2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專題突破訓練 數(shù)列 理.doc
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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 專題突破訓練 數(shù)列 理 一、選擇、填空題 1、(xx北京高考)設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是 A.若,則 B.若,則 C.若,則 D.若,則 2、(xx北京高考)若等差數(shù)列滿足,,則當______時,的前項和最大. 3、(xx北京高考)若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=__________;前n項和Sn=__________. 4、(朝陽區(qū)xx高三一模)設(shè)S n為等差數(shù)列的前n 項和。若,則通項公式=____。 5、(東城區(qū)xx高三二模)已知為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列,若,則 (A) (B) (C) (D) 6、(豐臺區(qū)xx高三一模)在等比數(shù)列中,,,則公比等于 (A) -2 (B) 1或-2 (C) 1 (D)1或2 7、(海淀區(qū)xx高三二模)若等比數(shù)列滿足,,則公比_____; . 8、(石景山區(qū)xx高三一模)等差數(shù)列中,,則該數(shù)列前項之和為( ) A. B. C. D. 9、(西城區(qū)xx高三一模)若數(shù)列an滿足a1 = -2,且對于任意的m, nN*,都有 , 則= ?。粩?shù)列{ an } 前10 項的和S10 = . 10、(大興區(qū)xx高三上學期期末)已知數(shù)列為等差數(shù)列,若,,則的前項和_____. 11、(豐臺區(qū)xx高三上學期期末)等差數(shù)列的前n項和為,如果,,那么等于_____ 12、(北京四中xx高三上學期期中)在等差數(shù)列中,已知,則該數(shù)列前11項和= . 13、(東城區(qū)示范校xx高三上學期綜合能力測試)數(shù)列的前項和記為,若,,則數(shù)列的通項公式為_______________ 14、(東城區(qū)xx高三4月綜合練習(一))設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則的公差 . 15、()已知是等差數(shù)列,那么=______;的最大值為______ 二、解答題 1、(xx北京高考)已知數(shù)列滿足:, ,且. 記集合. (Ⅰ)若,寫出集合的所有元素; (Ⅱ)若集合存在一個元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù); (Ⅲ)求集合的元素個數(shù)的最大值. 2、(xx北京高考)對于數(shù)對序列,記, ,其中 表示和兩個數(shù)中最大的數(shù), (1) 對于數(shù)對序列,求的值. (2) 記為四個數(shù)中最小值,對于由兩個數(shù)對組成的數(shù)對序列和,試分別對和的兩種情況比較和的大小. (3)在由5個數(shù)對組成的所有數(shù)對序列中,寫出一個數(shù)對序列使最小,并寫出的值.(只需寫出結(jié)論). 3、(xx北京高考)已知{an}是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項an+1,an+2,…的最小值記為Bn,dn=An-Bn. (1)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*,an+4=an),寫出d1,d2,d3,d4的值; (2)設(shè)d是非負整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列; (3)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),則{an}的項只能是1或者2,且有無窮多項為1. 4、(朝陽區(qū)xx高三一模)若數(shù)列 中不超過 f (m)的項數(shù)恰為b m (m∈N * ),則稱數(shù)列是數(shù)列 的生成數(shù)列,稱相應(yīng)的函數(shù) f (m)是生成 的控制函數(shù)。設(shè) f (m) = m2。 (1)若數(shù)列單調(diào)遞增,且所有項都是自然數(shù), b1 =1,求a1; (2)若數(shù)列單調(diào)遞增,且所有項都是自然數(shù), a 1= b1 ,求a1 ; (3)若an = 2 n (n =1 ,2 ,3 ) ,是否存在 生成 的控制函數(shù) g(n) = pn2 + qn + r (其中常數(shù)p,q,r∈Z),使得數(shù)列也是數(shù)列{ } m b 的生成數(shù)列?若存在,求出 g (n);若不存在,說明理 5、(東城區(qū)xx高三二模)已知數(shù)列的前項和為,且滿足,,設(shè),. (Ⅰ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列; (Ⅱ)若,,求實數(shù)的最小值; (Ⅲ)當時,給出一個新數(shù)列,其中設(shè)這個新數(shù)列的前 項和為,若可以寫成 (且)的形式,則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”,若存在,求出所有“指數(shù)型和”;若不存在,請說明理由. 6、(房山區(qū)xx高三一模)下表給出一個“等差數(shù)陣”: 4 7 ( ) ( ) ( ) … … 7 12 ( ) ( ) ( ) … … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (I)寫出的值; (II)寫出的計算公式; (III)證明:正整數(shù)在該等差數(shù)陣中的充要條件是可以分解成兩個不是的正整數(shù)之積.. 7、(豐臺區(qū)xx高三一模)如果數(shù)列:,,…,,且,滿足:①,; ②,那么稱數(shù)列為“Ω”數(shù)列. (Ⅰ)已知數(shù)列:-2,1,3,-1;數(shù)列:0,1,0,-1,1.試判斷數(shù)列,是否為“Ω”數(shù)列; (Ⅱ)是否存在一個等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列?請證明你的結(jié)論; (Ⅲ)如果數(shù)列是“Ω”數(shù)列,求證:數(shù)列中必定存在若干項之和為0. 8、(海淀區(qū)xx高三二模)對于數(shù)列,經(jīng)過變換交換中某相鄰兩段的位置(數(shù)列中的一項或連續(xù)的幾項稱為一段),得到數(shù)列.例如,數(shù)列 (,) 經(jīng)交換兩段位置,變換為數(shù)列 . 設(shè)是有窮數(shù)列,令. (Ⅰ)如果數(shù)列為,且為. 寫出數(shù)列;(寫出一個即可) (Ⅱ)如果數(shù)列為,為,為,為.寫出數(shù)列;(寫出一組即可) (Ⅲ)如果數(shù)列為等差數(shù)列:,為等差數(shù)列:,求的最小值. 9、(石景山區(qū)xx高三一模)設(shè)數(shù)列滿足: ①; ②所有項; ③. 設(shè)集合,將集合中的元素的最大值記為,即是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)的伴隨數(shù)列.例如,數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3. (Ⅰ)若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,請寫出數(shù)列; (Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項之和; (Ⅲ)若數(shù)列的前項和(其中常數(shù)),求數(shù)列的伴隨數(shù)列 的前項和. 10、(西城區(qū)xx高三一模)已知點列 (k∈N*,k≥2)滿足P 1(1,1),中有且只有一個成立. ⑴寫出滿足k = 4且P 4(1,1)的所有點列; ⑵證明:對于任意給定的k (k∈N*,k≥2),不存在點列T ,使得; ⑶當k = 2n ?1且 時,求 的最大值. 11、(朝陽區(qū)xx高三上學期期末)若有窮數(shù)列,,(是正整數(shù))滿足條件:,則稱其為“對稱數(shù)列”.例如,和都是“對稱數(shù)列”. (Ⅰ)若是25項的“對稱數(shù)列”,且,是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.求的所有項和; (Ⅱ)若是50項的“對稱數(shù)列”,且,是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.求的前項和,. 12、(東城區(qū)xx高三上學期期末)已知數(shù)列是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列是公比為等比數(shù)列,且. (Ⅰ)求數(shù)列和的通項公式; (Ⅱ)求數(shù)列的前項和. 13、(北京四中xx高三上學期期中)已知數(shù)列滿足:,.數(shù)列的前項和為,. (Ⅰ)求數(shù)列,的通項公式; (Ⅱ)設(shè),.求數(shù)列的前項和. 14、(東城區(qū)示范校xx高三上學期綜合能力測試)給定正奇數(shù),數(shù)列:是1,2,…,的一個排列,定義E(,…,)為數(shù)列:,,…,的位差和。 (I)當時,求數(shù)列:1,3,4,2,5的位差和; (II)若位差和E(,,…,)=4,求滿足條件的數(shù)列:,,…,的個數(shù); (III)若位差和,求滿足條件的數(shù)列:的個數(shù)。 15、(北京市朝陽區(qū)xx高三第二次綜合練習)已知數(shù)列,是正整數(shù)1,2,3,,n的一個全排列.若對每個都有或3,則稱為H數(shù)列. (Ⅰ)寫出滿足的所有H數(shù)列; (Ⅱ)寫出一個滿足的數(shù)列的通項公式; (Ⅲ)在H數(shù)列中,記.若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列,求證:或. 參考答案 一、選擇、填空題 1、C 解析: 2、 由等差數(shù)列的性質(zhì),,,于是有,,故.故,,為的前 項和中的最大值 3、答案:2 2n+1-2 解析:由題意知. 由a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20, ∴a1=2.∴Sn==2n+1-2. 4、答案: 5、B 6、B 7、2, 8、C 9、答案:-8,682 10、 11、15 12、88 13、 14、-1 15、 二、解答題 1、解析:(Ⅰ),,. (Ⅱ)因為集合存在一個元素是的倍數(shù),所以不妨設(shè)是的倍數(shù). 由 可歸納證明對任意,是的倍數(shù). 如果,則的所有元素都是的倍數(shù). 如果,因為或,所以是的倍數(shù),于是是的倍數(shù).類似可得,都是的倍數(shù).從而對任意,是的倍數(shù).因此集合的所有元素都是的倍數(shù). 綜上,若集合存在一個元素是的倍數(shù),則集合的所有元素都是的倍數(shù). (Ⅲ)由,可歸納證明. 因為是正整數(shù), 所以是的倍數(shù). 從而當時,是的倍數(shù). 如果是的倍數(shù),由(Ⅱ)知對所有正整數(shù),是的倍數(shù). 因此當時,.這時的元素的個數(shù)不超過. 如果不是的倍數(shù),由(Ⅱ)知對所有正整數(shù),不是的倍數(shù). 因此當時,.這時的元素的個數(shù)不超過. 當時,共個元素.綜上可知,集合元素個數(shù)的最大值為. 2、⑴,; ⑵當時: ,; ,; 因為是中最小的數(shù),所以,從而; 當時, ,; ,; 因為是中最小的數(shù),所以,從而。 綜上,這兩種情況下都有。 ⑶數(shù)列序列,,,,的的值最?。? ,,,,. 3、解:(1)d1=d2=1,d3=d4=3. (2)(充分性)因為{an}是公差為d的等差數(shù)列,且d≥0, 所以a1≤a2≤…≤an≤…. 因此An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,…). (必要性)因為dn=-d≤0(n=1,2,3,…), 所以An=Bn+dn≤Bn. 又因為an≤An,an+1≥Bn,所以an≤an+1. 于是,An=an,Bn=an+1, 因此an+1-an=Bn-An=-dn=d, 即{an}是公差為d的等差數(shù)列. (3)因為a1=2,d1=1, 所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1. 故對任意n≥1,an≥B1=1. 假設(shè){an}(n≥2)中存在大于2的項. 設(shè)m為滿足am>2的最小正整數(shù), 則m≥2,并且對任意1≤k<m,ak≤2. 又因為a1=2,所以Am-1=2,且Am=am>2. 于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2. 故dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,與dm-1=1矛盾. 所以對于任意n≥1,有an≤2,即非負整數(shù)列{an}的各項只能為1或2. 因為對任意n≥1,an≤2=a1, 所以An=2. 故Bn=An-dn=2-1=1. 因此對于任意正整數(shù)n,存在m滿足m>n,且am=1,即數(shù)列{an}有無窮多項為1. 4、 5、解:(Ⅰ) 因為,,且, 所以是首項為,公比為等比數(shù)列. 所以. ………4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得, . 因為, 所以,且. 所以的最小值為. ………9分 (Ⅲ)由(Ⅰ)當時, 當時,,, 所以對正整數(shù)都有. 由,,(且),只能是不小于3的奇數(shù). ① 當為偶數(shù)時,, 因為和都是大于1的正整數(shù), 所以存在正整數(shù),使得,, ,,所以且, 相應(yīng)的,即有,為“指數(shù)型和”; ② 當為奇數(shù)時,, 由于是 個奇數(shù)之和,仍為奇數(shù),又為正偶數(shù), 所以 不成立, 此時沒有“指數(shù)型和”. ………14分 6、(I)解:a45=49. ………………3分 (II)解:該等差數(shù)陣的第一行是首項為4,公差為3的等差數(shù)列:a1j=4+3(j-1),第二行是首項為7,公差為5的等差數(shù)列:a2j=7+5(j-1), …… 第i行是首項為4+3(i-1),公差為2i+1的等差數(shù)列, 因此aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j. ………………7分 (III)證明:必要性:若N在該等差數(shù)陣中,則存在正整數(shù)i、j使得N=i(2j+1)+j, 從而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1), 即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積. 充分性:若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積,由于2N+1是奇數(shù),則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積,即存在正整數(shù)k、l,使得2N+1=(2k+1)(2l+1), 從而N=k(2l+1)+l=akl, 可見N在該等差數(shù)陣中. 綜上所述,正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積 ………………13分 7、解:(Ⅰ)數(shù)列不是“Ω”數(shù)列;數(shù)列是“Ω”數(shù)列. ……………………2分 (Ⅱ)不存在一個等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列. 證明:假設(shè)存在等差數(shù)列是“Ω”數(shù)列, 則由 得,與矛盾, 所以假設(shè)不成立,即不存在等差數(shù)列為“Ω”數(shù)列. ……………………7分 (Ⅲ)將數(shù)列按以下方法重新排列: 設(shè)為重新排列后所得數(shù)列的前n項和(且), 任取大于0的一項作為第一項,則滿足, 假設(shè)當時, 若,則任取大于0的一項作為第n項,可以保證, 若,則剩下的項必有0或與異號的一項,否則總和不是1, 所以取0或與異號的一項作為第n項,可以保證. 如果按上述排列后存在成立,那么命題得證; 否則,,…,這m個整數(shù)只能取值區(qū)間內(nèi)的非0整數(shù), 因為區(qū)間內(nèi)的非0整數(shù)至多m-1個,所以必存在, 那么從第項到第項之和為,命題得證. 綜上所述,數(shù)列中必存在若干項之和為0. ……………………13分 8、解:(Ⅰ)或. ………………2分 . (Ⅱ); ………………4分 . ………………6分 (Ⅲ)考慮數(shù)列,滿足的數(shù)對的個數(shù),我們稱之為“順序數(shù)”.則等差數(shù)列:的順序數(shù)為,等差數(shù)列:的順序數(shù)為. 首先,證明對于一個數(shù)列,經(jīng)過變換,數(shù)列的順序數(shù)至多增加2.實際上,考慮對數(shù)列,交換其相鄰兩段和的位置,變換為數(shù)列. 顯然至多有三個數(shù)對位置變化.假設(shè)三個數(shù)對的元素都改變順序,使得相應(yīng)的順序數(shù)增加,即由變?yōu)椋? 分別將三個不等式相加得與,矛盾. 所以 經(jīng)過變換,數(shù)列的順序數(shù)至多增加2. 其次,第一次和最后一次變換,順序數(shù)均改變1.設(shè)的最小值為,則 ,即. ………………10分 最后,說明可以按下列步驟,使得數(shù)列為. 對數(shù)列, 第1次交換和位置上的兩段,得到數(shù)列: ; 第2次交換和位置上的兩段,得到數(shù)列: ; 第3次交換和位置上的兩段,得到數(shù)列: ; ,以此類推 第次交換和位置上的兩段,得到數(shù)列: ; 最終再交換和位置上的兩段,即得:. 所以 的最小值為1008. ………………13分 9、(Ⅰ)1,4,7 ……………………3分 (Ⅱ)由,得 當時, ……………………4分 當時, ……………………5分 當時, ……………………6分 當時, ……………………7分 ∴ ……………………8分 (III)∵ ∴ 當時, ∴ ……………………9分 由得: 因為使得成立的的最大值為, 所以 當時: ……………………11分 當時: ……………………12分 所以 ……………………13分 10、 11、(Ⅰ)依題意,,…,. 則,,…,. 則 ……………..6分 (Ⅱ)依題意,,因為是50項的“對稱數(shù)列”,所以 …, 所以當時,; 當時,, . 綜上, ……………..13分 12、 13、解: (Ⅰ)由得,又,所以數(shù)列是以1為首項,為公差的等差數(shù)列,于是,. 當時, 當時,, , 又時,所以,. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,所以. 所以 ………(1) 等式兩邊同乘以得 ………(2) (1)-(2)得 所以. 14、解:(I)E(1,3,4,2,5)=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4;(3分) (II)若數(shù)列:,,…,的位差和E(,,…,)=4,有如下兩種情況: 情況一:當,,,,且,其他項(其中)時,有種可能;(5分) 情況二:當分別等于,,或,,或,,其他項(其中)時,有種可能;(7分) 綜上,滿足條件的數(shù)列:的個數(shù)為 。(8分) 例如:時, 情況一:形如2,1,4,3,5,共有2+1=3種:2,1,4,3,5;2,1,3,5,4;1,3,2,5,4; 情況二:形如3,2,1,4,5,共有5-2=3種:3,2,1,4,5;1,4,3,2,5;1,2,5,4,3; 形如2,3,1,4,5,共有5-2=3種:2,3,1,4,5;1,3,4,2,5;1,2,4,5,3; 形如3,1,2,4,5,共有5-2=3種:3,1,2,4,5;1,4,2,3,5;1,2,5,3,4。 (III)將去絕對值符號后,所得結(jié)果為 112233… 的形式,其中恰好有個數(shù)前面為減號,這表明 ,(10分) 此不等式成立是因為前面為減號的個數(shù)最小為:2個1,2個2,…,2個和1個。(11分) 上面的討論表明,題中所求的數(shù)列是使得E()最大的數(shù)列,這樣的數(shù)列在時,要求從1,2,…,中任選一個數(shù)作為,將剩余數(shù)中較大的個數(shù)的排列作為…,的對應(yīng)值,較小的個數(shù)的排列作為,,…,的對應(yīng)值,于是所求數(shù)列的個數(shù)為。 綜上,滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為(14分) 例如:時, E()。 此不等式成立是因為前面為減號的5個數(shù)最小為:2個1,2個2和1個3。 若E()=12,,此時時,要求從1,2,3,4,5中任選一個數(shù)作為,將剩余數(shù)中較大的2個數(shù)的排列作為,的對應(yīng)值,較小的2個數(shù)的排列作為的對應(yīng)值,于是所求數(shù)列的個數(shù)為。 4,5,1,2,3;4,5,1,3,2;5,4,1,2,3;5,4,1,3,2; 4,5,2,1,3;4,5,2,3,1;5,4,2,1,3;5,4,2,3,1; 4,5,3,1,2;4,5,3,2,1;5,4,3,1,2;5,4,3,2,1; 3,5,4,1,2;3,5,4,2,1;5,3,4,1,2;5,3,4,2,1; 3,4,5,1,2;3,4,5,2,1;4,3,5,1,2;4,3,5,2,1。 題目背景:假設(shè)現(xiàn)在有種物品,已經(jīng)按照某種標準排列,并依次確定編號為1,2,…,,鑒別師事先不知道物品的標準排列編號,而是根據(jù)自己的判斷,對這種物品進行排列依次編號為,其中是1,2,…,的一個排列,那么可以用數(shù)列:的位差和 E()=, 來評判鑒別師的能力。 當E()越小,說明鑒別師能力越強;反之越大,說明鑒別師能力越弱; 當E()=0,說明鑒別師給出的排列編號與標準排列編號一致,判斷完全正確; 第二問,位差和E()=4時,給出數(shù)列:的情況; 第三問,說明位差和E()最大值為,且給出取得最大值時,數(shù)列:的情況。 15、解:(Ⅰ)滿足條件的數(shù)列有兩個:. (Ⅱ)由(1)知數(shù)列滿足,把各項分別加后,所得各數(shù)依次排在后,因為,所得數(shù)列顯然滿足或,,即得數(shù)列.其中,.如此下去即可得到一個滿足的數(shù)列為: (其中) (寫出此通項也可以(其中)) (Ⅲ)由題意知,,且. 有解: ①,,,則,這與 是矛盾的. ②時,與①類似可得不成立. ③時,,則不可能成立. ④時, 若或,則或. 若或,則,類似于③可知不成立. ④時, 若同號,則,由上面的討論可知不可能; 若或,則或; ⑤時, 若異號,則,不行; 若同號,則,同樣由前面的討論可知與矛盾. 綜上,只能為或,且(2)中的數(shù)列是的情形,將(2)中的數(shù)列倒過來就是,所以為或.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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