人教版八年級上《第13章軸對稱》單元測試含答案解析.doc

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《第13章 軸對稱》 　 一、選擇題（共5小題，每小題3分，滿分15分） 1．下列圖形：其中所有軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)之和為（　?。? A．13 B．11 C．10 D．8 2．下面所給的交通標(biāo)志圖中是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 3．如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 4．如圖，在△ABC中，∠A=36，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點O，交AC于點D，連接BD，下列結(jié)論錯誤的是（　?。? A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD=S△BOD D．點D為線段AC的黃金分割點 5．將點A（3，2）沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′，點A′關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（　?。? A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（1，﹣2） 　 二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分） 6．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50，則∠B=　?。? 7．如圖是44正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色，使整個涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有　　個． 8．平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，0）關(guān)于y軸對稱的點A′的坐標(biāo)為　?。? 9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F=30，DE=1，則BE的長是　　． 10．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54，點D為AB中點，且OD⊥AB，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為　　度． 　 三、解答題 11．已知：如圖，直線AB與直線BC相交于點B，點D是直線BC上一點． 求作：點E，使直線DE∥AB，且點E到B，D兩點的距離相等．（在題目的原圖中完成作圖） 結(jié)論：BE=DE． 12．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD． 13．如圖，在邊長為1的小正方形組成的1010網(wǎng)格中（我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點），四邊形ABCD在直線l的左側(cè)，其四個頂點A、B、C、D分別在網(wǎng)格的格點上． （1）請你在所給的網(wǎng)格中畫出四邊形A′B′C′D′，使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于直線l對稱，其中點A′、B′、C′、D′分別是點A、B、C、D的對稱點； （2）在（1）的條件下，結(jié)合你所畫的圖形，直接寫出線段A′B′的長度． 14．如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上． （1）求證：BE=CE； （2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF． 15．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由． （3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 　 《第13章 軸對稱》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共5小題，每小題3分，滿分15分） 1．下列圖形：其中所有軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)之和為（　?。? A．13 B．11 C．10 D．8 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱及對稱軸的定義，分別找到各軸對稱圖形的對稱軸個數(shù)，然后可得出答案． 【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形，有1條對稱軸； 第二個圖形是軸對稱圖形，有2條對稱軸； 第三個圖形是軸對稱圖形，有2條對稱軸； 第四個圖形是軸對稱圖形，有6條對稱軸； 則所有軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)之和為11． 故選：B． 【點評】本題考查了軸對稱及對稱軸的定義，屬于基礎(chǔ)題，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 　 2．下面所給的交通標(biāo)志圖中是軸對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 3．如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（　?。? A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等可得AB=AD，BC=CD，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC平分∠BCD，EB=DE，進(jìn)而可證明△BEC≌△DEC． 【解答】解：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，BC=CD， ∴AC平分∠BCD，EB=DE， ∴∠BCE=∠DCE， 在Rt△BCE和Rt△DCE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）， 故選：C． 【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等． 　 4．如圖，在△ABC中，∠A=36，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點O，交AC于點D，連接BD，下列結(jié)論錯誤的是（　　） A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD=S△BOD D．點D為線段AC的黃金分割點 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；黃金分割． 【分析】求出∠C的度數(shù)即可判斷A；求出∠ABC和∠ABD的度數(shù)，求出∠DBC的度數(shù)，即可判斷B；根據(jù)三角形面積即可判斷C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2=BC?AC，求出AD=BC，即可判斷D． 【解答】解：A、∵∠A=36，AB=AC， ∴∠C=∠ABC=72， ∴∠C=2∠A，正確， B、∵DO是AB垂直平分線， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=36， ∴∠DBC=72﹣36=36=∠ABD， ∴BD是∠ABC的角平分線，正確， C，根據(jù)已知不能推出△BCD的面積和△BOD面積相等，錯誤， D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36， ∴△DBC∽△CAB， ∴=， ∴BC2=CD?AC， ∵∠C=72，∠DBC=36， ∴∠BDC=72=∠C， ∴BC=BD， ∵AD=BD， ∴AD=BC， ∴AD2=CD?AC， 即點D是AC的黃金分割點，正確， 故選C． 【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，黃金分割點，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力． 　 5．將點A（3，2）沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′，點A′關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（　?。? A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【考點】坐標(biāo)與圖形變化-平移；關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)． 【分析】先利用平移中點的變化規(guī)律求出點A′的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征即可求解． 【解答】解：∵將點A（3，2）沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′， ∴點A′的坐標(biāo)為（﹣1，2）， ∴點A′關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（1，2）． 故選：C． 【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣平移及對稱的性質(zhì)；用到的知識點為：兩點關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；左右平移只改變點的橫坐標(biāo)，右加左減． 　 二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分） 6．在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50，則∠B=　?。? 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可直接得出答案． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠A=50， ∴∠B=（180﹣50）2=65． 故答案為：65． 【點評】本題考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題． 　 7．如圖是44正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色，使整個涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有　　個． 【考點】軸對稱圖形． 【專題】壓軸題；開放型． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念分別找出各個能成軸對稱圖形的小方格即可． 【解答】解：如圖所示，有4個位置使之成為軸對稱圖形． 故答案為：4． 【點評】此題利用格點圖，考查學(xué)生軸對稱性的認(rèn)識．此題關(guān)鍵是找對稱軸，按對稱軸的不同位置，可以有4種畫法． 　 8．平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，0）關(guān)于y軸對稱的點A′的坐標(biāo)為　?。? 【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可以直接寫出答案． 【解答】解：點A（2，0）關(guān)于y軸對稱的點A′的坐標(biāo)為（﹣2，0）， 故答案為：（﹣2，0）． 【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律． 　 9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F=30，DE=1，則BE的長是　?。? 【考點】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)同角的余角相等、等腰△ABE的性質(zhì)推知∠DBE=30，則在直角△DBE中由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”即可求得線段BE的長度． 【解答】解：∵∠ACB=90，F(xiàn)D⊥AB， ∴∠ACB=∠FDB=90， ∵∠F=30， ∴∠A=∠F=30（同角的余角相等）． 又∵AB的垂直平分線DE交AC于E， ∴∠EBA=∠A=30， ∴直角△DBE中，BE=2DE=2． 故答案是：2． 【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形．解題的難點是推知∠EBA=30． 　 10．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54，點D為AB中點，且OD⊥AB，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為　　度． 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【專題】壓軸題． 【分析】連接OB、OC，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得OA=OB，根據(jù)等邊對等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判斷出點O是△ABC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC，再根據(jù)等邊對等角求出∠OCB=∠OBC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE，然后根據(jù)等邊對等角求出∠COE，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解． 【解答】解：如圖，連接OB、OC， ∵∠BAC=54，AO為∠BAC的平分線， ∴∠BAO=∠BAC=54=27， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180﹣∠BAC）=（180﹣54）=63， ∵DO是AB的垂直平分線， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27， ∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63﹣27=36， ∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC， ∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴OB=OC， ∴點O在BC的垂直平分線上， 又∵DO是AB的垂直平分線， ∴點O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=36， ∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=36， 在△OCE中，∠OEC=180﹣∠COE﹣∠OCB=180﹣36﹣36=108． 故答案為：108． 【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 11．已知：如圖，直線AB與直線BC相交于點B，點D是直線BC上一點． 求作：點E，使直線DE∥AB，且點E到B，D兩點的距離相等．（在題目的原圖中完成作圖） 結(jié)論：BE=DE． 【考點】作圖—復(fù)雜作圖． 【專題】壓軸題． 【分析】首先以D為頂點，DC為邊作一個角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分線，即可找到點E． 【解答】解：如圖所示： 點E即為所求，BE=DE 【點評】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握作一個角等于已知角的方法和線段垂直平分線的作法． 　 12．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD． 【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)AD∥BC，可求證∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代換可求證∠ABD=∠ADB，然后即可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD． 【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握，此題很簡單，屬于基礎(chǔ)題． 　 13．如圖，在邊長為1的小正方形組成的1010網(wǎng)格中（我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點），四邊形ABCD在直線l的左側(cè)，其四個頂點A、B、C、D分別在網(wǎng)格的格點上． （1）請你在所給的網(wǎng)格中畫出四邊形A′B′C′D′，使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于直線l對稱，其中點A′、B′、C′、D′分別是點A、B、C、D的對稱點； （2）在（1）的條件下，結(jié)合你所畫的圖形，直接寫出線段A′B′的長度． 【考點】作圖-軸對稱變換． 【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，找到各點的對稱點，順次連接即可； （2）結(jié)合圖形即可得出線段A′B′的長度． 【解答】解：（1）所作圖形如下： ． （2）AB==． 【點評】本題考查了軸對稱變換的知識，要求同學(xué)們掌握軸對稱的性質(zhì)，能用格點三角形求線段的長度． 　 14．如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上． （1）求證：BE=CE； （2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可； （2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可． 【解答】證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點， ∴∠BAE=∠EAC， 在△ABE和△ACE中，， ∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE=CE； （2）∵∠BAC=45，BF⊥AF， ∴△ABF為等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∵AB=AC，點D是BC的中點， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C=90， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C=90， ∴∠EAF=∠CBF， 在△AEF和△BCF中，， ∴△AEF≌△BCF（ASA）． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記三角形全等的判定方法與各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 15．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由． （3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90，而∠BAC=90，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA， 則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE； （2）與（1）的證明方法一樣； （3）由前面的結(jié)論得到△ADB≌△CEA，則BD=AE，∠DBA=∠CAE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠CAF=60，則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，則∠DBF=∠FAE， 利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形． 【解答】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m， ∴∠BDA=∠CEA=90， ∵∠BAC=90， ∴∠BAD+∠CAE=90， ∵∠BAD+∠ABD=90， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立． ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180﹣α， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF是等邊三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA=∠CAE， ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵BF=AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE， ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60， ∴△DEF為等邊三角形． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)． 　  第19頁（共19頁）