2019-2020年高考數(shù)學5年真題備考題庫 第六章 第7節(jié) 數(shù)學歸納法 理（含解析）.doc
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2019-2020年高考數(shù)學5年真題備考題庫 第六章 第7節(jié) 數(shù)學歸納法 理（含解析） 1．（xx山東，5分）用反證法證明命題“設a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 解析：選A 至少有一個實根的否定是沒有實根，故要做的假設是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實根”． 答案：A 2．（xx江蘇，10分）已知函數(shù)f0(x)＝(x>0)，設fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)，n∈N*. (1)求2f1＋f2的值； (2)證明：對任意的n∈N*，等式nfn－1＋fn＝都成立． 解：由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－， 于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋， 所以f1＝－，f2＝－＋. 故2f1＋f2＝－1. (2)證明：由已知，得xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對x求導，得f0(x)＋xf′0(x)＝cos x， 即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin， 類似可得 2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)， 3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin， 4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)． 下面用數(shù)學歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin對所有的n∈N*都成立． ①當n＝1時，由上可知等式成立． ②假設當n＝k時等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin. 因為[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，′＝cos′＝sin， 所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin. 因此當n＝k＋1時，等式也成立． 綜合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin對所有的n∈N*都成立． 令x＝，可得nfn－1＋fn＝ sin(n∈N*)． 所以＝(n∈N*)． 3．（xx安徽，13分）設實數(shù)c>0，整數(shù)p>1，n∈N*. (1)證明：當x>－1且x≠0時，(1＋x)p>1＋px； (2)數(shù)列{an}滿足a1>c，an＋1＝an＋a. 證明：an>an＋1>c. 證明：(1)用數(shù)學歸納法證明： ①當p＝2時，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立． ②假設p＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式(1＋x)k>1＋kx成立． 當p＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以p＝k＋1時，原不等式也成立． 綜合①②可得，當x>－1，x≠0時，對一切整數(shù)p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立． (2)法一：先用數(shù)學歸納法證明an>c. ①當n＝1時，由題設知a1>c成立． ②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，不等式ak>c成立． 由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N*. 當n＝k＋1時，＝＋a＝1＋. 由ak>c>0得－1<－<<0. 由(1)中的結論得p＝p>1＋p＝. 因此a>c，即ak＋1>c. 所以n＝k＋1時，不等式an>c也成立． 綜合①②可得，對一切正整數(shù)n，不等式an>c均成立． 再由＝1＋可得<1，即an＋1
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