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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二第一講 函數(shù)的圖象與性質(zhì)教案 理
類型一 函數(shù)及其表示
1.函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則.
2.同一函數(shù):函數(shù)的三要素完全相同時,才表示同一函數(shù).
[例1] (xx年高考江西卷)下列函數(shù)中,與函數(shù)y=定義域相同的函數(shù)為( )
A.y= B.y=
C.y=xex D.y=
[解析] 利用正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及分式型函數(shù)定義域的確定方法求解.
函數(shù)y=的定義域為{x|x≠0},選項A中由sin x≠0?x≠k,k∈Z,故A不對;選項B中x>0,故B不對;選項C中x∈R,故C不對;選項D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域為{x|x≠0},故選D.
[答案] D
跟蹤訓(xùn)練
1.(xx年高考福建卷)設(shè)f(x)= , g(x)= 則f(g())的值為( )
A.1 B.0
C.-1 D.
解析:根據(jù)題設(shè)條件,∵π是無理數(shù),∴g(π)=0,
∴f(g(π))=f(0)=0.
答案:B
2.設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=,則f(x)的值域是( )
A.[-,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞)
C.[-,+∞) D.[-,0]∪(2,+∞)
解析:令x
0,解得x<-1或x>2;
令x≥g(x),即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.
故函數(shù)f(x)=
當(dāng)x<-1或x>2時,函數(shù)f(x)>(-1)2+(-1)+2=2;
當(dāng)-1≤x≤2時,函數(shù)f()≤f(x)≤f(-1),
即-≤f(x)≤0.
故函數(shù)f(x)的值域是[-,0]∪(2,+∞).
答案:D
類型二 函數(shù)的圖象
1.圖象的作法
(1)描點法.
(2)圖象變換法:平移變換、伸縮變換、對稱變換.
2.若函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對稱,則f(x+a)=f(a-x).
[例2] (xx年高考湖北卷)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=-f(2-x)的圖象為( )
[解析] 解法一 由y=f(x)的圖象寫出f(x)的解析式.
由y=f(x)的圖象知f(x)=
當(dāng)x∈[0,2]時,2-x∈[0,2],
所以f(2-x)=
故y=-f(2-x)=圖象應(yīng)為B.
解法二 利用特殊點確定圖象.
當(dāng)x=0時,-f(2-x)=-f(2)=-1;
當(dāng)x=1時,-f(2-x)=-f(1)=-1.
觀察各選項,可知應(yīng)選B.
[答案] B
跟蹤訓(xùn)練
(xx年高考課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)=,則y=f(x)的圖象大致為( )
解析:結(jié)合函數(shù)的圖象,利用特殊函數(shù)值用排除法求解.
當(dāng)x=1時,y=<0,排除A;當(dāng)x=0時,y不存在,排除D;當(dāng)x從負(fù)方向無限趨近0時,y趨向于-∞,排除C,選B.
答案:B
類型三 函數(shù)的性質(zhì)
1.單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系
奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反.
2.若奇函數(shù)的定義域有0,則必有f(0)=0,但f(0)=0是f(x)為奇函數(shù)的必要不充分條件.
3.周期性的幾個常用結(jié)論
(1)若f(x+a)=-f(x)(a>0),則f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期;
(2)若f(x+a)=(a>0),則f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期;
(3)若f(x)是偶函數(shù)且關(guān)于x=a(a>0)對稱,則f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期.
[例3] (xx年高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3≤x<-1時,f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x<3時,f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( )
A.335 B.338
C.1 678 D.2 012
[解析] 利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值的求法求解.
∵f(x+6)=f(x),∴T=6.
∵當(dāng)-3≤x<-1時,f(x)=-(x+2)2;
當(dāng)-1≤x<3時,f(x)=x,
∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,
∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1335.
而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338.
[答案] B
跟蹤訓(xùn)練
(xx年高考江蘇卷)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1]上,f(x)=,其中a,b∈R.若f()=f(),則a+3b的值為________.
解析:由f(x)的周期為2,得f()=f(-)是關(guān)鍵.
因為f(x)的周期為2,
所以f()=f(-2)=f(-),
即f()=f(-).
又因為f(-)=-a+1,f()==,
所以-a+1=.
整理,得a=-(b+1).①
又因為f(-1)=f(1),所以-a+1=,
即b=-2a.②
將②代入①,得a=2,b=-4.
所以a+3b=2+3(-4)=-10.
答案:-10
析典題(預(yù)測高考)
高考真題
【真題】 (xx年高考江西卷)如圖所示,|OA|=2(單位:m),|OB|=1(單位:m),OA與OB的夾角為,以A為圓心,AB為半徑作圓弧與線段OA的延長線交于點C. 甲、乙兩質(zhì)點同時從點O出發(fā),甲先以速率1(單位:m/s)沿線段OB行至點B,再以速率3(單位:m/s)沿圓弧行至點C后停止;乙以速率2(單位:m/s)沿線段OA行至點A后停止.設(shè)t時刻甲、乙所到達(dá)的兩點連線與它們經(jīng)過的路徑所圍成圖形的面積為S(t)(S(0)=0),則函數(shù)y=S(t)的圖象大致是( )
【解析】 對t進(jìn)行分段,確定函數(shù)y=S(t)的解析式.
由題意知,當(dāng)01時,設(shè)圓弧半徑為r,甲從B沿圓弧移動到C后停止,乙在A點不動,則此時S(t)=12sin+r3(t-1)= t+ ,此段圖象為直線,當(dāng)甲移動至C點后,甲、乙均不再移動,面積不再增加,選項B中開始一段函數(shù)圖象不對,選項C中后兩段圖象不對,選項D中前兩段函數(shù)圖象不對,故選A.
【答案】 A
【名師點睛】 本題考查三角形面積及扇形面積求法,考查分段函數(shù)問題,同時考查讀圖、識圖能力及靈活運用知識的能力,難度較大.
考情展望
圖象問題是每年高考命題的熱點,多以選擇形式出現(xiàn),主要有兩個方面,一是給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,二是圖象的應(yīng)用,重點考查識圖,用圖能力
名師押題
【押題】 定義運算a⊕b=,則函數(shù)y=1⊕2x的圖象只可能是( )
【解析】 由y=2x的圖象知,當(dāng)x<0時,0<2x<1;
當(dāng)x≥0時,2x≥1.
結(jié)合題目中的定義知
1⊕2x=,故選A.
【答案】 A
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