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2019-2020 年高考數(shù)學三輪復習試題匯編 專題 2 不等式、函數(shù)與導數(shù) 第 4 講 導數(shù)與定積分（B 卷）理（含解析） 一、選擇題（每題 5 分，共 30 分） 1、(xx山東省滕州市第五中學高三模擬考試4)=（ ） A． B． C． D． 2．(xx德州市高三二模（4 月）數(shù)學（理）試題9)展開式的常數(shù) 項是 15，右圖陰影部分是由曲線和圓軸圍成的封閉圖形，則封閉圖 形的面積為（ ） A． B． C． D． 3. (江西省新八校 xx 學年度第二次聯(lián)考12)已知定義域為的奇函 數(shù)的導函數(shù)，當時， ，若， ， ，則下列關(guān)于的大小關(guān)系正確的是（ ） A. B. C. D. 4.（xx贛州市高三適用性考試4） 5.（xx贛州市高三適用性考試12）若函數(shù),方程只有五個不同的實根，則實數(shù)的取值范 圍是（ ） A. B. C.. D. 6．(xx.江西省上饒市高三第三次模擬考試12)定義:如果函數(shù)在[a,b]上存在滿足,,則稱 函數(shù)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)” ．已知函數(shù)是[0,a]上的“雙中值函數(shù)”,則實數(shù)的取值范 圍是（ ） A． B．() C．(,1) D．(,1) 7.（xx山西省太原市高三模擬試題二12） 8. (xx山東省濰坊市第一中學高三過程性檢測9)已知?????sinco0215xfex???? ，則函數(shù)的各極大值之和為（ ） A. B. C. D. 二、非選擇題(60 分) 9. (江西省新八校 xx 學年度第二次聯(lián)考16)函數(shù)，當時，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍 是 . 10、(xx山東省滕州市第五中學高三模擬考試15)若函數(shù)存在與直線平行的切線，則實 數(shù)的取值范圍是 __. 11．(xx.江西省上饒市高三第三次模擬考試15)設定義域為的單調(diào)函數(shù)，對任意，都有， 若是方程的一個解，且，則實數(shù)= ▲ ． 12. （xx山東省實驗中學第二次考試11）定積分= 。 13. （xx山東省實驗中學第二次考試13）函數(shù)，則不等式的解集為___________. 14．(xx鹽城市高三年級第三次模擬考試14)若函數(shù) f（x）=－lnx+ax 2+bx－a－2b 有兩 個極值點 x1，x 2，其中－
x1，則方程 2a[f（x）] 2+bf（x） －1=0 的實根個數(shù)為 ． 15. (XX 徐州、連云港、宿遷三市高三第三次模擬17)（本小題滿分 10 分）如圖，在 地正西方向的處和正東方向的處各一條正北方向的公路和現(xiàn)計劃在和路邊各修建一個物流 中心和. 為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路和設 （1）為減少周邊區(qū)域的影響，試確定的位置，使△與△的面積之和最??； （2）為節(jié)省建設成本，試確定的位置，使的值最小. 16.(江西省新八校 xx 學年度第二次聯(lián)考21)（本小題滿分 10 分）已知函數(shù)（為不零的實 數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）. （1）若函數(shù)與的圖象有公共點，且在它們的某一處有共同的切線，求的值； （2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時的取值范圍. 17. (xx 徐州、連云港、宿遷三市高三第三次模擬20)（本小題滿分 10 分）已知函數(shù) 其中為常數(shù). （1）當時，若函數(shù)在上的最小值為求的值； （2）討論函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性； （3）若曲線上存在一點使得曲線在點處的切線與經(jīng)過點的另一條切線互相垂直，求的取值 范圍. 專題 2 不等式、函數(shù)與導數(shù) 第 4 講 導數(shù)與定積分（B 卷）答案與解析 1.【答案】C 【命題立意】本題主要考查定積分的運算 【解析】 02011 31()()|()2xxedee??????? . 2.【答案】A 【命題立意】本題旨在考查定積分的計算． 【解析】二項式展開的通項公式為： 故由題意有：，交點坐標為， 所求解的面積為：．故選：A 3.【答案】A 【命題立意】考查導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，考查推理能力，較難題. 【解析】令，則， 當時， ， 當時， ，當時，函數(shù)單調(diào)遞增， ， 函數(shù)是奇函數(shù)， ， 又， ， ， ，即. 4.【答案】C 【命題立意】本題主要考查積分的計算，根據(jù)積分的運算法則進行求解即可. 【解析】 ，選 C. 5.【答案】C 【命題立意】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)關(guān)系，利用數(shù) 形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵. 【解析】設則,作出函數(shù)和的圖象如圖: ①若時，有一個根 t，且，∴只有一個解，則方程有 1 個根. ②若時，有兩個根，方程有 1 個解，有 1 個解，則方程有 2 個根. ③若時，有 3 個根，此時每個方程有各有 1 個解.則方程有 3 個根， ④若時，有 3 個根，此時方程有 1 個解，有 1 個解，有 2 個解，則方程有 4 個根， ⑤若時，有 3 個根，此時方程有 1 個解，有 1 個解，有 3 個解，則方程有 5 個根. ⑥若時，有 2 個根，此時方程有 1 個解，有 3 個解，則方程有 4 個根. ⑦若時，有 2 個根，此時方程有 1 個解，有 2 個解，則方程有 3 個根. 綜上滿足條件的的取值范圍是，選 C. 【易錯警示】本題在求解的過程中，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點個數(shù)問 題是解決本題的關(guān)鍵.同時，根據(jù)條件要對進行分類討論，比較復雜. 6.【答案】B 【命題立意】本題重點考查了本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，二次函數(shù)的性質(zhì)與方程根 的關(guān)系，屬于中檔題． 【解析】由題意可知，在區(qū)間[0,a]存在 x1，x 2（1＜x 1＜x 2＜a） ， 滿足 f′（x 1）===a 2﹣a， ∵f（x）=x 3﹣x 2+a，∴f′（x）=x 2﹣2x， ∴方程 x2﹣2x=a 2﹣a 在區(qū)間（0，a）有兩個解． 令 g（x）=x 2﹣2x﹣a 2+a， （0＜x＜a） 則 解得＜a＜3，∴實數(shù) a 的取值范圍是（，3） ．故選 B． 7.【答案】D 【命題立意】本題考查利用導數(shù)研究抽象函數(shù)的單調(diào)性，難度較大. 【解析】在中，令得，得，且，令， 則 11ln1ln()()()()xxgxfxfff????????， 當時， ，單調(diào)遞增，當時， ，單調(diào)遞減，所以，所以，在單調(diào)遞減，沒有最值. 8.【答案】A 【命題立意】本題重點考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值以及等比數(shù)列的求和公式，難度中等. 【解析】因為 ()sinco)(sin)2sixxxfeee?????，所以當時， ，當時， ，即當時，取得極大值，其極大值為 2 2()[si()s()]k kfk k? ?? ? ，又因為，所以函數(shù)的各極大 值之和為 10720143520152()xeeSe? ??????? . 9.【答案】 【命題立意】考查導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，考查轉(zhuǎn)化能力，較難題. 【解析】 ， ，是的減函數(shù)且為奇函數(shù)，由可得在恒成立， ]2sin1)si[(21sin12sin2co ?????????? ???m 在恒成立，在單調(diào)遞減， ，. 10.【答案】 【命題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義 【解析】 11.【答案】1。 【命題立意】本題考查函數(shù)的零點位置問題. 【解析】對任意的，都有，又由是定義在上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，設，則，又由，可得， 可解得，故 ，又是方程的一個解，所以是函數(shù)的零點，分析易得 04ln12l1)(,02ln)1( ??????F ，故函數(shù)的零點介于之間，故. 12.【答案】e 【命題立意】本題旨在考查定積分與微積分基本定理。 【解析】( 2x+ex)dx=（x 2+ex） =（1 2+e1）-（0 2+e0）=e 13.【答案】( ， e) 【命題立意】本題旨在考查函數(shù)的單調(diào)性與最值。 【解析】∵函數(shù) f（x）=xsinx+cosx+x 2，滿足 f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）+（-x） 2=xsinx+cosx+x2=f（x），故函數(shù) f（x）為偶函數(shù)． 由于 f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx）， 當 x＞0 時，f′（x）＞0，故函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)， 當 x＜0 時，f′（x）＜0，故函數(shù)在（-∞，0）上是減函數(shù)． 不等式 f（lnx）＜f（1）等價于-1＜lnx＜1，∴＜x＜e， 【易錯警示】判斷函數(shù)為偶函數(shù)是關(guān)鍵，利用導數(shù)求得函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，在 （-∞，0）上是減函數(shù)，將所給的不等式等價變形為-1＜lnx＜1，注意通過分類討論解對 數(shù)不等式得解。 14.【答案】5 【命題立意】本題旨在考查導數(shù)及其應用，函數(shù)的極值，方程的根． 【解析】由于函數(shù) f（x）=－lnx+ax 2+bx－a－2b 有兩個極值點 x1，x 2，那么 f′（x） =－+2ax+b===0，可得 x1+x2=－，x 1x2=－，而關(guān)于 f（x）的方程 2a[f（x）] 2+bf（x） －1=0 有兩個根，則 f（x）=x 1或 f（x）=x 2，而 f（x 2）=x 2>x1，那么根據(jù)對應的圖形， 數(shù)形結(jié)合可得 f（x）=x 1有三個實根，f（x）=x 2有兩個實根，故方程 2a[f（x）] 2+bf（x）－1=0 的實根個數(shù)為 5 個． 15.【答案】 （1）當 AE=1km， BF=8km 時，△ PAE 與△ PFB 的面積之和最??；（2）當 AE 為 4km，且 BF 為 2km 時， PE+PF 的值最?。?【命題立意】本題旨在考查三角函數(shù)的應用問題，三角形的面積公式，基本不等式，導數(shù) 及其應用，函數(shù)的單調(diào)性等． 【解析】 （1）在 Rt△ PAE 中，由題意可知， AP=8，則． 所以． ………………………………………2 分 同理在 Rt△ PBF 中， ， PB＝1，則， 所以． ………………………………………………4 分 故△ PAE 與△ PFB 的面積之和為 …………………………5 分 =8， 當且僅當，即時，取“＝” ， 故當 AE=1km， BF=8km 時，△ PAE 與△ PFB 的面積之和最?。? 分 （2）在 Rt△ PAE 中，由題意可知，則． 同理在 Rt△ PBF 中， ，則． 令， ， ………………………………8 分 則， ………………………………10 分 令，得，記， ， 當時， ，單調(diào)減； 當時， ，單調(diào)增． 所以時，取得最小值， …………………………………12 分 此時， ． 所以當 AE 為 4km，且 BF 為 2km 時， PE+PF 的值最小． ……………………14 分 16.【答案】 （1） ；（2）. 【命題立意】考查導數(shù)的幾何意義，導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，較難題. 【解析】 （1）設曲線與有共同切線的公共點為，則． （1）式 又曲線與在點處有共同切線，且， ， ∴（2）式，聯(lián)立（1） （2）有，則。 （2）由得函數(shù)， 所以 ???????k-xkxe-xe-kxehkk 63233???? ， 又由區(qū)間知， ，解得，或． ①當時，由，得，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，要使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有???????k-k3120 解得 ， ②當時，由，得，或，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和， 要使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有 ，或，這兩個不等式組均無解. 綜上，當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 17.【答案】 （1）b=2；（2）當時， f(x)在區(qū)間( a，+?)上是單調(diào)增函數(shù)；當時， f(x)在區(qū) 間( a，)上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間(，+?)上是單調(diào)增函數(shù)；當時， f(x)在區(qū)間( a，)， (，+?)上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間(，)上是單調(diào)減函數(shù)；（3） ． 【命題立意】本題旨在考查導數(shù)及其應用，導數(shù)的幾何意義，兩直線的位置關(guān)系，函數(shù)的 單調(diào)性與最值，考查分類討論思維． 【解析】 （1）當 a=?1 時， f ?(x)=x2?2x?1，所以函數(shù) f(x)在[0，1]上單調(diào)減， ………2 分 由 f (1)= ，即 ?1?1+b= ，解得 b=2． ………………………4 分 13 13 13 （2） f ?(x)=x2+2ax?1 的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為 x=?a， 因為△=4 a2+4>0， f?(x)=0 有兩個不等實根 x1,2=． …………………5 分 ①當方程 f ?(x)=0 在區(qū)間( a，+?)上無實根時，有 解得． ………………6 分 ②當方程 f ?(x)=0 在區(qū)間與 ( a，+?)上各有一個實根時，有 f?(a)<0，或 解得． …………………………8 分 ③當方程 f ?(x)=0 在區(qū)間( a，+?)上有兩個實根時，有 解得． 綜上，當時， f(x)在區(qū)間( a，+?)上是單調(diào)增函數(shù)； 當時， f(x)在區(qū)間( a，)上是單調(diào)減函數(shù)， 在區(qū)間(，+?)上是單調(diào)增函數(shù)； 當時， f(x)在區(qū)間( a，)，(，+?)上是單調(diào)增函數(shù)， 在區(qū)間(，)上是單調(diào)減函數(shù)． ……10 分 （3）設 P(x1， f(x1))，則 P 點處的切線斜率 m1=x12+2ax1?1， 又設過 P 點的切線與曲線 y=f(x)相切于點 Q(x2， f(x2))， x1?x2， 則 Q 點處的切線方程為 y?f(x2)=( x22+2ax2?1)(x?x2)， 所以 f(x1)?f(x2)=( x22+2ax2?1)(x1?x2)， 化簡，得 x1+2x2=?3a． ………………………12 分 因為兩條切線相互垂直，所以( x12+2ax1?1)(x22+2ax2?1)= ?1， 即(4 x22+8ax2+3a2?1)(x22+2ax2?1)= ?1． 令 t=x22+2ax2?1??(a2+1)， 則關(guān)于 t 的方程 t(4t+3a2+3)= ?1 在 t?上有解， …………………14 分 所以 3a2+3=?4t? ?4，當且僅當 t=? 時，取“=” ， 1t 12 解得 a2? ，故 a 的取值范圍是． ……………………16 分 13
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