《2019-2020年高考數學 專題03 導數與應用分項試題(含解析)理.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020年高考數學 專題03 導數與應用分項試題(含解析)理.doc(28頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
2019-2020年高考數學 專題03 導數與應用分項試題(含解析)理
一、選擇題
1.【xx河南省南陽一中三?!筷P于函數,下列說法錯誤的是( )
A. 是的極小值點 B. 函數有且只有1個零點
C. 存在正實數,使得恒成立 D. 對任意兩個正實數,且,若,則
【答案】C
∴函數y=f(x)﹣x有且只有1個零點,即B正確;
f(x)>kx,可得k< + ,
令g(x)= +
則g′(x)
令h(x)=﹣4+x﹣xlnx,則h′(x)=﹣lnx,
∴(0,1)上,函數單調遞增,(1,+∞)上函數單調遞減,
∴h(x)≤h(1)<0,∴g′(x)<0,
∴g(x)= +在(0,+∞)上函數單調遞減,函數無最小值,
∴不存在正實數k,使得f(x)>kx恒成立,即C不正確;
對任意兩個正實數x1,x2,且x2>x1,
(0,2)上,函數單調遞減,(2,+∞)上函數單調遞增,
若f(x1)=f(x2),則x1+x2>4,正確.
故選:C.
2.【xx河南省洛陽市尖子生聯(lián)考】已知函數有三個不同的零點,,(其中),則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
當x∈(0,1)時,g′(x)<0;當x∈(1,e)時,g′(x)>0;當x∈(e,+∞)時,g′(x)<0.
即g(x)在(0,1),(e,+∞)上為減函數,在(1,e)上為增函數.
∴0<x1<1<x2<e<x3,
a==,令μ=,
則a=﹣μ,即μ2+(a﹣1)μ+1﹣a=0,
μ1+μ2=1﹣a<0,μ1μ2=1﹣a<0,
對于μ=,μ′=
則當0<x<e時,μ′>0;當x>e時,μ′<0.而當x>e時,μ恒大于0.
畫其簡圖,
點睛:先分離變量得到a=,令g(x)=.求導后得其極值點,求得函數極值,則使g(x)恰有三個零點的實數a的取值范圍由g(x)==,再令μ=,轉化為關于μ的方程后由根與系數關系得到μ1+μ2=1﹣a<0,μ1μ2=1﹣a<0,再結合著μ=的圖象可得到(1﹣)2(1﹣)(1﹣)=1.
3.【xx浙江省溫州市一?!恳阎瘮档膶Ш瘮档膱D象如圖所示,則函數的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.【xx吉林省百校聯(lián)盟九月聯(lián)考】已知當時,關于的方程有唯一實數解,則距離最近的整數為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】由可得: ,
令,則,
令,則,
由可得,函數h(x)單調遞增,
函數h(x)的最小值為,
則存在滿足h(x)=0,
據此可得:距離最近的整數為3.
本題選擇B選項.
點睛:(1)利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號.關鍵是分離參數k,把所求問題轉化為求函數的最小值問題.
(2)若可導函數f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減),求參數范圍問題,可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題,從而構建不等式,要注意“=”是否可以取到.
5.【xx遼寧省大連八中模擬】設函數在上存在導函數,對任意的實數都有,當時, .若,則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
6.【xx遼寧省遼南協(xié)作校一?!恳阎瘮翟谏蠞M足,則曲線在點處的切線方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得,即代入可得,即,故,則切線的斜率,因為,所以切線方程為,即,應選答案D。
點睛:解答本題的關鍵是求出函數的解析表達式,求解時充分利用題設中提供 的函數解析式方程,巧妙運用變量替換得到方程,即,然后代入解得,即,然后再運用導數的幾何意義從而使得問題巧妙獲解。
7.【xx江西省紅色七校聯(lián)考】已知函數,關于的不等式只有兩個整數解,則實數的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
即當x=時,函數f(x)取得極大值,同時也是最大值f()==,
即當0
時,00得>0,此時有無數個整數解,不滿足條件。
若a>0,
則由+af(x)>0得f(x)>0或f(x)0時,不等式由無數個整數解,不滿足條件。
當a<0時,由+af(x)>0得f(x)>?a或f(x)<0,
當f(x)<0時,沒有整數解,
則要使當f(x)>?a有兩個整數解,
∵f(1)=ln2,f(2)= =ln2,f(3)= ,
∴當f(x)?ln2時,函數有兩個整數點1,2,當f(x)? 時,函數有3個整數點1,2,3
∴要使f(x)>?a有兩個整數解,
則??ae時,g′(t)>0,
當01.
【答案】(Ⅰ)a≥-7;(Ⅱ)證明見解析.
(Ⅰ)由f(x)=x2++aln x,得f(x)=2x-+,
由已知得2x-+≥0在x∈[2,3]上恒成立,即a≥-2x2 恒成立.
設g (x)=-2x ,則g(x )=- -4x <0,所以g(x)在x∈[2,3]上單調遞減,
g(x)max =g(2)=-7,所以a≥-7.
(Ⅱ)證明:|k|>1等價于||>1,等價于| |>|x1-x2|,
而| |=|
=|x1-x2||2+-|
所以只需要證明|2+-|>1.
即a<x1+x2+或a>3x1+x2+,
而a>3x1+x2+,顯然不可能對一切正實數x1x2 均成立,
所以只需要證a<x1+x2+成立.
因為x1+x2+>x1x2+,設t=,M(t)=t2+ (t>0)
得M’(t)=2t-當t=時M’(t)=0
在t∈(0, )上,M(t)遞減;在t∈(,+∞)上,M(t)遞增
所以M(t)≥3=>4≥a,所以a<x1x2+
所以||>1,即當a≤4時,|K|>1.
20.【xx廣西柳州模擬】已知為實數,函數.
(1)若是函數的一個極值點,求實數的取值;
(2)設,若,使得成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1) ,(2) .
解析:(1)函數定義域為 ,
.
∵是函數的一個極值點,∴,解得.
經檢驗時, 是函數的一個極小值點,符合題意,
∴.
(2)由,得,
記,
∴,
∴當 時, , 單調遞減;
當時, , 單調遞増.
∴,
∴,記,
∴ .
∵,∴,
∴,
∴時, , 單調遞減;
時, , 單調遞增,
∴,
∴.
故實數的取值范圍為.
點睛:本題考查函數的導數的綜合應用,函數的最值的求法,極值的求法,用到了變量集中的方法.
21.【xx海南省八校聯(lián)考】設函數,其中.
(1)若直線與函數的圖象在上只有一個交點,求的取值范圍;
(2)若對恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1) 或;(2) .
解析:(1)當時, ,
令時得;
令得, 遞增;
令得, 遞減,
∴在處取得極小值,且極小值為,
∵, ,
∴由數形結合可得或.
(2)當時, , ,令得;
令得, 遞增;
令得, 遞減,
∴在處取得極小值,且極小值為,
∵,∴,
∵當即時, ,∴,即,∴無解,
當即時, ,∴,即,又,∴,綜上, .
點睛:函數交點問題,研究函數的單調性找函數最值,求參;恒成立求參,對于分段函數來講,分段討論最值即可.
22.【xx湖南省永州市一模】已知函數.
(1)若在區(qū)間有最大值,求整數的所有可能取值;
(2)求證:當時, .
【答案】(1) ;(2)證明見解析.
,只需證明即可.
試題解析:(1)f′(x)=(x2+x-2)ex,
當x<-2時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,
當-2<x<1時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,
當x>1時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,
由題知:a<-2<a+5,得:-7<a<-2,
則a=-6、-5、-4、-3,
當a=-6、-5、-4,顯然符合題意,
若a=-3時,f(-2)=5e―2,f(2)=e2,f(-2)<f(2),不符合題意,舍去.
故整數a的所有可能取值-6,―5,-4.
(2)f(x)<-3lnx+x3+(2x2-4x)ex+7可變?yōu)?-x2+3x-1)ex<-3lnx+x3+7,
令g(x)=(-x2+3x-1)ex,h(x)=-3lnx+x3+7,
g′(x)=(-x2+x+2)ex,
0<x<2時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,
當x>2時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,
g(x)的最大值為g(2)=e2,
h′(x)=,當0<x<1時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,
當x>1時,h′(x)>0,h(x)單調遞增,
h(x)的最小值為h(1)=8>e2,
g(x)的最大值小于h(x)的最小值,
故恒有g(x)<h(x),即f(x)<-3lnx+x3+(2x2-4x)ex+7.
23.【xx廣東省珠海六校聯(lián)考】設函數有兩個極值點,且
(I)求的取值范圍,并討論的單調性;
(II)證明:
【答案】:(Ⅰ)因為,設,
依題意知得,所以的取值范圍是
由得,由得,
所以函數的單調遞增區(qū)間為和,單調遞減區(qū)間,
其中, 且.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,設,
所以在遞減,又在處連續(xù),所以,
即.
24.【xx廣東省珠海九月模擬】函數
(1)討論的單調性;
(2)若函數有兩個極值點,且,求證:
【答案】(1) 時, 在上單減,在上單增; 時, 在上單減,在和上單增; 時, 在上單增;(2)見解析.
試題解析:
解: 的定義域是,
(1)由題設知,
令,這是開口向上,以為對稱軸的拋物線.
在時,當,即時, ,即在上恒成立.
②當,即時,由得
令,
則,
1) 當即,即時,
時, ,即, 時, ,即
2) 當時,即,即時
時, ,即
或時, ,即
綜上:
時, 在上單減,在上單增;
時, 在上單減,在和上單增; 時, 在上單增.
(2)若函數有兩個極值點,且
則必是,則,則,
且在上單減,在和上單增,
則
、是的二根
,即,
若證成立,只需證
即證對恒成立
設
當時, , ,
故,故在上單增
故
對恒成立
25.【xx吉林省長春一模】已知函數,.
(Ⅰ)若函數與的圖像在點處有相同的切線,求的值;
(Ⅱ)當時,恒成立,求整數的最大值;
(Ⅲ)證明: .
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.
試題解析:(Ⅰ)由題意可知,和在處有相同的切線,
即在處且,
解得.
(Ⅱ)現證明,設,
令,即,
因此,即恒成立,
即,
同理可證.
由題意,當時,且,
即,
即時,成立.
當時,,即不恒成立.
因此整數的最大值為2.
(Ⅲ)由,令,
即,即
由此可知,當時,,
當時,,
當時,,
……
當時,.
綜上:
.
即.
26.【xx陜西省西工大附中六?!恳阎瘮?
(1) 求的極值;
(2) 當時,求證:
【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.
試題解析:
(1)∵,
時, 遞增; 時, 遞減,
∴在時取極小值,極小值為,無極大值.
(2)因為,所以只需證明.
設,則,
所以遞增,又,
所以有且只有一個根,記為,∴.
在遞減,在遞增,所以
∵ ,
設,∵,∴遞增.
,∴,∴,故結論成立.
27.【xx湖北武漢市調研】已知函數()(…是自然對數的底數).
(1)求單調區(qū)間;
(2)討論在區(qū)間內零點的個數.
【答案】(1) 當時, , 單調增間為,無減區(qū)間;
當時, 單調減間為,增區(qū)間為
(2) 所以或或時, 有兩個零點;
當且時, 有三個零點
試題解析:(1)
當時, , 單調增間為,無減區(qū)間;
當時, 單調減間為,增區(qū)間為
(2)由得或
先考慮在區(qū)間的零點個數
當時, 在單調增且, 有一個零點;
當時, 在單調遞減, 有一個零點;
當時, 在單調遞減, 單調遞增.
而,所以或時, 有一個零點,當時, 有兩個零點
而時,由得
所以或或時, 有兩個零點;
當且時, 有三個零點.
【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的零點,屬于難題.利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟:①確定函數的定義域;②對求導;③令,解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.
28.【xx陜西省西工大附中七模】已知函數.
(1)當時,求函數的最值;
(2)當時,對任意都有恒成立,求實數的取值范圍;
(3)當時,設函數,數列滿足, ,求證: , .
【答案】(1),無最大值.(2)(3)見解析
試題解析:(1)∵,∴,
∴,令,得,則隨變化如下:
所以,無最大值.
(2)設,則,
當時,且, ,函數在上是增加的,
∴, 成立;
當時,令,得,當, ,
函數在上是減小的,而,所以,當時, ,
所以不恒成立,
綜上,對任意都有恒成立時, .
(3)∵,∴,
又,當時, ,∴在上是增加的,
所以,當時,∵,∴,
而,∴成立.
,假設時, 成立,那么當時, ,
而,∴成立.
綜合, 得: , 成立.
29.【xx河北石家莊二中八月模擬】已知函數.
(Ⅰ)求的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若,若對任意,存在,使得 成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1) 的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間時;(2) .
,使得成立, 的圖象與直線有交點, 方程在上有解.
試題解析:
(Ⅰ)因為,
所以,
因為的定義域為,當時, 或時,
所以的單調遞減區(qū)間是,單調遞增區(qū)間時.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 在上單調遞減,在上單調遞增,所以當時,
又,
所以對任意,存在,使得成立,
存在,使得成立,
存在,使得成立,
因為 表示點與點之間距離的平方,
所以存在,使得成立,
的圖象與直線有交點,
方程在上有解,
設,則,
當時, 單調遞增,當時, 單調遞減,
又,所以的值域是,
所以實數的取值范圍是.
30.【xx河北石家莊二中八月模擬】已知函數.
(Ⅰ)當時,求的最大值與最小值;
(Ⅱ)討論方程的實根的個數.
【答案】(1) 最小值是,最大值是;(2) 時,方程有1個實根; 時,方程有3個實根.
試題解析:
(Ⅰ)因為,
所以,
令得, 的變化如下表:
在上的最小值是,
因為,
所以在上的最大值是.
(Ⅱ),
所以或,
設,則, 時, , 時, ,
所以在上是增函數,在上是減函數, ,
且,
(?。┊敃r,即時, 沒有實根,方程有1個實根;
(ⅱ)當時,即時, 有1個實根為零,方程有1個實根;
(ⅲ)當時,即時, 有2不等于零的實根,方程有3個實根.
綜上可得, 時,方程有1個實根; 時,方程有3個實根.
鏈接地址:http://m.kudomayuko.com/p-2771732.html