2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 第66課 古典概型要點導學.doc

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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 第66課 古典概型要點導學 隨機事件的概率 　 (xx泰州中學模擬)在集合中任取一個元素,所取元素恰好滿足方程cosx=的概率是　　　　. [答案] [解析]因為集合中共有10個元素,而當n=2和n=10時,cosx=,故滿足條件cosx=的基本事件個數(shù)為2,故所取元素恰好滿足方程cosx=的概率P==. 常見的古典概型問題 　現(xiàn)有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學從中任取2道題解答. (1) 求所取的2道題都是甲類題的概率; (2) 求所取的2道題不是同一類題的概率. [解答](1) 將4道甲類題依次編號為1,2,3,4;2道乙類題依次編號為5,6,任取2道題,基本事件為:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15個,而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 設“所選兩道題都是甲類題”為事件A,則A包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6個,所以P(A)==. (2) 設“所選兩道題不是同一類題”為事件B,則B包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8個,所以P(B)=. 　某地區(qū)有21所小學、14所中學、7所大學,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調(diào)查. (1) 求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目; (2) 若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據(jù)分析,求抽取的2所學校均為小學的概率. [解答](1) 從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目為3,2,1. (2) 在抽取到得6所學校中,3所小學分別記為A1,A2,A3,2所中學分別記為A4,A5,大學記為A6,則抽取2所學校的所有可能結(jié)果為 {A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種. 設“從6所學校中抽取的2所學校均為小學”為事件A,則A的所有可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3種. 所以P(A)==. 　 某小組共有A,B,C,D,E五位同學,他們的身高(單位:m)及體重指標(單位:kg/m2)如下表所示: A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 體重指標 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1) 從該小組身高低于1.80 m的同學中任選2人,求選到的2人身高都在1.78 m以下的概率; (2) 從該小組同學中任選2人,求選到的2人的身高都在1.70 m以上且體重指標都在[18.5,23.9)(單位:kg/m2)中的概率. [解答](1) 從身高低于1.80 m的同學中任選2人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件為(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6個. 由于每個人被選到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 選到的2人身高都在1.78 m以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3個. 因此選到的2人身高都在1.78 m以下的概率P==. (2) 從該小組同學中任選2人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10個. 由于每個人被選到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 選到的2人身高都在1.70 m以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3個. 故選到的2人的身高都在1.70 m以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的概率P=. 【題組強化重點突破】 1. (xx安慶模擬)在平面直角坐標系中,從A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)五個點中任取三個,這三點能構(gòu)成三角形的概率是　　　　. [答案] [解析]從5個點中取3個點,列舉得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共有10個基本事件,而其中ACE,BCD兩種情況三點共線,其余8個均符合題意,故能構(gòu)成三角形的概率為=. 2. 拋擲兩枚骰子,若正面朝上的點數(shù)為b,c,則方程x2+bx+c=0有兩個實根的概率是　　　　. [答案] [解析]共有36個基本事件,當方程有解時Δ=b2-4c≥0,所以b2≥4c,滿足條件的記為(b2,4c),有:(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36,16),(36,20),(36,24),19種情況,所以P=. 3. 有六張紙牌,上面分別寫有1,2,3,4,5,6六個數(shù)字,甲、乙兩人玩一種游戲:甲先取一張牌,記下點數(shù),放回后乙再取一張牌,記下點數(shù).如果兩個點數(shù)的和為偶數(shù)就算甲勝,否則算乙勝.求甲勝且點數(shù)和為6的事件發(fā)生的概率. [解答]設“甲勝且點數(shù)的和為6”為事件A,甲的點數(shù)為x,乙的點數(shù)為y,則(x,y)表示一個基本事件,兩人取牌結(jié)果包括(1,1),(1,2),…,(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,6),共36個基本事件.A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5個, 所以P(A)=, 所以甲勝且點數(shù)之和為6的概率為. 統(tǒng)計與概率的綜合 　(xx淄博模擬)某校從高一年級學生中隨機抽取50名學生,將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1) 若該校高一年級共有學生1000人,試估計成績不低于60分的人數(shù); (2) 為了幫助學生提高數(shù)學成績,學校決定在隨機抽取的50名學生中成立“二幫一”小組,即從成績[90,100]中選兩位同學,共同幫助[40,50)中的某一位同學.已知甲同學的成績?yōu)?2分,乙同學的成績?yōu)?5分,求甲、乙恰好被安排在同一小組的概率. (例4) [解答](1) 根據(jù)頻率分布直方圖,成績不低于60分的頻率為1-10(0.004+0.010)=0.86. 由于該校高一年級共有學生1000人,利用樣本估計總體的思想,可估計該校高一年級數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)為10000.86=860. (2) 成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為500.04=2, 成績在[90,100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為500.1=5, 由[40,50)內(nèi)有2人,記為甲,A,[90,100)內(nèi)有5人,記為乙,B,C,D,E,則“二幫一”小組有以下20種分組方法,分別為:甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙E,甲BC,甲BD,甲BE,甲CD,甲CE,甲DE,A乙B,A乙C,A乙D,A乙E,ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE.其中甲、乙兩同學被分在同一小組有4種方法,分別為:甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙E.所以甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率P==. 　(xx威海模擬)某普通高中共有教師360人,分為三個批次參加研修培訓,在三個批次中男、女教師人數(shù)如下表所示: 第一批次 第二批次 第三批次 女教師 86 x y 男教師 94 66 z 　　已知在全體教師中隨機抽取1名,抽到第二、三批次中女教師的概率分別是0.15,0.1. (1) 求x,y,z的值; (2) 為了調(diào)查研修效果,現(xiàn)從三個批次中按1∶60的比例抽取教師進行問卷調(diào)查,三個批次被選取的人數(shù)分別是多少? (3) 若從(2)中選取的教師中隨機選出兩名教師進行訪談,求參加訪談的兩名教師“分別來自兩個批次”的概率. [解答](1) x=3600.15=54,y=3600.1=36, z=360-86-54-36-94-66=24. (2) 由(1)知,三個批次的人數(shù)分別是180,120,60,所以被選取的人數(shù)分別為3,2,1. (3) 第一批次選取的三個教師設為A1,A2,A3,第二批次的教師為B1,B2,第三批次的教師設為C,則從這6名教師中隨機選出兩名教師的所有可能的基本事件為A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C,共15個,“來自兩個批次”的事件包括A1B1,A1B2,A1C,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1C,B2C,共11個,所以“來自兩個批次”的概率P=. 1. 從1,2,3,4,5中任意取出2個不同的數(shù),其和為5的概率是　　　　. [答案]0.2 [解析]任取2個數(shù)有10種取法,和為5的取法有2種,故所求概率為=0.2. 2. 已知k∈Z,=(k,1),=(2,4),若||≤4,則△ABC是直角三角形的概率為　　　　. [答案] [解析]||≤4,k2+1≤16,k2≤15,k=-3,-2,-1,0,1,2,3.=(2-k,3).若=-k2+2k+3=0,則k=-1,k=3;若=0,則k=8(舍去);若=0,則k=-2.故P=. 3. 先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的點數(shù)分別為x,y,則y=2x的概率為　　　　. [答案] [解析]先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子共有36種結(jié)果,骰子朝上的面的點數(shù)分別為x,y,滿足y=2x的有3種,故所求概率為=. 4. 我們把形如“1234”和“3241”形式的數(shù)稱為“鋸齒數(shù)”(即大小間隔的數(shù)),由1,2,3,4四個數(shù)組成一個沒有重復數(shù)字的四位數(shù),則該四位數(shù)恰好是“鋸齒數(shù)”的概率為　　　　. [答案] [解析]通過畫樹形圖可知由1,2,3,4四個數(shù)構(gòu)成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有24個,四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231,共10個,所以四位數(shù)為“鋸齒數(shù)”的概率為=. 5. 有5個數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列,這5個數(shù)的和為15,若從這5個數(shù)中隨機抽取一個數(shù),則它小于3的概率是　 . [答案] [解析]因為5個數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列,且和為15,則第三個數(shù)為3,有2個數(shù)大于3,有2個數(shù)小于3,這5個數(shù)中隨機抽取一個數(shù),則它小于3的概率為. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第131-132頁).