2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式課件 北師大版選修4-5.ppt

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,,,,,,,,,,,,,,,,,第二章幾個(gè)重要的不等式,3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式,3.1數(shù)學(xué)歸納法3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,一、閱讀教材P36～P37“數(shù)學(xué)歸納法”的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題：1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念：設(shè)有一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題，若當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)該命題成立，又在假設(shè)當(dāng)n取第__________________個(gè)值時(shí)該命題成立后可以推出n取第________個(gè)值時(shí)該命題成立，則該命題對(duì)_________________都成立，這種證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法．(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：可用于證明與____________有關(guān)的命題．,k(k∈N＋，k≥n0),k＋1,一切自然數(shù)n≥n0,正整數(shù),2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟(1)驗(yàn)證當(dāng)n取_____________(如n0＝1或2等)時(shí)命題正確．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題正確，證明當(dāng)____________時(shí)命題也正確．在完成了上述兩個(gè)步驟之后，就可以斷定命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)都正確．,第一個(gè)值n0,n＝k＋1,1．(1)數(shù)學(xué)歸納法中，n取得的第一個(gè)值n0是否一定是1?(2)如何理解歸納假設(shè)在證明中的作用？提示：(1)n0不一定是1，是符合命題的第一個(gè)正整數(shù)．(2)歸納假設(shè)在證明中起一個(gè)橋梁的作用，用于聯(lián)系第一個(gè)值n0和后續(xù)的n值所對(duì)應(yīng)的情形．在歸納遞推的證明中，必須以歸納假設(shè)為基礎(chǔ)進(jìn)行證明，否則，就不是數(shù)學(xué)歸納法．,用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過程如下：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝20＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時(shí)，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，,沒有用到歸納假設(shè),二、閱讀教材P38～P39“數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用”的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題：3．貝努利不等式對(duì)任何實(shí)數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥________.,1＋nx,2．在貝努利不等式中，當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)且x>－1時(shí)，不等式形式將有何變化？提示：當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)且x>－1時(shí)，若01，則(1＋x)a≥1＋ax.,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是在運(yùn)用歸納假設(shè)，分析p(k)與p(k＋1)的差異及聯(lián)系，利用拆、添、并、放等手段，從p(k＋1)中分離出p(k)，再進(jìn)行局部調(diào)整，也可考慮尋求兩者的結(jié)合點(diǎn)，以便順利過渡，利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論需要的形式．,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,【點(diǎn)評(píng)】在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中，從n＝k到n＝k＋1的過渡中，利用歸納假設(shè)是比較困難的一步．它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來．而證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1，只用拼湊的方法，有時(shí)也行不通．因?yàn)閷?duì)不等式來說，它還涉及放縮的問題，它可能需通過放大或縮小的過程，才能利用上歸納假設(shè)．因此，我們可以利用比較法、綜合法、分析法等來分析從n＝k到n＝k＋1的變化，從中找到放縮尺度，準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)．,貝努利不等式的應(yīng)用,【點(diǎn)評(píng)】貝努利不等式可把二項(xiàng)式的乘方(1＋x)n縮小為1＋nx的形式，這在用數(shù)值估計(jì)和放縮法證明不等式中可發(fā)揮較大的作用．,3．已知n為正整數(shù)，求證：(1－cosx)n≥(1－n)cosx.證明：因?yàn)椋璫osx≥－1，所以由貝努利不等式，得(1－cosx)n＝[1＋(－cosx)]n≥1－ncosx.又1－ncosx＝(1－cosx)＋(1－n)cosx≥(1－n)cosx，所以(1－cosx)n≥(1－n)cosx.,用數(shù)學(xué)歸納法解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索型問題,【點(diǎn)評(píng)】解決該類問題的思路：先通過給n賦一些特殊值，通過對(duì)得到的結(jié)果觀察、判斷，猜想出一般性結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．,1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，第一步中驗(yàn)證n的初始值至關(guān)重要，它是遞推的基礎(chǔ)，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范圍內(nèi)的最小值．2．第二步證明的關(guān)鍵是運(yùn)用歸納假設(shè)．在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)分析p(k)與p(k＋1)的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，從p(k＋1)中分離出p(k)再進(jìn)行局部調(diào)整．,3．?dāng)?shù)列中的不少問題都可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明，既可以是恒等式也可以是不等式，有一定的綜合性，其中用不完全歸納法給出結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法給出證明是常見題型．4．在研究探索性問題時(shí)，由特例歸納猜想的結(jié)論不一定是真命題，這時(shí)需要使用數(shù)學(xué)歸納法證明，其一般解題步驟是歸納—猜想—證明．,,謝謝觀看！,