. 注意:(1)全等是特殊的相似,即相似比為1:1 (2)相似三角形分類: ① A型 斜A型 A B C D E A B C D E A B (DE∥BC) (DE不平行于BC) ② X型 斜X型 A B C D E A B C D O (AB∥CD) (AB不平行于CD) (3)當條件中出現(xiàn)“某三角形與某三角形相似”往往要進行分類討論;當出現(xiàn)“某三角形~某三角形”時是唯一確定的. 6.位似圖形 ⑴定義:如果兩個圖形不僅是__________,而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過__________,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.這個點叫做__________,這時的相似比又稱為__________. ⑵性質(zhì):①位似圖形上任意一對對應點到__________的距離之比等于__________. ②對應線段的比等于__________; ③周長比等于__________;面積比等于__________. 注意:⑴相似圖形不一定是位似圖形,位似圖形一定是相似圖形; ⑵位似圖形的放大或縮小要考慮兩種情況:同方向和反方向各做一個. 7.相似三角形的應用 相似三角形的知識在實際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應用,這一應用建立在數(shù)學建模和數(shù)形結合的思想的基礎上,把實際問題轉化為__________問題,通過求解數(shù)學問題達到解決__________問題的目的. 注意:⑴黃金分割的應用:如舞臺主持人的位置、媽媽穿高跟鞋的高度等問題; ⑵利用相似測量物體的高度:如旗桿的高度、物體的影長等問題. 二、基礎診斷題 1.(xx?牡丹江)若x:y=1:3,2y=3z,則的值是( ?。? A. ﹣5 B. ﹣ C. D. 5 2.(xx年山東省濱州市)如圖,平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分 面積相等,則= ?。? 3.(xx?宜昌)如圖,點A,B,C,D的坐標分別是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E為頂點的三角形與△ABC相似,則點E的坐標不可能是( ?。? A. (6,0) B. (6,3) C. (6,5) D. (4,2) 4.如圖,∠DAB=∠CAE,請補充一個條件: , 使△ABC∽△ADE. 5. (xx?天津)如圖,在?ABCD中,點E是邊AD的中點,EC交對角線BD 于點F,則EF:FC等于( ?。? A. 3:2 B. 3:1 C. 1:1 D. 1:2 【精典例題】 例1. (xx?貴陽)如圖,在方格紙中,△ABC和△EPD的頂點均在格點上,要使△ABC∽△EPD,則點P所在的格點為( ?。? A.P1 B.P2 C.P3 D.P4 本題考查了相似三角形的判定:兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似. 例2. (xx?隨州)如圖,在△ABC中,兩條中線BE、CD相交于點O, 則S△DOE:S△COB=( ) A. 1:4 B. 2:3 C. 1:3 D. 1:2 考點: 相似三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理. 例3(xx?菏澤)如圖,Rt△ABO中,∠AOB=90,點A在第一象限、點B在第四象限,且AO:BO=1: ,若點A(x0,y0)的坐標x0,y0滿足y0= ,則點B(x,y)的坐標x,y所滿足的關系式為 y= . 變式:如圖△ABC是等邊三角形,P為BC上一點,D為AC上一點,若 ∠APD=60. (1)求證:△APB∽△PCD (2)若BP=1,CD= ,求△ABC的邊長 例4(xx?武漢)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動,同時動點Q從點C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動,運動時間為t秒(0<t<2),連接PQ. (1)若△BPQ與△ABC相似,求t的值; (2)連接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值; 【自測訓練】 A組—基礎訓練 一、選擇題(每小題有四個選項,只有一個選項是正確的.) 1.如圖,在直角三角形ABC中(∠C=90),放置邊長分別3,4,x的三個正方形,則x的值為( ?。? A.5 B.6 C.7 D.12 2.在正方形ABCD中,E是CD的中點,點F在BC上,且FC=BC.圖中相似三角形共有( ?。〢.1對B.2對C.3對D.4對 3.(xx年江蘇南京)若△ABC∽△A′B′C′,相似比為1:2,則△ABC與△A′B′C′的面積的比為( ) A.1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 4.(xx山東省聊城)如圖,△ABC中,點D、E分別是AB、AC的中點,下列結論不正確的是( ) A.BC=2DE B. △ADE∽△ABC C. D. 5.(xx沈陽)如圖,在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2AD, DE∥BC交AC于點E,若線段DE=5,則線段BC的長為( ) A.7.5 B.10 C.15 D.20 二、填空題 1.(xx?本溪)如圖,已知△ABC和△ADE均為等邊三角形,D在BC上,DE與AC相交于點F,AB=9,BD=3,則CF等于_______。 2.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC、BD相交于點O,若AD=1,BC=3,△AOD的面積為3,則△BOC的面積為___________. 3. (xx安順)在平行四邊形ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2, 則BF:BE= . 4. 在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中,點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上,AB、CD相交于點P,則tan∠APD的值是_____ 5.(xx湖北隨州)如圖,點D,E分別在AB、AC上,且 ∠ABC=∠AED。若DE=4,AE=5,BC=8,則AB的長為______________。 三、解答題 1.(xx?南寧)如圖10,AB∥FC,D是AB上一點,DF交AC于點E,DE=FE,分別延長FD和CB交于點G. (1) 求證:△ADE≌△CFE; (2) 若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的長. 2.(xx?徐州)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,翻折∠C,使點C落在斜邊AB上某一點D處,折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上) (1)若△CEF與△ABC相似. ①當AC=BC=2時,AD的長為 ??; ②當AC=3,BC=4時,AD的長為 ??; (2)當點D是AB的中點時,△CEF與△ABC相似嗎?請說明理由. 3、(xx?樂山)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于點O.M為AD中點,連接CM交BD于點N,且ON=1. (1)求BD的長; (2)若△DCN的面積為2,求四邊形ABCM的面積. 4. (xx年山東省濱州市)如圖,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,點P為AB邊上一動點,OP交AC于點Q. (1)求證:△APQ∽△CDQ; (2)P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動,移動時間為t秒. ①當t為何值時,DP⊥AC? ②設S△APQ+S△DCQ=y,寫出y與t之間的函數(shù)解析式,并探究P點運動到第幾秒到第幾秒 B組—提升訓練 一、選擇題(每小題有四個選項,只有一個選項是正確的.) 1. (xx?萊蕪,第10題3分)如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、BC上的點,且DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:4,則S△BDE:S△ACD=( ) A. 1:16 B. 1:18 C. 1:20 D. 1:24 2. (xx年江蘇南京,第6題,2分)如圖,在矩形AOBC中,點A的坐標是(﹣2,1),點C的縱坐標是4,則B、C兩點的坐標分別是( ) (第2題圖) A.(,3)、(﹣,4) B. (,3)、(﹣,4) C.(,)、(﹣,4) D.(,)、(﹣,4) 3.下列44的正方形網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,三角形的頂點都在格點上,則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是( ) A C B A B C D F E A. B. C. D. 4.在菱形ABCD中,E是BC邊上的點, 連接AE交BD于點F, 若EC=2BE,則的值是( ) A. B. C. D. 5. (xx?湖北黃岡,第8題3分)已知:在△ABC中,BC=10,BC邊上的高h=5,點E在邊AB上,過點E作EF∥BC,交AC邊于點F.點D為BC上一點,連接DE、DF.設點E到BC的距離為x,則△DEF的面積S關于x的函數(shù)圖象大致為( ?。? A. B. C. D. 二、填空題 1. (xx?泰州,第15題,3分)如圖,A、B、C、D依次為一直線上4個點,BC=2,△BCE為等邊三角形,⊙O過A、D、E3點,且∠AOD=120.設AB=x,CD=y,則y與x的函數(shù)關系式為 y=(x>0)?。? 2.如圖,□ABCD中,E是CD的延長線上一點,BE與AD交于點F,CD=2DE.若△DEF的面積為a,則□ABCD中的面積為 .(用a的代數(shù)式表示) 3. (xx?遵義17.(4分))“今有邑,東西七里,南北九里,各開中門,出東門一十五里有木,問:出南門幾何步而見木?”這段話摘自《九章算術》,意思是說:如圖,矩形ABCD,東邊城墻AB長9里,南邊城墻AD長7里,東門點E、南門點F分別是AB,AD的中點,EG⊥AB,F(xiàn)E⊥AD,EG=15里,HG經(jīng)過A點,則FH= 1.05 里. 4. (xx年湖北咸寧16.(3分))如圖,在△ABC中,AB=AC=10,點D是邊BC上一動點(不與B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于點E,且cosα=.下列結論: ①△ADE∽△ACD; ②當BD=6時,△ABD與△DCE全等; ③△DCE為直角三角形時,BD為8或; ④0<CE≤6.4. 其中正確的結論是 ①②③④?。ò涯阏J為正確結論的序號都填上) 5(xx?黔東南州)將一副三角尺如圖所示疊放在一起,則的值是 . 三、解答題 1、((xx年山東泰安,第28題)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,AC與BD交于點E,∠ADB=∠ACB. (1)求證:=; (2)若AB⊥AC,AE:EC=1:2,F(xiàn)是BC中點,求證:四邊形ABFD是菱形. 2、(xx?四川自貢,第23題12分)閱讀理解: 如圖①,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與A、B重合),分別連接ED、EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”.解決問題: (1)如圖①,∠A=∠B=∠DEC=45,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由; (2)如圖②,在矩形ABCD中,A、B、C、D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上,試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強相似點; (3)如圖③,將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處,若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,試探究AB與BC的數(shù)量關系. 3、(xx?包頭)如圖,已知∠MON=90,A是∠MON內(nèi)部的一點,過點A作AB⊥ON,垂足為點B,AB=3厘米,OB=4厘米,動點E,F(xiàn)同時從O點出發(fā),點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動,點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動,EF與OA交于點C,連接AE,當點E到達點B時,點F隨之停止運動.設運動時間為t秒(t>0). (1)當t=1秒時,△EOF與△ABO是否相似?請說明理由; (2)在運動過程中,不論t取何值時,總有EF⊥OA.為什么? (3)連接AF,在運動過程中,是否存在某一時刻t,使得S△AEF=S四邊形ABOF?若存在,請求出此時t的值;若不存在,請說明理由. 課后反饋 1.(本小題滿分9分)已知:△ABC是任意三角形. ⑴如圖1所示,點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點.求證:∠MPN=∠A. ⑵如圖2所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2是邊BC的三等分點,你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確?請說明你的理由. A B C N M P A M N P1 C P2 B A C M N P1 P2 Pxx …… …… B 第23題圖2 第23題圖1 第23題圖3 ⑶如圖3所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2、……、Pxx是邊BC的xx等分點,則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MPxxN=____________.(請直接將該小問的答案寫在橫線上.) 2.(2011)28.(9分)如圖,點C為線段AB上任意一點(不與點A、B重合),分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD與∠BCE都是銳角,且∠ACD=∠BCE,連接AE交CD于點M,連接BD交CE于點N,AE與BD交于點P,連接CP. (1)求證:△ACE≌△DCB; (2)請你判斷△ACM與△DPM的形狀有何關系并說明理由; D E A M N C B (3)求證:∠APC=∠BPC. C O A B D x y 第27題圖 3.(本小題滿分9分)如圖,已知雙曲線y=經(jīng)過點D(6,1),點C是雙曲線第三象限分支上的動點,過C作CA⊥x軸,過D作DB⊥y軸,垂足分別為A,B,連結AB,BC. (1)求k的值; (2)若△BCD的面積為12,求直線CD的解析式; (3)判斷AB與CD的位置關系,并說明理由. 4. (本小題滿分9分) 如圖1,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A(-3,0),B(-1,0),與y軸相交于點C.⊙O1為△ABC的外接圓,交拋物線于另一點D. (1)求拋物線的解析式; (2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半徑; (3)如圖2,拋物線的頂點為P,連結BP,CP,BD,M為弦BD的中點.若點N在坐標平面內(nèi),滿足△BMN∽△BPC,請直接寫出所有符合條件的點N的坐標. 第28題圖2 O B A C D P M O1 x y 第28題圖1 O B A C D O1 x y 5、已知直線,相鄰的兩條平行直線間的距離均為,矩形ABCD的四個頂點分別在這四條直線上,放置方式如圖所示,AB=4,BC=6,則的值等于 (A) (B) (C) (D) 6、如圖1,拋物線平移后過點A(8,,0)和原點,頂點為B,對稱軸與軸相交于點C,與原拋物線相交于點D. (1)求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積; A B C D x y O 第6題圖1 P A B C M N x y O 第28題圖2 (2)如圖2,直線AB與軸相交于點P,點M為線段OA上一動點,為直角,邊MN與AP相交于點N,設,試探求: ①為何值時為等腰三角形; ②為何值時線段PN的長度最小,最小長度是多少.- 配套講稿:
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