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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第19章 四邊形單元綜合測(cè)驗(yàn) (新版)滬科版
一、單選題(每小題4分,共40分)
1、在四邊形ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),能判定這個(gè)四邊形是下方形的條件是( )
A.AC=BD,ADCD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=OC=DO,AB=BC
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
2、矩形的四個(gè)內(nèi)角平分線圍成的四邊形( )
A.一定是正方形
B.是矩形
C.菱形
D.只能是平行四邊形
3、從正方形鐵片,截去2cm寬的一條長(zhǎng)方形,余下的面積是48cm2,則原來(lái)的正方形鐵片的面積是( )
A.8cm
B.64cm
C.8cm2
D.64cm2
4、如圖,D,E分別為△ABC的AC,BC邊的中點(diǎn),將此三角形沿DE折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若∠CDE=48,∠APD等于( )
A.42
B.48
C.52
D.58
5、如圖,□ABCD中,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果AC=12、BD=10、AB=m,那么m的取值范圍是( )
A.1
AB=BC:<2>∠DAB=90:<3>BO=DO,AO=CO:<4>矩形ABCD;<5>菱形ABCD;<6>下方形ABCD,則下列推論中不正確的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題(每小題5分,共20分)
11、如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,E、F、G、H分別為其各邊的中點(diǎn),則圖中陰影部分的面積為( )。
12、如圖是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成了“十”字型對(duì)稱圖形,則圖中∠BAC的度數(shù)是( )。
13、如圖,在□ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),AC分別交BE、DF于G、H,以下結(jié)論:①BE=DF;②AG=GH=HC;③:④S△ABE=3S△AGE其中正確的有( )
14、如圖,是用4個(gè)相同的小矩形與一個(gè)小正方形鑲嵌成的正方形圖案,已知圖案的面積為49,小正方形的面積為4,若用x,y表示表示小矩形的兩邊長(zhǎng)(x>y),請(qǐng)觀察圖案,寫(xiě)出用x,y表示的三個(gè)等式。
三、解答題
15、如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),且∠CAE=15
(1)求證:△AOB為等邊三角形: (2)求∠BOE度數(shù)。
16、已知:如圖,在□ABCD中,BE.CE分別平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,BE=12cm,CE=5cm.求□ABCD的周長(zhǎng)和面積。
17、(1)圖中將兩個(gè)等寬矩形重疊一起,則重疊四邊形ABCD是什么特殊四邊形?不需證明。?
(2)若(1)中是兩個(gè)全等的矩形,矩形的長(zhǎng)為8cm,寬為4cm,重疊一起時(shí)不完全重合,試求重疊四邊形ABCD的最小面積和最大面積,并請(qǐng)對(duì)面積最大時(shí)的情況畫(huà)出示意圖。
?
18、已知:在△ABC中,∠C=90,∠A=30,BC=3cm,AB邊上有一只小蟲(chóng)P,由A向B沿AB以1cm/秒的速度爬行,過(guò)P做PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,求:(1)矩形PECF的周長(zhǎng)y(cm)與爬行時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,及自變量的取值范圍;
(2)小蟲(chóng)爬行多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形PECF是正方形。
19、(1)如圖,已知□ABCD,試用三種方法將它分成面積相等的兩部分。(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)
由上述方法,你能得到什么一般性的結(jié)論?
(2)解決問(wèn)題:有兄弟倆分家時(shí),原來(lái)共同承包的一塊平行四邊形田地ABCD,現(xiàn)要進(jìn)行平均劃分,由于在這塊地里有一口井P,如圖所示,為了兄弟倆都能方便使用這口井,兄弟倆在劃分時(shí)犯難了,聰明的你能幫他們解決這個(gè)問(wèn)題嗎?(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)
20、如圖,在△ABC中,AB=BC,BD是中線,過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD,AE與DE交于點(diǎn)E.求證:四邊形ADBE是矩形.
21、如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA角平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:EO=FO;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論。
22、已知:在△ABC中,BC>AC,動(dòng)點(diǎn)D繞△ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),且AD=BC,連結(jié)DC.過(guò)AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線,直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí),點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合,取AC的中點(diǎn)H.連結(jié)HE、HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì),可得結(jié)論∠AMF=∠BNE(不需證明).
(2)當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí),∠AMF與∠BNE有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)分別寫(xiě)出猜想,并任選一種情況證明.
23、如圖,四邊形ABCD中,AC=6,BD=8,且AC⊥BD,順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1;再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2……,如此進(jìn)行下去得到四邊形AnBnCnDn。
?
(1)證明:四邊形A1B1C1D1是矩形;
(2)仔細(xì)探索,解決以下問(wèn)題:(填空)①四邊形A1B1C1D1的面積為_(kāi)_______A2B2C2D2的面積為_(kāi)_______;②四邊形AnBnCnDn的面積為_(kāi)_______(用含n的代數(shù)式表示);③四邊形A5B5C5D5的周長(zhǎng)為_(kāi)_______。
參考答案與試題解析
C
試題解析:
【分析】
本題是考查正方形的判別方法,判別一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念,途經(jīng)有兩種:①先說(shuō)明它是矩形,再說(shuō)明有一組鄰邊相等;②先說(shuō)明它是菱形,再說(shuō)明它有一個(gè)角為直角.
?根據(jù)正方形的判定:對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形進(jìn)行分析從而得到最后的答案.
【解答】
解:A.因?yàn)闂l件AD∥CD,且AD=CD不能成立,所以不能判定為正方形;
B.不能,只能判定為平行四邊形;
C.能;
D.不能,只能判定為菱形.
故選C.
A
試題解析:
【分析】
本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、正方形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握矩形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.由矩形的性質(zhì)和角平分線證出四邊形GMON為矩形,再證出△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形,得出OD=OC,證明△AMD≌△BNC,得出NC=DM,得出OM=ON,即可得出結(jié)論.
【解答】
解:如圖所示:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠CBA=∠BCD=∠ADC=90, AD=BC,
∵AF,BE是矩形的內(nèi)角平分線.
∴∠DAM=∠BAF=∠ABE=∠CBE=45.
∴∠1=∠2=90.
同理:∠MON=∠OMG=90,
∴四邊形GMON為矩形.
又∵AF、BE、DK、CJ為矩形ABCD的角的平分線,
∴△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形,
∴OD=OC,
在△AMD和△BNC中,
∴△AMD≌△BNC(AAS),
∴NC=DM,
∴NC-OC=DM-OD,
即OM=ON,
∴矩形GMON為正方形.
故選A.
D
試題解析:
【分析】
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找到關(guān)鍵描述語(yǔ),找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.解題過(guò)程中要注意根據(jù)實(shí)際意義進(jìn)行值的取舍.
可設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是xcm,根據(jù)“余下的面積是48cm2”,余下的圖形是一個(gè)矩形,矩形的長(zhǎng)是正方形的邊長(zhǎng),寬是x-2,根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程求解.
【解答】
解:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是xcm,根據(jù)題意得x(x-2)=48,
解得x1=-6(舍去),x2=8,
那么原正方形鐵片的面積是88=64(cm2).
故選D.
B
試題解析:
【分析】
本題考查三角形中位線定理的位置關(guān)系,并運(yùn)用了三角形的翻折變換知識(shí),解答此題的關(guān)鍵是要了解圖形翻折變換后與原圖形全等.由翻折可得∠PDE=∠CDE,由中位線定理得DE∥AB,所以∠CDE=∠DAP,進(jìn)一步可得∠APD=∠CDE.
解:∵△PED是△CED翻折變換來(lái)的,
∴△PED≌△CED,
∴∠CDE=∠EDP=48,
∵DE是△ABC的中位線,
∴DE∥AB,
∴∠APD=∠CDE=48,
故選B.
A
試題解析:
【分析】
本題考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,求出OA、OB后得出OA-OB<m<OA+OB是解此題的關(guān)鍵.
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OA、OB,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到OA-OB<m<OA+OB,代入求出即可.
【解答】
解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,AC=12,BD=10,
∴OA=OC=6,OD=OB=5,
在△OAB中,OA-OB<m<OA+OB,
∴6-5<m<6+5,
∴1<m<11.
故選A.
B
試題解析:
【分析】
本題考查了矩形的性質(zhì),比較簡(jiǎn)單,根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)解答即可.根據(jù)已知條件,可得出△AEP∽△ADC;△DFP∽△DAB,從而可得出PE,PF的關(guān)系式,然后整理即可解答本題.
【解答】
解:設(shè)AP=x,PB=3-x.
∵∠EAP=∠EAP,∠AEP=∠ABC;
∴△AEP∽△ABC,故=①;
同理可得△BFP∽△DAB,故=②.
①+②得=,
∴PE+PF=.
故選B.
A
試題解析:
【分析】
此題主要考查了正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì).解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角的性質(zhì).
根據(jù)正方形的對(duì)角線的性質(zhì),可得∠ACD=∠ACB=45,進(jìn)而可得∠ACE的大小,再根據(jù)三角形外角定理,結(jié)合CE=AC,易得∠CEF=22.5,再由三角形外角定理可得∠AFC的大小.
【解答】
解:AC是正方形的對(duì)角線,
∴∠ACD=∠ACB=45,
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135,
又∵CE=AC,
∴∠CEF=22.5,
∴∠AFC=90+22.5=112.5.
故選A.
B
試題解析:
【分析】
本題主要考查了三角形的面積公式和平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等).要求能靈活的運(yùn)用等量代換找到需要的關(guān)系.根據(jù)三角形面積公式可知,圖中陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半.所以S陰影=S四邊形ABCD.
【解答】
解:設(shè)兩個(gè)陰影部分三角形的底為AB,CD,高分別為h1,h2,則h1+h2為平行四邊形的高,
∴S△EAD+S△ECB
=AD?h1+CB?h2=AD(h1+h2)
=S四邊形ABCD
=4.
故選B.
D
試題解析:
【分析】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的面積,平行四邊形的對(duì)角線將平行四邊形分成面積相等的兩個(gè)三角形,本題解題關(guān)鍵是利用三角形的面積計(jì)算公式找出所求三角形與已知三角形的面積關(guān)系.
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知△ABC的面積是平行四邊形面積的一半,再進(jìn)一步確定△BEF和△ABC的面積關(guān)系即可.
【解答】
解:∵S?ABCD=12,
∴S△ABC=S?ABCD=6,
∴S△ABC=AC高=3EF高=6,
得到:EF高=2,
∵△BEF的面積=EF高=2.
∴△BEF的面積為2.
故選D.
10、C
試題解析:
【分析】
本題考查是矩形、菱形、正方形的判定定理,如:一組鄰邊相等的矩形是正方形;對(duì)角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;對(duì)角線互相平分且一個(gè)角是直角的四邊形是矩形.根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析.
【解答】
解:A.由<1><4>得,一組鄰邊相等的矩形是正方形,故A正確;
B.由<3>得,四邊形ABCD是平行四邊形,再由<1>,一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,故B正確;
C.由<1><2>不能判斷四邊形是正方形,故C錯(cuò)誤;
D.由<3>得,四邊形是平行四邊形,再由<2>,一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,故D正確;
故選C.
11、
試題解析:
【分析】
本題利用了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理求解.
?根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求得陰影部分的邊長(zhǎng),從而即可求得陰影部分的面積.
【解答】
解:
正方形的邊長(zhǎng)為1,則CD=1,CF=,
由勾股定理得,DF=,
由同角的余角相等,易得△FCW∽△FDC,
∴CF:DF=CW:DC=WF:CF,得WF=,CW=,
同理,DS=,
∴SW=DF-DS-WF=,
∴陰影部分小正方形的面積()2=.
故答案為.
12、45
試題解析:
【分析】
本題考查了正方形的性質(zhì),通過(guò)作輔助線構(gòu)造特殊三角形求解是解決角度問(wèn)題的一般做法,要求熟練掌握.由題意知,各正方形的邊長(zhǎng)均為1,連接BC,利用角度關(guān)系可以得出△ABC為等腰直角三角形,進(jìn)而得出∠BAC=45.
【解答】
解:如圖,根據(jù)題意可知,∠BAD=∠FBC、∠ABD=∠BCF,
∴∠ABD+∠FBC=90,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA=45.
故答案為45.
13、①②③④
試題解析:
【分析】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線等分線段定理與全等三角形的判定,中等難度,解答此類題目的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的幾個(gè)重要的性質(zhì).
根據(jù)三角形全等的判定,由已知條件可證①△ABE≌△CDF;繼而證得②AG=GH=HC;又根據(jù)三角形的中位線定理可證△ABG≌△DCH,得③EG=BG.而④S△ABE=3S△AGE正確,從而判斷出了答案.
【解答】
解:①在?ABCD中,∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),
∴ED∥BF,ED=BF,
∴四邊形BFDE是?,
∴BE=DF,
∴①是正確的;
②∵BE∥DF,在△ADH中,E是AD邊的中點(diǎn),
∴G是AH邊的中點(diǎn),
∴AG=GH,
同理可證CH=GH,
即AG=GH=HC,
∴②是正確的;
③由②的結(jié)論可判斷EG=DH,
再根據(jù)已知條件及結(jié)論得AD=BC,AH=CG,∠DAC=∠BCG,
∴△ADH≌△CBG,
∴BG=DH,
故EG=BG,
∴③是正確的;
④在△ABE與△AGE中,分別以BE、GE為底邊時(shí),
∴它們的高相等,面積之比即為底邊BE與GE之比,
根據(jù)③的結(jié)論,BE:GE=1:3,
∴S△ABE=3S△AGE,
∴④是正確的.
故答案為①②③④.
14、x+y=7,x=y+2,(x+y)2=(2y+2)2(答案不唯一)
試題解析:
【分析】
本題考查了列代數(shù)式.根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)和面積列式即可.
【解答】
解:∵圖案的面積為49,小正方形的面積為4,
∴圖案的邊長(zhǎng)為7,小正方形的邊長(zhǎng)為2,
∴可列等式可以為:x+y=7,x=y+2,(x+y)2=49,(x+y)2=(2y+2)2,(x+y)2=4xy+4(任選三個(gè)即可).
故答案為x+y=7,x=y+2,(x+y)2=(2y+2)2.(答案不唯一)
15、正確答案:
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=90,AO=BO=AC=BD,
∵AE是∠BAD的角平分線,
∴∠BAE=45,
∵∠CAE=15,
∴∠BAC=60,
∴△AOB是等邊三角形;
(2)解:∵在Rt△ABE中,∠BAE=45,
∴AB=BE,
∵△ABO是等邊三角形,
∴AB=BO,
∴OB=BE,
∵∠OBE=30,OB=BE,
∴∠BOE=(180-30)=75.
試題解析:
本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理.熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以O(shè)A=OB,則只需求得∠BAC=60,即可證明三角形是等邊三角形;
(2)因?yàn)椤螧=90,∠BAE=45,所以AB=BE,又因?yàn)椤鰽BO是等邊三角形,則∠OBE=30,故∠BOE度數(shù)可求.
16、正確答案:
解:∵BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD,
∴∠1=∠3=∠ABC,∠DCE=∠BCE=∠BCD,
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴∠2=∠3,∠BCE=∠CED,∠ABC+∠BCD=180,
∴∠1=∠2,∠DCE=∠CED,∠3+∠BCE=90,
∴AB=AE,CD=DE,∠BEC=90,
在直角三角形BCE中,根據(jù)勾股定理得:BC=13,
根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等,得到:AB=CD,AD=BC,
∴平行四邊形的周長(zhǎng)等于:13+13+13=39.
作EF⊥BC于F.根據(jù)直角三角形的面積公式得:EF==,
所以平行四邊形的面積==60.
即平行四邊形的周長(zhǎng)為39cm,面積為60cm2.
試題解析:
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),在平行四邊形中,當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí),一般可構(gòu)造等腰三角形,進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題.根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE.根據(jù)直角三角形的勾股定理得到BC=13.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=CD=AD=BC=6.5,從而求得該平行四邊形的周長(zhǎng);根據(jù)直角三角形的面積可以求得平行四邊形BC邊上的高.
17、正確答案:
解:(1)重疊四邊形ABCD是菱形.
(2)當(dāng)菱形ABCD為正方形時(shí),s最小=42=16(cm2);
當(dāng)菱形ABCD如圖時(shí),面積最大.
設(shè)CD=x,根據(jù)勾股定理得x2=(8-x)2+42,
解得x=5.
∴s最大=BCDE=54=20(cm2).
試題解析:
此題考查了菱形的判定方法、矩形的性質(zhì)及面積的計(jì)算問(wèn)題.應(yīng)明白在什么情況下重疊面積最小或最大,這是此題的難點(diǎn).
(1)易證ABCD為平行四邊形;根據(jù)矩形等寬,說(shuō)明平行四邊形的各邊上的高相等,利用等積表示法證明鄰邊相等.根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證;
證明:根據(jù)矩形對(duì)邊平行,可得ABCD是平行四邊形;
因?yàn)榫匦蔚葘?,即ABCD各邊上的高相等.
根據(jù)平行四邊形的面積公式可得鄰邊相等,
所以ABCD是菱形;
(2)當(dāng)ABCD為正方形時(shí)面積最?。划?dāng)對(duì)角線重合時(shí)的菱形面積最大.分別計(jì)算求解.
18、正確答案:
解:∵小蟲(chóng)P由A向B沿AB以1cm/秒的速度爬行,
∴AP=tcm,
∵在△ABC中,∠C=90,∠A=30,BC=3cm,
∴PF=AP=tcm,AC=BCtan30=3=3cm,AF=AP=tcm,
∴PE=FC=(3-t)cm,
∴矩形PECF的周長(zhǎng)y=2(PF+PE)=2(t+3-t)=(1-)t+6,
∴矩形PECF的周長(zhǎng)y(cm)與爬行時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式為y=(1-)t+6;
(2)當(dāng)小蟲(chóng)爬行(9-3)秒時(shí),四邊形PECF是正方形,理由如下:
由(1)知四邊形PECF是矩形,若四邊形PECF是正方形,
則有PE=PF,
∵根據(jù)題意可知AP=tcm,由(1)知PF=AP=tcm,PE=FC=(3-t)cm
∴t=3-t時(shí),四邊形PECF是正方形,
解得t=9-3,
∴當(dāng)小蟲(chóng)爬行(9-3)秒時(shí),四邊形PECF是正方形.
試題解析:
本題考查了矩形的性質(zhì),正方形的判定及解直角三角形,一元一次方程的應(yīng)用.
(1)根據(jù)題意可得出PF=tcm,PE=FC=(3-t)cm,然后利用周長(zhǎng)y=2(PF+PE)求出即可;
(2)由(1)知四邊形PECF是矩形,若四邊形PECF是正方形,則有PE=PF,即t=3-t,解出方程即可.
19、正確答案:
解:(1)
結(jié)論:過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的任意一條直線都將平行四邊形分成相等的兩部分;
(2)解:連接AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)O、P作直線分別交AD、BC于E、F,
則一人分四邊形ABFE,另一人分四邊形CDEF.
試題解析:
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.本題需仔細(xì)分析題意,結(jié)合圖形,利用平行四邊形的中心對(duì)稱性即可解決問(wèn)題.
(1)1、利用平行四邊形的對(duì)角線;2、連接一組對(duì)邊的中點(diǎn)
3、過(guò)平行四邊形的對(duì)稱中心作一條直線即可.根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得結(jié)論;
(2)先找出平行四邊形的對(duì)稱中心,過(guò)中心和P作直線即可 .
20、正確答案:
證明:∵D是AC的中點(diǎn),
∴AD=CD,
∵AE∥BD,DE∥BC,
∴∠EAD=∠BDC,∠ADE=∠DCB,
∴△ADE≌△DCB,
∴AE=DB,
∴四邊形ADBE是平行四邊形,
∵AB=CB,
∴BD⊥AC即∠ADB=90,
∴平行四邊形ADBE是矩形.
試題解析:
本題考查了矩形的判定定理,即有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.根據(jù)矩形的判定定理,欲證四邊形ADBE是矩形,先證明四邊形ADBE是平行四邊形,再根據(jù)等腰三角形底邊的中線垂直底邊得出四邊形ADBE的一個(gè)角是90,得出四邊形ADBE是矩形.
21、正確答案:
(1)證明:如圖,
∵CE平分∠ACB,
∴∠1=∠2,
又∵M(jìn)N∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,
同理,F(xiàn)O=CO,
∴EO=FO;
(2)解:當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形.
理由:∵EO=FO,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵CF平分∠BCA的外角,
∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠4=180=90.
即∠ECF=90,
∴四邊形AECF是矩形.
試題解析:
本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定、矩形的判定定理,解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙,運(yùn)用發(fā)散思維,多方思考,探究問(wèn)題在不同條件下的不同結(jié)論,挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系,向“縱、橫、深、廣”拓展,從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論.
(1)根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線的定義,以及等角對(duì)等邊可得結(jié)論;
(2)根據(jù)矩形的判定方法,即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證.
22、正確答案:
解:(1)圖1:∠AMF=∠ENB;
圖2:∠AMF=∠ENB;
圖3:∠AMF+∠ENB=180.
(2)證明:如圖2,取AC的中點(diǎn)H,連接HE、HF.
∵F是DC的中點(diǎn),H是AC的中點(diǎn),
∴HF∥AD,HF=AD,
∴∠AMF=∠HFE,
同理,HE∥CB,HE=CB,
∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC,
∴HF=HE,
∴∠HEF=∠HFE,
∴∠ENB=∠AMF.
如圖3:取AC的中點(diǎn)H,連接HE、HF.
∵F是DC的中點(diǎn),H是AC的中點(diǎn),
∴HF∥AD,HF=AD,
∴∠AMF+∠HFE=180,
同理,HE∥CB,HE=CB,
∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC,
∴HF=HE,
∴∠HEF=∠HFE,
∴∠AMF+∠ENB=180.
試題解析:
此題考查了中位線定理,平行線的性質(zhì)等概念,解答此題的關(guān)鍵是需要作出兩條輔助線.(1)(2)思路基本相同,都需要作出兩條輔助線,兩次運(yùn)用中位線定理解答即可.
23、正確答案:
(1)證明:∵點(diǎn)A1,D1分別是AB、AD的中點(diǎn),
∴A1D1是△ABD的中位線,
∴A1D1∥BD,A1D1=BD,
同理:B1C1∥BD,B1C1=BD,
∴A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=BD,
∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形.
∵AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1,
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90,
∴四邊形A1B1C1D1是矩形;
(2)12;6;24;.
試題解析:
【分析】
本題利用了三角形的中位線的性質(zhì),相似圖形的面積比等于相似比的平方求解.
(1)由A1D1分別是△ABD的中位線,B1C1是△CBD的中位線知,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=BD,故四邊形A1B1C1D1是平行四邊形,由AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1知,四邊形A1B1C1D1是矩形;
(2)由三角形的中位線的性質(zhì)知,B1C1=BD=4,B1A1=AC=3,故矩形A1B1C1D1的面積為12,可以得到故四邊形A2B2C2D2的面積是A1B1C1D1的面積的一半,為6;由三角形的中位線的性質(zhì)可以推得,每得到一次四邊形,它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半,故四邊形AnBnCnDn的面積為24;由相似圖形的面積比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的邊長(zhǎng),再求得它的周長(zhǎng).
【解答】
(1)證明見(jiàn)答案;
(2)解:由三角形的中位線的性質(zhì)知,B1C1=BD=4,B1A1=AC=3,
得:四邊形A1B1C1D1的面積為24=12;
四邊形A2B2C2D2的面積為24=6;
四邊形AnBnCnDn的面積為24;
四邊形A5B5C5D5的面積為24=,
由(1)得矩形A1B1C1D1的長(zhǎng)為4,寬為3.邊長(zhǎng)為14,
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴矩形A5B5C5D5的面積:矩形A1B1C1D1的面積=(矩形A5B5C5D5的周長(zhǎng))2:(矩形A1B1C1D1的周長(zhǎng))2
即:12=(矩形A5B5C5D5的周長(zhǎng))2:142,
∴矩形A5B5C5D5的周長(zhǎng)==.
故答案為12;6;24;.
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