2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.2.1 直線的點斜式方程和兩點式方程教案 新人教B版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.2.1 直線的點斜式方程和兩點式方程教案 新人教B版必修2 教學分析 教材利用斜率公式推導出了直線的點斜式方程,利用直線的點斜式方程推導出了直線的斜截式方程,讓學生討論得出直線的兩點式方程,在練習B中給出了直線的截距式方程. 值得注意的是本節(jié)所討論直線方程的四種形式中,點斜式方程是基礎是一個“母方程”,其他方程都可以看成是點斜式方程的“子方程”.因此在教學中要突出點斜式方程的教學,其他三種方程形式可以讓學生自己完成推導. 三維目標 1.掌握直線的點斜式方程和斜截式方程;了解直線的斜截式方程是點斜式方程的特例,培養(yǎng)普遍聯(lián)系的辯證思維能力. 2.理解直線的兩點式方程和截距式方程,并能探討直線方程不同形式的適用范圍,提高學生思維的嚴密性. 3.會求直線方程,提高學生分析問題和解決問題的能力. 重點難點 教學重點:直線方程的四種形式及應用. 教學難點:求直線方程. 課時安排 1課時 導入新課 設計1.我們知道兩點確定一條直線,除此之外,在平面直角坐標系中,一個定點和斜率也能確定一條直線,那么怎樣求由一點和斜率確定的直線方程呢?教師引出課題. 設計2.上一節(jié)我們已經學習了直線方程的概念,其中直線y=kx+b就是我們本節(jié)所要進一步學習的內容,教師引出課題. 推進新課 (1)如左下圖所示,已知直線l過P0(x0,y0),且斜率為k,求直線l的方程. (2)已知直線l過點P(0,b),且斜率為k(如右上圖),求直線l的方程. (3)已知兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,求直線AB的方程. (4)已知直線l在x軸上的截距是a,在y軸上的截距是b,且a≠0,b≠0.求證直線l的方程可寫為+=1.(這種形式的直線方程,叫做直線的截距式方程) 討論結果: (1)設點P(x,y)為直線l上不同于P0(x0,y0)的任意一點,則直線l的斜率k可由P和P0兩點的坐標表示為k=.即y-y0=k(x-x0).① 方程①就是點P(x,y)在直線l上的條件.在l上的點的坐標都滿足這個方程,坐標滿足方程①的點也一定在直線l上. 方程①是由直線上一點P0(x0,y0)和斜率k所確定的直線方程,我們把這個方程叫做直線的點斜式方程. 特別地,當k=0時,直線方程變?yōu)閥=y(tǒng)0.這時,直線平行于x軸或與x軸重合. (2)直線l的點斜式方程為y-b=k(x-0).整理,得y=kx+b. 這個方程叫做直線的斜截式方程.其中k為斜率,b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距,簡稱為直線的截距. 這種形式的方程,當k不等于0時,就是我們熟知的一次函數(shù)的解析式. (3)設P(x,y)是直線AB上任一點,則kAB=,所以直線AB的點斜式方程為y-y1=(x-x1),整理得=(x1≠x2,y1≠y2),這種形式的方程叫做直線的兩點式方程. (4)直線l過點(a,0),(0,b),則直線l的兩點式方程為=,整理得+=1.這種形式的直線方程,叫做直線的截距式方程. 思路1 例1求下列直線的方程: (1)直線l1:過點(2,1),k=-1; (2)直線l2:過點(-2,1)和點(3,-3). 解:(1)直線l1過點(2,1),斜率k=-1. 由直線的點斜式方程,得y-1=-1(x-2),整理,得l1的方程為x+y-3=0. (2)我們先求出直線的斜率,再由點斜式寫出直線方程. 直線l2的斜率k==-,又因為過點(-2,1),由直線的點斜式方程,得y-1=-[x-(-2)],整理,得l2的方程4x+5y+3=0. 另解:直線l2的兩點式方程為=,整理,得4x+5y+3=0. 點評:為了統(tǒng)一答案的形式,如沒有特別要求,直線方程都化為ax+by+c=0的形式. 變式訓練 分別求出通過點P(3,4)且滿足下列條件的直線方程,并畫出圖形: (1)斜率k=2;(2)與x軸平行;(3)與x軸垂直. 解:(1)這條直線經過點P(3,4),斜率k=2,點斜式方程為y-4=2(x-3), 可化為2x-y-2=0.如圖(1)所示. (2)由于直線經過點P(3,4)且與x軸平行,即斜率k=0,所以直線方程為y=4. 如圖(2)所示. (3)由于直線經過點P(3,4)且與x軸垂直,所以直線方程為x=3. 如圖(3)所示. 圖(1) 圖(2) 圖(3) 例2已知三角形三個頂點分別是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求這個三角形三邊各自所在直線的方程. 解:如下圖,因為直線AB過A(-3,0),B(2,-2)兩點,由兩點式,得=,整理,得2x+5y+6=0, 這就是直線AB的方程; 直線AC過A(-3,0),C(0,1)兩點,由兩點式,得=,整理,得x-3y+3=0, 這就是直線AC的方程; 直線BC的斜率是k==-,過點C(0,1), 由點斜式,得y-1=-(x-0), 整理得3x+2y-2=0, 這就是直線BC的方程. 例3求過點(0,1),斜率為-的直線的方程. 解:直線過點(0,1),表明直線在y軸上的截距為1,又直線斜率為-,由直線的斜截式方程,得y=-x+1. 即x+2y-2=0. 變式訓練 1.直線l:y=4x-2在y軸上的截距是______,斜率k=______. 答案:-2 4 2.已知直線l:y=kx+b經過第二、三、四象限,試判斷k和b的符號. 解:如下圖所示 因為直線l與x軸的正方向的夾角是鈍角,與y軸交點位于y軸的負半軸上,所以k<0,b<0. 思路2 例4過兩點(-1,1)和(3,9)的直線l在x軸上的截距是______,在y軸上的截距是______. 解析:直線l的兩點式方程是=,當x=0時,y=3;當y=0時,x=-.即直線l在x軸上的截距等于-,在y軸上的截距等于3. 答案:- 3 點評:已知直線的截距式方程,可以直接觀察得出在兩坐標軸上的截距;已知直線的非截距式方程時,令x=0,解得y的值即是在y軸上的截距,令y=0,解得x的值即是在x軸上的截距. 變式訓練 已知直線過點P(-2,3),且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4,求直線的方程. 解:因為直線與x軸不垂直,所以可設直線的方程為y-3=k(x+2). 令x=0,得y=2k+3; 令y=0,得x=--2. ∴由題意,得|(2k+3)(--2)|=4. 若(2k+3)(--2)=-8,無解; 若(2k+3)(--2)=8, 解得k=-,k=-. ∴所求直線的方程為y-3=-(x+2)和y-3=-(x+2),即x+2y-4=0和 9x+2y+12=0. 例5 設△ABC的頂點A(1,3),邊AB、AC上的中線所在直線的方程分別為x-2y+1=0,y=1,求△ABC中AB、AC各邊所在直線的方程. 分析:為了搞清△ABC中各有關元素的位置狀況,我們首先根據(jù)已知條件,畫出圖形,幫助思考問題. 解:如下圖,設AC的中點為F,則AC邊上的中線BF為y=1. AB邊的中點為E,則AB邊上中線CE為x-2y+1=0. 設C點坐標為(m,n).在A、C、F三點中A點已知,C點未知,F(xiàn)雖然為未知但其在中線BF上,滿足y=1這一條件. 這樣用中點公式解出n=-1. 又C點在中線CE上,應當滿足CE的方程,則m-2n+1=0. ∴m=-3. ∴C點為(-3,-1). 用同樣的思路去求B點.設B點為(a,b),顯然b=1. 又B點、A點、E點中,E為中點,B點為(a,1), E點坐標為(,),即(,2).E點在CE上,應當滿足CE的方程-4+1=0,解出a=5.∴B點為(5,1). 由兩點式,即可得到AB,AC所在直線的方程.lAC:x-y+2=0.lAB:x+2y-7=0. 點評:此題思路較為復雜,應從中領悟到兩點: (1)中點公式要靈活應用; (2)如果一個點在直線上,則這點的坐標滿足這條直線的方程,這一觀念必須牢牢地樹立起來. 變式訓練 已知點M(1,0),N(-1,0),點P為直線2x-y-1=0上的動點,則|PM|2+|PN|2的最小值為多少? 解:∵P點在直線2x-y-1=0上, ∴設P(x0,2x0-1). ∴|PM|2+|PN|2=(2x0-1)2+(x0-1)2+(2x0-1)2+(x0+1)2=2(2x0-1)2+2x+2=10x-8x0+4=10(x0-)2+≥. ∴最小值為. 例6 經過點A(1,2)并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條?請求出這些直線的方程. 解:當截距為0時,設y=kx,過點A(1,2),則得k=2,即y=2x. 當截距不為0時,設+=1或+=1,過點A(1,2), 則得a=3,或a=-1,即x+y-3=0或x-y+1=0. 綜上,所求的直線共有3條:y=2x,x+y-3=0或x-y+1=0. 點評:本題易漏掉直線y=2x,其原因是忽視了直線方程的截距式滿足的條件之一:在兩坐標軸上的截距均不為零. 變式訓練 過點P(4,-3)的直線l在兩坐標軸上的截距相等,求直線l的方程. 解:直線l在兩坐標軸上的截距相等都為0時,直線過(0,0)、(4,-3),由兩點式得直線方程為y=-x;當直線l在兩坐標軸上的截距相等且不為0時,可以設截距為a,直線方程為+=1,過點(4,-3),解得直線的方程為x+y=1. 1.經過點(-,2),傾斜角是30的直線的方程是( ) A.y+=(x-2) B.y+2=(x-) C.y-2=(x+) D.y-2=(x+) 答案:C 2.已知直線方程y-3=(x-4),則這條直線經過的已知點,傾斜角分別是( ) A.(4,3),60 B.(-3,-4),30 C.(4,3),30 D.(-4,-3),60 答案:A 3.直線方程可表示成點斜式方程的條件是( ) A.直線的斜率存在 B.直線的斜率不存在 C.直線不過原點 D.不同于上述答案 答案:A 4.直線y=-(x-2)繞點(2,0)按順時針方向旋轉30所得的直線方程是______. 解析:直線y=-(x-2)的傾斜角為120,繞點(2,0)按順時針方向旋轉30后,傾斜角為120-30=90,則所得直線方程是x=2,即x-2=0. 答案:x-2=0 5.已知△ABC的頂點坐標為A(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3),M是BC邊上的中點. (1)求AB邊所在的直線方程; (2)求中線AM的長; 解:(1)由兩點式寫方程,得=,即6x-y+11=0. (2)設M的坐標為(x0,y0),則由中點坐標公式,得x0==1,y0==1, 故M(1,1),AM==2. 6.已知如下圖,正方形邊長是4,它的中心在原點,對角線在坐標軸上,求正方形各邊及對稱軸所在直線的方程. 分析:由于正方形的頂點在坐標軸上,所以可用截距式求正方形各邊所在直線的方程.而正方形的對稱軸PQ、MN、x軸、y軸則不能用截距式,其中PQ、MN應選用斜截式,x軸,y軸的方程可以直接寫出. 解:因為|AB|=4,所以|OA|=|OB|==2. 因此A、B、C、D的坐標分別為(2,0)、(0,2)、(-2,0)、(0,-2). 所以AB所在直線的方程是+=1,即x+y-2=0. BC所在直線的方程是+=1,即x-y+2=0. CD所在直線的方程是+=1,即x+y+2=0. DA所在直線的方程是+=1,即x-y-2=0. 對稱軸方程分別為xy=0,x=0,y=0. 如左下圖,要在土地ABCDE上劃出一塊長方形地面(不改變方向),問如何設計才能使占地面積最大?并求出最大面積(單位:m). 解:如右上圖,建立直角坐標系,在線段AB上任取一點P分別向CD、DE作垂線,劃得一矩形土地. ∵AB方程為+=1,∴P(x,20-)(0≤x≤30),則S矩形=(100-x)[80-(20-)]=-(x-5)2+6 000+(0≤x≤30), ∴當x=5,y=,即P(5,)時,(S矩形)max=(m2). 本節(jié)課學習了: 1.直線方程的四種形式; 2.會求直線方程; 3.注意直線方程的使用條件,尤其關注直線的斜率是否存在從而分類討論. 本節(jié)練習B 2,3題. 本節(jié)教學設計,以課程標準為指南,對直線方程的四種形式放在一起集中學習,這樣有利于對比方程的適用范圍,比教材中分散學習效果要好,特別是應用示例思路2的總體難度較大,適用于基礎扎實、學習有余力的同學. 解析幾何的應用 解析幾何又分為平面解析幾何和空間解析幾何.在平面解析幾何中,除了研究直線的有關性質外,主要是研究圓錐曲線(圓、橢圓、拋物線、雙曲線)的有關性質.在空間解析幾何中,除了研究平面、直線的有關性質外,主要研究柱面、錐面、旋轉曲面、橢圓、雙曲線、拋物線的有關性質,在生產或生活中被廣泛應用.比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面,燈絲在一個焦點上,影片門在另一個焦點上;探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的.總的來說,解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題:一類是滿足給定條件點的軌跡,通過坐標系建立它的方程;另一類是通過方程的討論,研究方程所表示的曲線性質.運用坐標法解決問題的步驟是:首先在平面上建立坐標系,把已知點的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程;然后運用代數(shù)工具對方程進行研究;最后把代數(shù)方程的性質用幾何語言敘述,從而得到原先幾何問題的答案. 備選習題 1.求與兩坐標軸正向圍成面積為2的三角形,并且兩截距之差為3的直線的方程. 解:設直線方程為+=1,則由題意知ab=2,∴ab=4.又|a-b|=3, 解得a=4,b=1或a=1,b=4.則直線方程是+=1或+=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 2.已知直線l1:y=4x和點P(6,4),過點P引一直線l與l1交于點Q,與x軸正半軸交于點R,當△OQR的面積最小時,求直線l的方程. 分析:因為直線l過定點P(6,4),所以只要求出點Q的坐標,就能由直線方程的兩點式寫出直線l的方程. 解:因為過點P(6,4)的直線方程為x=6和y-4=k(x-6), 當l的方程為x=6時,△OQR的面積為S=72; 當l的方程為y-4=k(x-6)時,點R的坐標為R(,0),點Q的坐標為Q(,), 此時△OQR的面積S==. ∵S≥0,∴r(r-4)>0, ∴r>4或r<0. 變形為(S-72)k2+(96-4S)k-32=0(S≠72). 因為上述方程根的判別式Δ≥0, 所以(96-4S)2+432(S-72)≥0, 解得16S(S-40)≥0,即S≥40. 此時k=-1,所以,當且僅當k=-1時,S有最小值40. 此時,直線l的方程為y-4=-(x-6),即x+y-10=0. 點評:此題是一道有關函數(shù)最值的綜合題.如何恰當選取自變量,建立面積函數(shù)是解答本題的關鍵.怎樣求這個面積函數(shù)的最值,學生可能有困難,教師宜根據(jù)學生的實際情況進行啟發(fā)和指導. 3.已知直線y=kx+k+2與以A(0,-3)、B(3,0)為端點的線段相交,求實數(shù)k的取值范圍. 分析:本題要首先畫出圖形如下圖,幫助我們找尋思路,仔細研究直線y=kx+k+2,我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥-2=k(x+1),這就可以看出,這是過(-1,2)點的一組直線.設這個定點為P(-1,2). 解:我們設PA的傾斜角為α1,PC的傾斜角為α,PB的傾斜角為α2,且α1≤α≤α2. 則k1=tanα1≤k≤k2=tanα2. 又k1==-5,k2==-, 則實數(shù)k的取值范圍是-5≤k≤-.- 配套講稿:
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