2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第九章 第7節(jié) 離散型隨機變量及其分布列 理（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第九章 第7節(jié) 離散型隨機變量及其分布列 理（含解析） 1．(xx陜西，12分) 在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表： 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場價格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列； (2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率． 解：(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，由題設(shè)知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因為利潤＝產(chǎn)量市場價格－成本， 所以X所有可能的取值為 50010－1 000＝4 000,5006－1 000＝2 000， 30010－1 000＝2 000,3 006－1 000＝800. P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)(1－0.4)＝0.3， P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)0.4＋0.5(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.50.4＝0.2， 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i＝1,2,3)， 由題意知C1，C2，C3相互獨立，由(1)知， P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)， 3季的利潤均不少于2 000元的概率為 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3)＋P(C1C3)＋P(C1C2)＝30.820.2＝0.384， 所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512＋0.384＝0.896. 2．（xx新課標(biāo)全國Ⅰ，12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗． 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立． (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率； (2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：本題主要考查獨立重復(fù)試驗和互斥事件的概率、條件概率、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等，意在考查考生的閱讀理解能力及運用所學(xué)概率知識解決實際問題的能力． (1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2) ＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝＋ ＝. (2)X可能的取值為400,500,800，并且 P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝， P(X＝800)＝. 所以X的分布列為 X 400 500 800 P EX＝400＋500＋800＝506.25. 3．(xx山東，12分)甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨立． (1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率； (2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對方得1分．求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解：本題考查相互獨立事件的概率、二項分布、離散型隨機變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查分類與整合思想，考查運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力． (1)記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊以3∶2勝利”為事件A3， 由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨立， 故P(A1)＝3＝， P(A2)＝C2＝， P(A3)＝C22＝. 所以，甲隊以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為，以3∶2勝利的概率為. (2)設(shè)“乙隊以3∶2勝利”為事件A4， 由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨立， 所以P(A4)＝C22＝. 由題意知，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3， 根據(jù)事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝， 又P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝， 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0＋1＋2＋3＝. 4．（xx湖南，12分）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米． (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率； (2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解：本小題主要考查古典概型、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解，考查考生的閱讀理解能力、收集數(shù)據(jù)的能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識． (1)所種作物總株數(shù)N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有CC＝36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3＋3＋2＝8種． 故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為＝. (2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列． 因為P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)， P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)， 所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可． 記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k＝1,2,3,4)，則n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3. 由P(X＝k)＝，得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 所求的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)＝51＋48＋45＋42＝＝46. 解析：∵P(X＝0)＝＝(1－p)2，∴p＝，隨機變量X的可能值為0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝()2＋()2＝，P(X＝2)＝()22＋()2＝，P(X＝3)＝()2＝，因此E(X)＝1＋2＋3＝. 答案： 5．（xx山東，12分）現(xiàn)有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX. 解：(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B ＋C＋D， 根據(jù)事件的獨立性和互斥性得 P(A)＝P(B＋C＋D) ＝P(B)＋P(C)＋P(D) ＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D) ＝(1－)(1－)＋(1－)(1－)＋(1－)(1－) ＝. (2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5. 根據(jù)事件的獨立性和互斥性得 P(X＝0)＝P( ) ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝(1－)(1－)(1－) ＝. P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P() ＝(1－)(1－)＝. P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D) ＝(1－)(1－)＋(1－)(1－) ＝， P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD) ＝(1－)＋(1－)＝， P(X＝4)＝P(CD)＝(1－)＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以EX＝0＋1＋2＋3＋4＋5＝. 6．（xx江蘇，10分）設(shè)ξ為隨機變量．從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解：(1)若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8C對相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝. (2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對， 故P(ξ＝)＝＝， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝， 所以隨機變量ξ的分布列是 ξ 0 1 P(ξ) 因此E(ξ)＝1＋＝. 7．(2011新課標(biāo)全國，12分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (1)分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； (2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y＝從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率) 解：(1)由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3. 由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42. (2)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90,94)，[94,102)，[102,110]的頻率分別為0.04,0.54,0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42， 即X的分布列為 X －2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 X的數(shù)學(xué)期望EX＝－20.04＋20.54＋40.42＝2.68. 8．(xx山東，12分)某學(xué)校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個問題，規(guī)則如下： (1)每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分； (2)每回答一題，計分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局； (3)每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束．假設(shè)甲同學(xué)對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響． ①求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率； ②用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ. 解：設(shè)A，B，C，D分別為第一、二、三、四個問題． 用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答正確， 用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答錯誤． 則Mi與Ni是對立事件(i＝1,2,3,4)，由題意得 P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝， 所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝. (1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q， 則Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4， 由于每題的答題結(jié)果相互獨立，因此 P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4) ＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4) ＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)＋P(N1)P(M2)P(N3)P(M4) ＝＋＋＋＋＝. (2)由題意，隨機變量ξ的可能取值為：2,3,4. 由于每題答題結(jié)果相互獨立， 所以P(ξ＝2)＝P(N1N2)＝P(N1)P(N2)＝， P(ξ＝3)＝P(M1M2M3)＋P(M1N2N3) ＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(M1)P(N2)P(N3) ＝＋ ＝. P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3) ＝1－－＝. 因此隨機變量ξ的分布列為 ξ 2 3 4 P 所以Eξ＝2＋3＋4＝.