2019年高中數(shù)學(xué) 3.1 第1課時(shí)歸納推理同步檢測(cè) 北師大版選修1-2.doc
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2019年高中數(shù)學(xué) 3.1 第1課時(shí)歸納推理同步檢測(cè) 北師大版選修1-2 一、選擇題 1.觀察下列數(shù)列的特點(diǎn):1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,則第100項(xiàng)是( ) A.10 B.13 C.14 D.100 [答案] C [解析] ∵=91,∴從第92項(xiàng)到第105項(xiàng)都是14,故選C. 2.觀察下圖中圖形的規(guī)律,在其右下角的空格內(nèi)適合的圖形為( ) □ ● ▲ ▲ ■ ○ ● △ A.■ B.△ C.□ D.○ [答案] A [解析] 圖形涉及三種符號(hào)□、○、△,其中符號(hào)○與△各有3個(gè),且各自有二黑一白,所以□缺一個(gè)黑色符號(hào),即應(yīng)畫(huà)上■才合適. 3.用火柴棒擺“金魚(yú)”,如圖所示: 按照上面的規(guī)律,第n個(gè)“金魚(yú)”圖形需要火柴棒的根數(shù)為( ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2 [答案] C [解析] 歸納“金魚(yú)”圖形的構(gòu)成規(guī)律知,后面“金魚(yú)”都比它前面的“金魚(yú)”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚(yú)頭部分,故各“金魚(yú)”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8,公差是6的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=6n+2. 4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,猜想an等于( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由a1=1,Sn=n2an,得a2=,a3=,a4=,猜想an=,故應(yīng)選B. 5.如圖所示的是一串黑白相間排列的珠子,若按這種規(guī)律排列下去,那么第36顆珠子的顏色是( ) A.白色 B.黑色 C.白色的可能性大 D.黑色的可能性大 [答案] A [解析] 由圖知,這串珠子的排列規(guī)律是:每5個(gè)一組(前3個(gè)是白色珠子,后2個(gè)是黑色珠子)呈周期性排列,而36=57+1,即第36顆珠子正好是第8組中的第1顆珠子,其顏色與第一顆珠子的顏色相同,故它的顏色一定是白色. 6.四個(gè)小動(dòng)物換座位,開(kāi)始是鼠、猴、兔、貓分別坐在第1,2,3,4號(hào)座位上(如圖所示),如果第1次前后排動(dòng)物互換座位,第2次左右列動(dòng)物互換座位,…,這樣交替進(jìn)行下去,那么第2 013次互換座位后,小兔坐在第( )號(hào)座位上.( ) 開(kāi)始 第1次 第2次 第3次 A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] A [解析] 由題意得第4次互換座位后,四個(gè)小動(dòng)物回到了原位,即每經(jīng)過(guò)4次互換座位后,小動(dòng)物回到原位,所以第2 013次互換座位后的結(jié)果與第1次互換座位后的結(jié)果相同,小兔坐在第1號(hào)座位上.故選A. 二、填空題 7.考查下列式子:1=12;2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,得出的結(jié)論是________. [答案] n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 [解析] 從數(shù)值特征看,等式左邊首數(shù)為n時(shí),共有連續(xù)2n-1個(gè)數(shù),右邊為(2n-1)2. 8.經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列正確不等式:+<2,+<2,+<2,…,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,試寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a,b成立的條件不等式:________. [答案] 當(dāng)a+b=20時(shí),有+≤2(a>0,b>0) [解析] 各不等式右邊相同,左邊兩根號(hào)內(nèi)的數(shù)之和等于20. 三、解答題 9.已知Sn=+++…+,寫出S1,S2,S3,S4的值,并由此歸納出Sn的表達(dá)式. [分析] 在Sn中分別令n=1,2,3,4,可以求得S1,S2,S3,S4的值,再進(jìn)行歸納推測(cè). [解析] S1==; S2=+=+==; S3=++=+==; S4=+++=+==; 由此猜想:Sn=(n∈N+). [點(diǎn)評(píng)] 本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達(dá)式,有兩點(diǎn)應(yīng)注意:①正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義;②在對(duì)特殊值進(jìn)行規(guī)律觀察時(shí),有時(shí)需要將所得結(jié)果作變形處理,以顯示隱藏的規(guī)律性. 10.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù): ①sin213+cos217-sin13cos17; ②sin215+cos215-sin15cos15; ③sin218+cos212-sin18cos12; ④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos48; ⑤sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. [答案] (1) (2)sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α)= 證明略 [解析] 解法一: (1)選擇(2)式,計(jì)算如下: sin215+cos215-sin15cos15=1-sin30 =1-=. (2)三角恒等式為 sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α) =sin2α+(cos30cosα+sin30sinα)2-sinα(cos30cosα+sin30sinα) =sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=. 解法二: (1)同解法一. (2)三角恒等式為 sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α) =+-sinα(cos30cosα+sin30sinα) =-cos2α++(cos60cos2α+sin60sin2α)-sinαcosα-sin2α =-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α) =1-cos2α-+cos2α=. 一、選擇題 11.我們把1,4,9,16,25,…這些數(shù)稱作正方形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正方形(如下圖), 則第n個(gè)正方形數(shù)是( ) A.n(n-1) B.n(n+1) C.n2 D.(n+1)2 [答案] C [解析] 第n個(gè)正方形數(shù)的數(shù)目點(diǎn)可排成每邊都有n個(gè)點(diǎn)的正方形,故為n2. 13.平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列,每個(gè)圖中的圓的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an},則下列結(jié)論正確的是( ) ①a5=15; ②數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列; ③數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列; ④數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an=an-1+n(n∈N*). A.①②④ B.①③④ C.①② D.①④ [答案] D [解析] 由于a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,所以有a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4.因此必有a5-a4=5,即a5=15,故①正確.同時(shí)④正確,而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,故②③錯(cuò)誤,故選D. 12.如圖是元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形,照此規(guī)律閃爍,下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是( ) [答案] A [解析] 由前三個(gè)圖形呈現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律可知,下一個(gè)圖形可視作上一圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)144得到的,故由第三個(gè)圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)144得到的圖形應(yīng)為A. 二、填空題 14.觀察下列不等式 1+<, 1++<, 1+++<, …… 照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為_(kāi)_______. [答案] 1+++++< [解析] 本題考查了歸納的思想方法. 觀察可知1+++…+<, 所以第五個(gè)不等式為: 1+++++<. 在用歸納法歸納一般性結(jié)論的時(shí)候,要養(yǎng)成檢驗(yàn)意識(shí). 15.如圖是由一些小正方體摞成的.第(1)堆有1個(gè),第(2)堆有4個(gè),第(3)堆有10個(gè)…,則第n堆有________個(gè)小正方體. [答案] n(n+1)(n+2) [解析] 第一堆有1個(gè);第二堆有1+(1+2)=4個(gè);第三堆有1+(1+2)+(1+2+3)=10個(gè);……;第n堆有1+(1+2)+(1+2+3)+……+(1+2+…+n)=n(n+1)(n+2)個(gè). 三、解答題 16.由下列各式: 1>, 1++>1, 1++++++>, 1++++…+>2, 請(qǐng)你歸納出一般結(jié)論. [解析] 將題中所給四個(gè)式子變形>, 1++>, 1++++++>, 1++++…+>, 歸納概括,猜測(cè)得1+++…+>. 17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=-且Sn++2=an(n≥2,n∈N+),計(jì)算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表達(dá)式. [解析] 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1, ∴Sn++2=Sn-Sn-1. ∴+Sn-1+2=0. 當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=-; 當(dāng)n=2時(shí),=-2-S1=-, ∴S2=-; 當(dāng)n=3時(shí),=-2-S2=-, ∴S3=-; 當(dāng)n=4時(shí),=-2-S3=-, ∴S4=-.猜想:Sn=-(n∈N+).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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