2019-2020年高中數(shù)學(xué)平面向量的應(yīng)用舉例.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)平面向量的應(yīng)用舉例 【知識與技能】 平面向量的應(yīng)用舉例,包括幾何中的應(yīng)用和物理中的應(yīng)用兩部分內(nèi)容.本節(jié)的重點是向量法解決平面幾何問題的“三步曲”,難點是如何將實際問題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系. 【過程與方法】 教材通過兩個例題介紹了向量方法在平面幾何中的應(yīng)用.例1中用向量方法推導(dǎo)了平行四邊形的兩條對角線與兩鄰邊之間的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn),由于向量能夠運算,因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性,它把一個思辨過程變成了一個算法過程,只要按程序進行運算操作,即可思考問題的難度，通過例1的學(xué)習(xí)要明確用向量解決平面幾何問題的“三步曲”.例2通過向量之間的關(guān)系判斷線段之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的向量方法.應(yīng)結(jié)合不用向量方法如何證明“思考”,對不同解題方法進行比較,從中體會向量方法的優(yōu)越性所在.向量在物理中的應(yīng)用,實際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題,然后再通過向量運算解決向量問題,最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象. 2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用 【知識與技能】 本節(jié)的重點是掌握用向量解決實際問題的方法以及向量法解決幾何問題的“三步曲”,難點是如何將實際問題轉(zhuǎn)化為向量問題,培養(yǎng)學(xué)生把物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型的能力. 【過程與方法】 教材通過兩個例題介紹了向量方法在物理中的應(yīng)用.向量在物理中的應(yīng)用,實際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題,然后再通過向量運算解決向量問題,最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象.例3是生活經(jīng)常遇到的問題,首先將實際現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)模型,得到模型后發(fā)現(xiàn)是一個簡單的向量問題.例4的關(guān)鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋,即分析中給出的船必須垂直于河岸行駛,這時船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當垂直于河岸. 【補充例題】 1．利用向量的坐標運算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題 例1已知向量滿足條件，，求證：是正三角形 解：令O為坐標原點，可設(shè) 由，即 ② ① 兩式平方和為，，由此可知的最小正角為，即與的夾角為，同理可得與的夾角為，與的夾角為，這說明三點均勻分部在一個單位圓上，所以為等腰三角形. 例2 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角 的度數(shù) 解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、 軸建立直角坐標系，設(shè)，則， 從而可求： , =. . 2．利用向量的坐標運算，解決有關(guān)線段的長度問題 例3已知，AD為中線，求證 證明：以B為坐標原點，以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標系，設(shè)，，則 ， . =， 從而，. 3．利用向量的坐標運算，用已知向量表示未知向量 例4 已知點是 且試用 解：以O(shè)為原點，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標系. 由OA=2，，所以，易求，設(shè) . 例5 如圖， 用表示 解：以O(shè)為坐標原點，以O(shè)A所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，則， . 4．利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問題 例6 求證：三角形的三條高交于同一點 [分析]如圖，已知中，由， 要證明利用向量法證明，只要證得即可；證明中，要充分利用好，這兩個條件. 證明：在上，而 ，，即 ① 又，即 ② ①-②得： ， 即 從而，， . 5．利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題，距離問題包括點到點的距離，點的線的距離，點到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離. 例7 求平面內(nèi)兩點間的距離公式 [分析]已知點求兩點間的距離這時，我們就可以構(gòu)造出向量，那么而， 根據(jù)向量模的公式得，從而求得平面內(nèi)兩點間的距離公式為. 解：設(shè)點 ， ,而 點與點之間的距離為： 6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題. 例8 證明: 分析：如圖，單位圓上任取兩點,以為始邊，為終邊的角分別為，設(shè)出兩點的坐標，即得到的坐標，則為向量的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證. 證明：在單位圓上任取兩點，以為始邊，以為終邊的角分別為，則點坐標為點坐標為； 則向量，它們的夾角為， ,由向量夾角公式得： ,從而得證. 注：用同樣的方法可證明 7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問題. 例9 證明柯西不等式 證明：令 （1） 當或時，，結(jié)論顯然成立； （2） 當且時，令為的夾角，則 . 又 （當且僅當時等號成立） .（當且僅當時等號成立） 例10求的最值 解：原函數(shù)可變?yōu)?，所以只須求的最值即可，?gòu)造，那么 . 故.