2019年高考數學二輪復習 坐標系與參數方程.doc

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2019年高考數學二輪復習 坐標系與參數方程 1．(xx北京高考)曲線(θ為參數)的對稱中心(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．在直線y＝2x上 B．在直線y＝－2x上 C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上 【解析】　因為(1，－2)為圓的對稱中點，所以在直線y＝－2x上，故選B. 【答案】　B 2．(xx廣東高考)在極坐標系中，曲線C1與C2的方程分別為2ρcos2θ＝sin θ與ρcos θ＝1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線C1與C2交點的直角坐標為________． 【解析】　∵2ρcos2θ＝sin θ， ∴2ρ2cos2 θ＝ρsin θ即2x2＝y(tǒng)， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， ?x＝1，y＝2，∴交點坐標為(1,2)． 【答案】　(1,2) 3．(xx陜西高考)在極坐標系中，點(2，)到直線ρsin＝1的距離等于________． 【解析】　將點的極坐標、直線的極坐標方程化為直角坐標、普通方程，利用點到直線的距離公式求解． 點化為直角坐標為(，1)，直線ρsin＝1化為ρ＝1，y－x＝1，x－y＋1＝0，點(，1)到直線x－y＋1＝0的距離為＝1. 【答案】　1 4．(xx江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為(t為參數)，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，求線段AB的長． 【解】　將直線l的參數方程代入拋物線方程y2＝4x， 得2＝4，解得t1＝0，t2＝－8. 所以|AB|＝|t1－t2|＝8. 從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點考向為： 1．極坐標方程 ①該考向主要考查極坐標方程與直角坐標方程的相互轉化，以及會寫出簡單圖形的極坐標方程． ②根據新課標省份的出題特點，既可以命制選擇、填空題，難度為容易題；又可以命制解答題，難度中等． 一般地，不作特殊說明時，我們認為ρ≥0，θ可取任意實數． 2．參數方程及應用 ①此考向主要考查參數方程與普通方程之間的互化能力，考查學生對基礎公式及方法的理解和應用． ②各地都有自己的命題特點，總的趨勢為以填空題形式出現(xiàn)時，綜合力度較小；以解答題形式出現(xiàn)時，常常把極坐標方程與參數方程融合在一起考查，難度一般不大，填空題5分左右，解答題10分左右． 3．極坐標方程與參數方程的綜合應用 ①此考向主要考查極坐標與參數方程的綜合應用(互化、位置關系、最值等)，突出考查轉化和化歸的思想及能力． ②主要以解答題的形式體現(xiàn)，難度中等. 【例1】　(1)(xx安徽江南十校眹考)在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為ρsin＝＋1，圓C的圓心為，半徑為，則直線l被圓C所截得的弦長是________． (2)(xx安徽高考)在極坐標系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 【解析】　(1)直線l的極坐標方程為ρsin＝＋1，可化為直角坐標方程x＋y＝2＋，由圓C的圓心為，得圓C的圓心的直角坐標系(1,1)，所以圓心C(1，1)到直線l的距離d＝＝1，又因為圓C的半徑r＝，所以直線l被圓C截得的弦長為2＝2. (2)在直角坐標系中，圓的方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.從而垂直于x軸的兩條切線方程分別為x＝0，x＝2，即θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 【答案】　(1)2　(2)B 【規(guī)律方法】　1.研究極坐標方程往往要與直角坐標方程進行相互轉化．當條件涉及角度和到定點距離時，引入極坐標系會對問題的解決帶來很大的方便． 2．在極坐標方程化為直角坐標方程時，只要整體上用x代換其中的ρcos θ、y代替其中的ρsin θ即可，其中所含的ρ2也可以寫成ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝x2＋y2. [創(chuàng)新預測] 1．(1)曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________． (2)(xx北京高考)在極坐標系中，點(2，)到直線ρsin θ＝2的距離等于________． 【解析】　(1)利用公式法轉化求解． 直角坐標方程x2＋y2－2x＝0可化為x2＋y2＝2x，將ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ. (2)將極坐標轉化為直角坐標求解． 極坐標系中點(2，)對應的直角坐標為(，1)．極坐標系中直線ρsin θ＝2對應直角坐標系中直線y＝2.故所求距離為1. 【答案】　(1)ρ＝2cos θ　(2)1 【例2】　(xx全國新課標Ⅰ高考)已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數)． (1)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． 【解】　(1)曲線C的參數方程為(θ為參數)． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|. 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 【規(guī)律方法】　將曲線的參數方程化為普通方程時，要把其中的參數消去，還要注意其中的x、y的取值范圍，也即在消去參數的過程中一定要注意普通方程與參數方程的等價性．參數方程化普通方程常用的消參技巧：代入消元、加減消元、平方后加減消元等，經常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝. [創(chuàng)新預測] 2．(1)(xx陜西高考)如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數，則圓x2＋y2－x＝0的參數方程為________． (2)(xx湖南高考)在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數)過橢圓C：(φ為參數)的右頂點，則常數a的值為________． 【解析】　(1)利用直角坐標方程和參數方程的轉化關系求解參數方程． 將x2＋y2－x＝0配方，得(x－)2＋y2＝，∴圓的直徑為1.設P(x，y)，則x＝|OP|cos θ＝1cos θcos θ＝cos2θ，y＝|OP|sin θ＝1cos θsin θ＝sin θcos θ， ∴圓x2＋y2－x＝0的參數方程為(θ為參數)． (2)將參數方程化為普通方程后求解． 直線l：消去參數t后得y＝x－a. 橢圓C：消去參數φ后得＋＝1. 又橢圓C的右頂點為(3,0)，代入y＝x－a得a＝3. 【答案】　(1)(θ為參數)　(2)3 【例3】　(xx全國新課標Ⅱ高考)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，θ∈[0，]． (1)求C的參數方程； (2)設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(1)中你得到的參數方程，確定D的坐標． 【解】　(1)∵ρ＝2cos θ， ∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x2＋y2＝2y，(0≤y≤1)． C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的參數方程為 (t為參數，0≤t≤π)． (2)設D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓．因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t＝，t＝.故D的直角坐標為(1＋cos ，sin )，即(，)． 【規(guī)律方法】　1.要判斷參數方程或極坐標方程所描述的方程類型，常常是將其轉化為直角坐標系下的普遍方程．但是，對于一些常見的參數方程或極坐標方程，如果能夠快速識別方程的形式，理解對應參數的幾何意義，則可使問題得到快速的突破． 2．在坐標系與參數方程的考查中，最能夠體現(xiàn)坐標方法的解題優(yōu)勢，靈活地利用坐標方法可以使問題得到簡捷的解答． [創(chuàng)新預測] 3．(xx福建廈門質檢)在平面直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知圓C的極坐標方程為ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直線l的參數方程為，(t為參數)． (1)寫出圓C的直角坐標方程； (2)若點P為圓C上的動點，求點P到直線l距離的最大值． 【解】　(1)由得，x2＋y2－8x＋12＝0， 所以圓C的直角坐標方程為(x－4)2＋y2＝4. (2)直線l的普通方程為x－y－2＝0. 設與直線l平行的直線l′的方程為x－y＋m＝0，則當直線l′與圓C相切時：＝2， 解得m＝－2－4或m＝2－4(舍去)， 所以直線l與直線l′的距離d＝＝2＋，即點P到直線l距離的最大值2＋.