《數(shù)學(xué)歸納法》(好).ppt

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數(shù)學(xué)歸納法,：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,結(jié)論一定可靠,結(jié)論不一定可靠,考察全體對象,得到一般結(jié)論的推理方法,考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法,,,,,歸納法,思考：歸納法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？,優(yōu)點(diǎn)：可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,缺點(diǎn)：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時(shí)是不正確的,解:,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為,驗(yàn)證:同理得,啊,有完沒完啊?,正整數(shù)無數(shù)個(gè)!,（1）求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正確的嗎？,,情境二,二、引導(dǎo)探究，尋求解決方法,1、第一塊骨牌倒下,2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下,條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下,請同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件,,(二)師生互助,多米諾骨牌游戲原理,（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立,根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。,通項(xiàng)公式為 的證明方法,三、類比問題，師生合作探究,,（一）類比歸納,當(dāng)一個(gè)命題滿足上述（1）、（2） 兩個(gè)條件時(shí)，我們能把證明無限問題 用有限證明解決嗎?,,（二）理解升華,一般的，證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：,（1） 【歸納奠基】證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0 ∈N* ) 時(shí)命題成立; （2） 【歸納遞推】假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N* ,k≥ n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 從而就可以斷定命題對于n0開始的所有正整數(shù)n都成立。 這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法。,,（四）提煉概念,四、例題研討，學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用,,（一）典例析剖,,,,,,,（二）變式精煉,,,,用數(shù)學(xué)歸納法證明,,1＋3＋5＋‥＋（2n－1） ＝,用數(shù)學(xué)歸納法證明,n2,即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。,根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何 都成立。,證明：,1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］,那么當(dāng)n=k+1時(shí),（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即,（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立。,,,（假設(shè)）,（利用假設(shè)）,注意：遞推基礎(chǔ)不可少， 歸納假設(shè)要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉。,（湊結(jié)論）,,,（三）能力提升,,,,用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明：,（1）當(dāng)n=1時(shí)，,左邊=12=1,等式成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何 都成立.,湊出目標(biāo),,用到歸納假設(shè),,,,數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：,歸納奠基,歸納遞推,注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可,,,思考1：試問等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請問該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？,解:設(shè)n＝k時(shí)成立，即,這就是說，n＝k+1時(shí)也成立,2+4+6+…+2k＝k2+k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí) 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1,所以等式對任何n∈N*都成立,事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝2，右邊＝3 左邊≠右邊，等式不成立,該同學(xué)在沒有證明當(dāng)n=1時(shí)，等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何n∈N*都成立，為時(shí)尚早,證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝,右邊＝,②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，,那么n=k+1時(shí),等式成立,這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立,根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立,即,第二步的證明沒有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求,因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。,1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n－3) 條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0,解析：因?yàn)閚≥3，所以，第一步應(yīng)檢驗(yàn)n＝3.,答案：C,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1)， 在驗(yàn)證n＝1時(shí)，等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是 ( ) A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3,解析：因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，an＋1＝a2，所以驗(yàn)證n＝1時(shí)， 等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是1＋a＋a2.,答案：C,3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝ 2n13…(2n－1)，n∈N*”時(shí)，從“n＝k”變到“n＝k＋ 1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是 ( ) A.2k＋1 B.2(2k＋1) C. D.,解析：當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，左式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)； 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左式為(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)， 則左邊應(yīng)增乘的式子是 ＝2(2k＋1).,答案：B,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明： ， 第一步應(yīng)驗(yàn)證左式是 ， 右式是 .,解析：令n＝1則左式為1－ ，右式為 .,答案：,5.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和 f(k＋1)＝f(k)＋ .,解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.,答案：π,六、鞏固作業(yè)，分層布置,課本P96習(xí)題2.3 A組 1、2（必做） （選做題） 用數(shù)學(xué)歸納法證明,時(shí)，由n=k（k1）時(shí)不等式成立，推證n=k+1，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（ ）項(xiàng) A. 2k-1 B.2k+1 C.2k-1 D.2k,