2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第46講 離散型隨機變量及其分布列練習 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第46講 離散型隨機變量及其分布列練習 新人教A版 [考情展望] 1.以實際問題為背景,結(jié)合常見的概率事件考查離散型隨機變量的分布列求法.2.一般與排列、組合、統(tǒng)計相結(jié)合綜合考查.3.多以解答題中考查,難度多屬中檔. 一、離散型隨機變量 隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的隨機變量,稱為離散型隨機變量. 二、離散型隨機變量的分布列及性質(zhì) 1.一般地,若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱為離散型隨機變量X的概率分布列. 2.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) (1)pi≥0(i=1,2,…,n); (2)pi=1. 三、常見離散型隨機變量的分布列 1.兩點分布:若隨機變量X服從兩點分布,其分布列為 X 0 1 P 1-p p ,其中p=P(X=1)稱為成功概率. 2.超幾何分布:在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則事件{X=k}發(fā)生的概率為P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,稱分布列為超幾何分布. X 0 1 … m P … 運用兩個分布列的關鍵 隨機變量X服從兩點分布,常與事件成敗問題有關,隨機變量X服從超幾何分布多與產(chǎn)品抽檢問題有關. 1.拋擲甲、乙兩顆骰子,所得點數(shù)之和為X,那么X=4表示的基本事件是( ) A.一顆是3點,一顆是1點 B.兩顆都是2點 C.一顆是3點,一顆是1點或兩顆都是2點 D.甲是3點,乙是1點或甲是1點,乙是3點或兩顆都是2點 【解析】 甲是3點,乙是1點與甲是1點,乙是3點是試驗的兩個不同結(jié)果,故應選D. 【答案】 D 2.設某項試驗的成功率是失敗率的2倍,用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù),則P(X=0)等于( ) A.0 B. C. D. 【解析】 由已知得X的所有可能取值為0,1, 且P(X=1)=2P(X=0), 由P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=0)=. 【答案】 C 3.已知隨機變量X的分布列為:P(X=k)=,k=1,2,…,則P(2<X≤4)等于( ) A. B. C. D. 【解析】 P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=. 【答案】 A 4.從裝有3個白球,4個紅球的箱子中,隨機取出了3個球,恰好是2個白球,1個紅球的概率是( ) A. B. C. D. 【解析】 如果將白球視為合格品,紅球視為不合格品,則這是一個超幾何分布問題,故所求概率為P==. 【答案】 C 考向一 [189] 離散型隨機變量分布列的性質(zhì) 設離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 設η=|x-1|,則P(η=1)=________. 【思路點撥】 先根據(jù)概率的性質(zhì)求m的值,再根據(jù)X的值,確定η=|X-1|的值. 【嘗試解答】 由分布列的性質(zhì),知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 列表 X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 ∴P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3. 規(guī)律方法1 1.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時要注意檢驗,以保證每個概率值均為非負數(shù). 2.若X是隨機變量,則η=|X-1|等仍然是隨機變量,求它的分布列可先求出相應隨機變量的值,再根據(jù)對應的概率求解. 對點訓練 隨機變量X的分布列如下: X -1 0 1 P a b c 其中,a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)=________. 【解析】 由題意知則2b=1-b,則b=,a+c=, 所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=. 【答案】 考向二 [190] 離散型隨機變量的分布列 (xx浙江高考改編)設袋子中裝有3個紅球,2個黃球,1個藍球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分.若從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)2個球,記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和,求ξ的分布列. 【思路點撥】 對取出球的顏色進行分類以確定得分值,進而確定隨機變量ξ的取值,計算相應的概率,再列出分布列. 【嘗試解答】 由題意得ξ=2,3,4,5,6. 故P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, P(ξ=4)==, P(ξ=5)==, P(ξ=6)==. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P 規(guī)律方法2 1.求隨機變量的分布列的主要步驟:(1)明確隨機變量的取值;(2)求每一個隨機變量取值的概率;(3)列成表格. 2.求出分布列后注意運用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求的分布列是否正確. 對點訓練 某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù): 日銷售量(件) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設某天開始營業(yè)時有該商品3件,當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存量少于2件,則當天進貨補充至3件,否則不進貨,將頻率視為概率. (1)求當天商店不進貨的概率; (2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù),求X的分布列. 【解】 (1)P(當天商店不進貨) =P(當天商品銷售量為0件)+P(當天商品銷售量為1件) =+=. (2)由題意知,X的可能取值為2,3. P(X=2)=P(當天商品銷售量為1件)==; P(X=3)=P(當天商品銷售量為0件)+P(當天商品銷售量為2件)+P(當天商品銷售量為3件)=++=. 所以X的分布列為 X 2 3 P 考向三 [191] 超幾何分布 PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標. 某地區(qū)2013年2月6日至15日每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)如莖葉圖10-7-1所示. 圖10-7-1 (1)小陳在此期間的某天曾經(jīng)來此地旅游,求當天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標的概率; (2)小王在此期間也有兩天經(jīng)過此地,這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標,請計算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級的概率; (3)從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù),記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù),求ξ的分布列及期望. 【思路點撥】 (1)由莖葉圖可知:有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下,據(jù)此利用古典概型的概率計算公式即可得出; (2)由莖葉圖可知:空氣質(zhì)量為一級的有2天,空氣質(zhì)量為二級的有4天,只有這6天空氣質(zhì)量不超標,據(jù)此可得出其概率; (3)由莖葉圖可知:空氣質(zhì)量為一級的有2天,空氣質(zhì)量為二級的有4天,只有這6天空氣質(zhì)量不超標,而其余4天都超標,利用“超幾何分布”即可得出. 【嘗試解答】 (1)記“當天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標”為事件A, 因為有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下, 故P(A)==. (2)記“這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級”為事件B,P(B)==. (3)ξ的可能值為0,1,2,3. 由莖葉圖可知:空氣質(zhì)量為一級的有2天,空氣質(zhì)量為二級的有4天,只有這6天空氣質(zhì)量不超標,而其余4天都超標. P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)==. ξ的分布列如下表: ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)=0+1+2+3=. 規(guī)律方法3 1.求解本例的第(3)問關鍵在于明確ξ服從超幾何分布. 2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數(shù);(3)從中取出若干個;(4)研究取出某類對象的個數(shù)的概率分布. 3.要善于看出某些實際問題實質(zhì)是超幾何分布,或?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為超幾何分布,一種方式就是將一類對象視為合格品,另一類對象視為不合格品,再對其進行解釋. 對點訓練 某校高三年級同學進行體育測試,測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格三個等級,測試結(jié)果如下表:(單位:人) 優(yōu)秀 良好 合格 男 180 70 20 女 120 a 30 按優(yōu)秀、良好、合格三個等級分層,從中抽取50人,其中成績?yōu)閮?yōu)的有30人. (1)求a的值; (2)若用分層抽樣的方法,在合格的同學中按男女抽取一個容量為5的樣本,從中任選2人,記X為抽取女生的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望. 【解】 (1)設該年級共n人,由題意得=,所以n=500. 則a=500-(180+120+70+20+30)=80. (2)依題意,X所有取值為0,1,2. P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==. X的分布列為: X 0 1 2 P E(X)=0+1+2= 規(guī)范解答之二十三 離散型隨機變量的分布列與統(tǒng)計交匯問題 ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— (12分)在某大學自主招生考試中,所有選報Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試,成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖10-7-2所示,其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人. (1)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù); (2)若等級A,B,C,D,E分別對應5分,4分,3分,2分,1分. ①求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分; ②若該考場共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.從這10人中隨機抽取兩人,求兩人成績之和的分布列和數(shù)學期望. 圖10-7-2 【規(guī)范解答】 (1)因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人, 所以該考場有100.25=40人.1分 所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為 40(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=400.075=3.3分 (2)求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為 [1(400.2)+2(400.1)+3(400.375)+4(400.25)+5(400.075)]=2.9.6分 (3)設兩人成績之和為ξ,則ξ的值可以為16,17,18,19,20,7分 P(ξ=16)==,P(ξ=17)==, P(ξ=18)=+=,P(ξ=19)==, P(ξ=20)==, 所以ξ的分布列為 X 16 17 18 19 20 P 10分 所以Eξ=16+17+18+19+20=. 所以ξ的數(shù)學期望為.12分 【名師寄語】 解答此類問題注意以下幾點:,(1)認真審題,根據(jù)題目要求,準確從圖表中提取信息. (2)正確找出隨機變量ξ的取值,并求出取每一個值的概率,提高計算能力. (3)要注意語言敘述的規(guī)范性,解題步驟應清楚、正確、完整,不要漏掉必要說明及避免出現(xiàn)嚴重跳步現(xiàn)象. (xx課標全國卷Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1 t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖10-7-3所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤. 圖10-7-3 (1)將T表示為X的函數(shù); (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率; (3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率).求T的數(shù)學期望. 【解】 (1)當X∈[100,130)時, T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 當X∈[130,150]時, T=500130=65 000. 所以T= (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120, 150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET=45 0000.1+53 0000.2+61 0000.3+65 0000.4=59 400.- 配套講稿:
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