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2019年高考數(shù)學二輪復習 函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．(xx江西高考)函數(shù)f(x)＝ln (x2－x)的定義域為( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【解析】 由題意知，x2－x>0，解得x>1或x<0.故選C.
【答案】 C
2．(xx湖南高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
【解析】 A符合題意；B，D中在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故B，D錯誤；C中為奇函數(shù)，故選A.
【答案】 A
3．在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是( )
【解析】 當a>1時，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝logax單調(diào)遞增，且過點(1,0)，由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知C錯；當0
0)單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝logax單調(diào)遞減，且過點(1,0)，排除A，又由冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知B錯，因此選D.
【答案】 D
4．(xx四川高考)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1,1)時，f(x)＝則f ＝________.
【解析】 ∵f(x)的周期為2，∴f ＝f ，
又∵當－1≤x＜0時，f (x)＝－4x2＋2，
∴f ＝f ＝－42＋2＝1.
【答案】 1
5．(xx全國新課標Ⅱ高考)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．
【解析】 由題可知，當－20.f(x－1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移1個單位長度得到的，若f(x－1)>0，－22，故選C.
(2)分段求分段函數(shù)的函數(shù)值，注意分類討論思想的應用．
若a＞0，則f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝ .
若a≤0，則f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，
f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解．
【答案】 (1)C (2)
【規(guī)律感悟】 1.求函數(shù)定義域的類型和相應方法：
(1)若已知函數(shù)的解析式，則這時函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，只需構(gòu)建并解不等式(組)即可；
(2)對于復合函數(shù)求定義域問題，若已知f(x)的定義域[a，b]，其復合函數(shù)f(g(x))的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出；
(3)實際問題或幾何問題除要考慮解析式有意義外，還應使實際問題有意義．
2．求函數(shù)值的三個關(guān)注點：
(1)形如f(g(x))的函數(shù)求值，要遵循先內(nèi)后外的原則．
(2)對于分段函數(shù)求值，應注意依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解．
(3)對于周期函數(shù)要充分利用好周期性．
[創(chuàng)新預測]
1．(1)(xx洛陽統(tǒng)考)函數(shù)f(x)＝的定義域是( )
A．(－3,0) B．(－3,0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0)
【解析】 要使函數(shù)f(x)有意義，需使即－30，排除C.
當x＝－時，y＝－1，排除B；或利用y＝xcos x＋sin x為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B.
當x＝π時，y＝－π<0，排除A.故選D.
【答案】 D
(2)(預測題)記實數(shù)x1，x2…，xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，…，xn}，最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}，則max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}＝( )
A. B．1 C．3 D.
【解析】
在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y＝x＋1，y＝x2－x＋1，y＝－x＋6的圖象
如圖所示：min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的圖象，即為取在下方的圖象部分，則max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}為圖象中的最高點的縱坐標，因為函數(shù)y＝x＋1與y＝－x＋6圖象的交點的縱坐標為，所以max{min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}}＝.
【答案】 D
【例3】 (1)(xx全國新課標Ⅱ高考)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________.
(2)(xx湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________.
【解析】 (1)因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，則f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
(2)由題意知，f(x)的定義域為R，
∴f(－1)＝f(1)，
∴l(xiāng)n(e3＋1)＋a＝ln(e－3＋1)－a，
解得a＝－.
【答案】 (1)3?。?
【規(guī)律感悟】 1.判斷函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律：
(1)對于選擇、填空題若能畫出圖象一般用數(shù)形結(jié)合法或利用已知函數(shù)的單調(diào)性判斷．
(2)對于由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復合而成的函數(shù)常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性來判斷．
(3)對于解析式為分式、指數(shù)函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式等較復雜的函數(shù)用導數(shù)法．
(4)對于抽象函數(shù)一般用定義法．
2．函數(shù)奇偶性的一些結(jié)論：
(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．
(2)確定函數(shù)的奇偶性，務必先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱．
(3)對于偶函數(shù)而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
[創(chuàng)新預測]
3．(1)(xx湖南高考)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】 將x＝－1代入f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
得到f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，
∵f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
∴f(1)＋g(1)＝1.
【答案】 C
(2)(xx天津高考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，則a的取值范圍是( )
A．[1,2] B．(0，] C．[，2] D．(0,2]
【解析】 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得出關(guān)于a的不等式求解．
∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化為f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函數(shù)，
∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.綜上可知≤a≤2.故選C.
【答案】 C
[總結(jié)提升] 通過本節(jié)課的學習，需掌握如下三點：
失分盲點
(1)圖象的變換規(guī)律掌握不準確出錯，尤其是左右對稱時平移距離的確定易出錯．
(2)忽視函數(shù)具有奇偶性時，定義域必須關(guān)于原點對稱．
答題指導
(1)看到函數(shù)圖象，想到從基本初等函數(shù)的圖象入手，通過圖象變換完成．
(2)看到研究函數(shù)性質(zhì)，想到函數(shù)性質(zhì)的含義．
(3)看到討論函數(shù)性質(zhì)，想到數(shù)形結(jié)合思想的應用．
方法規(guī)律
(1)排除法確定函數(shù)圖象：
由解析式確定函數(shù)圖象時，主要是利用函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、與坐標軸的交點、特殊值等進行排除，最后確定圖象．
(2)圖象的變換規(guī)律：
(3)函數(shù)滿足下列條件時，揭示了周期性：
①f(x)＝f(xa)．
②f(x)＝－f(x＋a)．
③f(x)＝(t≠0).
函數(shù)基本性質(zhì)的抽象概括與應用
抽象概括能力是從具體的實例中發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)，從給定的大量信息材料中概括出結(jié)論，并能將其用來解決問題或作出新的判斷的能力．函數(shù)的基本性質(zhì)的抽象概括是概括能力的有力體現(xiàn)，反映在基本性質(zhì)的形成過程、基本性質(zhì)的使用和抽象函數(shù)問題的解決上．
【典例】 以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ(x)組成的集合：對于函數(shù)φ(x)，存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ(x)的值域包含于區(qū)間[－M，M]．例如，當φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x時，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.現(xiàn)有如下命題：
①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，則“f(x)∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f(a)＝b”；
②函數(shù)f(x)∈B的充要條件是f(x)有最大值和最小值；
③若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，則f(x)＋g(x)?B；
④若函數(shù)f(x)＝aln (x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，則f(x)∈B.
其中的真命題有________．(寫出所有真命題的序號)
【解析】 對于①若b∈R，?a∈D，使f(a)＝b，由題意知f(x)的值域為R，反之若f(x)的值域為R，則必有任意b∈R，?a∈D，使f(a)＝b成立，對于②當f(x)＝x(－10，得x<－2或x>2，函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－2)∪(2，＋∞)，
又y＝x2－4的減區(qū)間為(－∞，0)，∴函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的增區(qū)間為(－∞，－2)，故選D.
【答案】 D
3．(xx福建高考)已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是( )
A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù)
C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域為[－1，＋∞)
【解析】 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，故選D.
【答案】 D
4．(xx山東高考)函數(shù)f(x)＝＋的定義域為( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
【解析】 由題意，自變量x應滿足解得∴－3x1f(x2)＋x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①y＝x2；②y＝ex＋1；③y＝2x－sin x；④f(x)＝.以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號為________．
【解析】 ∵x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴[x1f(x1)－x1f(x2)]＋[x2f(x2)－x2f(x1)]>0，
∴x1(f(x1)－f(x2))＋x2(f(x2)－f(x1))>0，
∴(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，∴f(x)在R上是增函數(shù)．
①y＝x2在(－∞，0]上是減函數(shù)，在[0，＋∞)上是增函數(shù)，不合題意；
②y＝ex＋1在R上是增函數(shù)，合題意；
③g′＝2－cos x>0，
∴y＝2x－sin x在R上是增函數(shù)，合題意；
④由f(x)＝ln|x|的圖象知，f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)，不合題意，故選②③.
【答案】?、冖?
三、解答題
9．(xx江蘇高考改)已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)；
(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【解】 (1)因為對任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函數(shù)．
(2)由條件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．
令t＝ex(x>0)，則t>1，所以m≤－
＝－對任意t>1成立．
因為t－1＋＋1≥2＋1＝3，
所以－≥－，當且僅當t＝2，
即x＝ln 2時等號成立．
因此實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－]．
10．(xx銀川模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)＝x＋＋2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝x2[f(x)－a]，且g(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù)．求實數(shù)a的取值范圍．
【解】 (1)設(shè)f(x)在圖象上任一點的坐標為P(x，y)，點P關(guān)于點A(0,1)的對稱點P′(－x,2－y)在h(x)的圖象上，
∴2－y＝－x＋＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.
(2)g(x)＝x2[f(x)－a]＝x3－ax2＋x，又g(x)在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù)，
∴g′(x)＝3x2－2ax＋1≥0在[1,2]上恒成立，
即2a≤3x＋對x∈[1,2]恒成立，
注意到函數(shù)r(x)＝3x＋在[1,2]上單調(diào)遞增，
故r(x)min＝r(1)＝4.于是2a≤4，a≤2.
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