2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 參數(shù)取值問題的題型與方法教案 蘇教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 參數(shù)取值問題的題型與方法教案 蘇教版 (Ⅰ)參數(shù)取值問題的探討 一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量,其中一個變量的范圍已知,另一個變量的范圍為所求,且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊,則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。 例1.已知當(dāng)xR時,不等式a+cos2x<54sinx+恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。 分析:在不等式中含有兩個變量a及x,其中x的范圍已知(xR),另一變量a的范圍即為所求,故可考慮將a及x分離。 解:原不等式即:4sinx+cos2x3即>a+2 上式等價于或,解得a<8. 說明:注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x,而cos2x=12sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。 另解:a+cos2x<54sinx+即 a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,則t[1,1], 整理得2t24t+4a+>0,( t[1,1])恒成立。 設(shè)f(t)= 2t24t+4a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1, f(x)在[1,1]內(nèi)單調(diào)遞減。 只需f(1)>0,即>a2.(下同) 例2.已知函數(shù)f(x)在定義域(,1]上是減函數(shù),問是否存在實數(shù)k,使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)對一切實數(shù)x恒成立?并說明理由。 分析:由單調(diào)性與定義域,原不等式等價于ksinx≤k2sin2x≤1對于任意x∈R恒成立,這又等價于 對于任意x∈R恒成立。 不等式(1)對任意x∈R恒成立的充要條件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3) 不等式(2)對任意x∈R恒成立的充要條件是k2k+≥[(sinx)2]max=, 即k≤1或k≥2,-----------(4) 由(3)、(4)求交集,得k=1,故存在k=1適合題設(shè)條件。 說明:抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號。 例3.設(shè)直線過點P(0,3),和橢圓順次交于A、B兩點,試求的取值范圍. 分析:本題中,絕大多數(shù)同學(xué)不難得到:=,但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上,所謂求取值范圍,不外乎兩條路:其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(或某幾個)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程),這只需利用對應(yīng)的思想實施;其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系. 思路1: 從第一條想法入手,=已經(jīng)是一個關(guān)系式,但由于有兩個變量,同時這兩個變量的范圍不好控制,所以自然想到利用第3個變量——直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達式,到此為止,將直線方程代入橢圓方程,消去y得出關(guān)于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出. 所求量的取值范圍 把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程 xA= f(k),xB = g(k) 得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式 求根公式 AP/PB = —(xA / xB) 由判別式得出k的取值范圍 解1:當(dāng)直線垂直于x軸時,可求得; 當(dāng)與x軸不垂直時,設(shè),直線的方程為:,代入橢圓方程,消去得, 解之得 因為橢圓關(guān)于y軸對稱,點P在y軸上,所以只需考慮的情形. 當(dāng)時,,, 所以 ===. 由 , 解得 , 所以 , 綜上 . 思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,則應(yīng)該考慮到:判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍,于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說,韋達定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁,但本題無法直接應(yīng)用韋達定理,原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式. 原因找到后,解決問題的方法自然也就有了,即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式. 把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程 xA+ xB = f(k),xA xB = g(k) 構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式 關(guān)于所求量的不等式 韋達定理 AP/PB = —(xA / xB) 由判別式得出k的取值范圍 解2:設(shè)直線的方程為:,代入橢圓方程,消去得 (*) 則 令,則, 在(*)中,由判別式可得 , 從而有 ,所以, 解得.結(jié)合得. 綜上,. 說明:范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多,諸如判別式法,均值不等式法,變量的有界性法,函數(shù)的性質(zhì)法,數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手,給出又一優(yōu)美解法. 二、直接根據(jù)圖像判斷 若把等式或不等式進行合理的變形后,能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象,則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。 例4.已知長方形四個頂點A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一質(zhì)點從AB的中點P沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后,依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4(入射角等于反射角).設(shè)P4的坐標(biāo)為(x4,0).若1< x4<2,則的取值范圍是 ( ) (A) (B) (C) (D) 圖1 圖2 分析: 《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》提倡讓學(xué)生自主探索, 動手實踐, 并主張在高中學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動,本題可以嘗試用特殊位置來解,不妨設(shè)與AB的中點P重合(如圖1所示),則P1、P2、P3分別是線段BC、CD、DA的中點,所以.由于在四個選擇支中只有C含有,故選C. x y o 1 2 y1=(x-1)2 y2=logax 當(dāng)然,本題也可以利用對稱的方法將“折線”問題轉(zhuǎn)化成“直線”問題來直接求解(如圖2所示). 說明 由本題可見, 探索猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位.這也是選擇題的應(yīng)有特點. 例5.當(dāng)x(1,2)時,不等式(x1)2- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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