九年級數(shù)學(xué)下冊 第二十八章 銳角三角函數(shù) 28.1 銳角三角函數(shù) 第1課時 正弦課時訓(xùn)練 （新版）新人教版.doc

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28．1　銳角三角函數(shù) 第1課時　正弦 關(guān)鍵問答 ①在直角三角形中，一個銳角的正弦是哪兩條邊的比？若三角形的三邊都擴大為原來的k倍(或縮小為原來的)，則這個比值會發(fā)生變化嗎？ ②求銳角正弦值的方法是什么？ 1．①在Rt△ABC中，∠C＝90，如果各邊的長度都擴大為原來的2倍，那么銳角A的正弦值(　　) A．?dāng)U大為原來的2倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．?dāng)U大為原來的4倍 2．在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝5，AC＝4，則sinA的值為(　　) A. B. C. D. 3．②如圖28－1－1所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinB的值為(　　) 　圖28－1－1 A. B. C. D．1 命題點 1　利用正弦函數(shù)的定義求值　[熱度：97%] 4.③如圖28－1－2，已知∠α的一邊在x軸上，另一邊經(jīng)過點A(2，4)，頂點為B(－1，0)，則sinα的值是(　　) 圖28－1－2 A. B. C. D. 解題突破 ③點到x軸的距離等于該點縱坐標(biāo)的絕對值. 5.④對于銳角α，sinα的值不可能為(　　) A. B. C. D．2 易錯警示 ④銳角α的正弦值的范圍可以通過定義，由直角三角形三邊的大小關(guān)系來確定. 6.⑤如圖28－1－3，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45，則下列比值中不等于sinA的是(　　) 圖28－1－3 A. B. C. D. 方法點撥 ⑤求銳角的正弦值還可以用等角代換的方法 7.⑥如圖28－1－4，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為(　　) 圖28－1－4 A．2 B. C. D. 方法點撥 ⑥在網(wǎng)格圖中求銳角的正弦值時，先看所求角所在的格點三角形是不是直角三角形，若不是，則需要作出包含所求角的直角三角形． 8．⑦如圖28－1－5，△ABC的各個頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則sinA的值為(　　) 圖28－1－5 A. B. C. D. 方法點撥 ⑦求格點三角形某條邊上的高常用的方法是等積法. 9.⑧如圖28－1－6，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，那么sinα的值為(　　) 圖28－1－6 A. B. C. D. 解題突破 ⑧過點D作這一組平行線的垂線，利用全等的知識把已知條件集中到同一個直角三角形中，進而利用正弦的定義求值. 10．已知AE，CF是銳角三角形ABC的兩條高，若AE∶CF＝3∶2，則sin∠BAC∶sin∠ACB的結(jié)果是(　　) A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．4∶9 11.⑨在Rt△ABC中，∠C＝90，BD是△ABC的角平分線，將△BCD沿著直線BD折疊，點C落在點C1處，如果AB＝5，AC＝4，那么sin∠ADC1的值是________． 方法點撥 ⑨求銳角的正弦值，需要構(gòu)造這個角所在的直角三角形，或者將其轉(zhuǎn)移到某個直角三角形中. 12．如圖28－1－7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(3，3)和點B(7，0)，則sin∠ABO的值為________． 圖28－1－7 13.⑩如圖28－1－8，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，E為AB上一點，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于點F，連接FB，則sin∠BFC的值為________． 圖28－1－8 方法點撥 ⑩利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理求邊長是幾何問題中常用的方法. 14．如圖28－1－9，在△ABC中，AD⊥BC于點D，如果AD＝10，DC＝5，E為AC的中點，求sin∠EDC的值． 圖28－1－9 命題點 2　正弦函數(shù)的簡單應(yīng)用　[熱度：95%] 15．在Rt△ABC中，∠C＝90，那么sinA的值(　　) A．與AB的大小有關(guān) B．與BC的大小有關(guān) C．與AC的大小有關(guān) D．與∠A的大小有關(guān) 16．在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝，BC＝6，則AB的長為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 17.?在△ABC中，AB＝5，BC＝6，∠B為銳角，且sinB＝，則∠C的正弦值為(　　) A. B. C. D. 方法點撥 ?在直角三角形中，若已知一個銳角的正弦值、這個角的對邊、這個三角形的斜邊這三個量中的兩個量，就可以求得第三個量. 18．如圖28－1－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB的中點，過點D作AB的垂線交AC于點E，BC＝6，sinA＝，則DE＝________． 圖28－1－10 19.?如圖28－1－11，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AB于點E，若BC＝4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為________． 　　　　 圖28－1－11 解題突破 ?因為所求角所在的三角形不是直角三角形，所以需要添加輔助線，想辦法將角進行轉(zhuǎn)化. 20．已知：如圖28－1－12，在△ABC中，AC＝10，sinC＝，sinB＝，求AB的長． 圖28－1－12 21.?我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)．如圖28－1－13，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝＝.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的． 根據(jù)上述對角的正對的定義，解答下列問題： (1)sad60的值為________； (2)當(dāng)0＜∠A＜180時，∠A的正對sadA的取值范圍是________； (3)已知sinα＝，其中α為銳角，試求sadα的值． 圖28－1－13 解題突破 ?利用“規(guī)定”把新情境下的問題轉(zhuǎn)化成我們所學(xué)過的知識，再運用已有的經(jīng)驗和方法進行求解.  詳解詳析 1．C　2.B　3.B 4．D　[解析] 過點A作AC⊥x軸于點C，則AC＝4，OC＝2.又因為OB＝1，所以BC＝3，所以AB＝5，所以sinα＝＝. 5．D　[解析] sinα＝，由于斜邊的長大于任何一條直角邊的長，所以0＜sinα＜1. 6．D　[解析] 在Rt△ABC中，sinA＝； 在Rt△ACD中，sinA＝； ∵∠A＋∠B＝90，∠B＋∠BCD＝90， ∴∠A＝∠BCD. 在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝. 7．D　[解析] 如圖，連接CD，根據(jù)網(wǎng)格圖的特點，可知∠ADC＝90，設(shè)每個小正方形的邊長均為1，則CD＝，AC＝，所以sinA＝＝. 8．A　[解析] 設(shè)每個小正方形的邊長均為1，過點C作CD⊥AB于點D，△ABC的面積為43－11－31－21－43＝. 因為AB＝5，所以5CD＝，所以CD＝1. 又因為AC＝，所以sinA的值為. 9．B　[解析] 如圖，過點D作EF⊥l1，交l1于點E，交l4于點F， ∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4， ∴EF和l2，l3，l4的夾角都是90， 即EF與l2，l3，l4都垂直， ∴DE＝1，DF＝2. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90，AD＝CD， ∴∠ADE＋∠CDF＝90. 又∵∠α＋∠ADE＝90，∴∠α＝∠CDF. 又∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90， ∴△ADE≌△DCF，∴CF＝DE＝1， ∴在Rt△CDF中，CD＝＝， ∴sinα＝sin∠CDF＝＝. 10．B　[解析] 由題意可得sin∠BAC＝，sin∠ACB＝， 所以sin∠BAC∶sin∠ACB＝CF∶AE＝2∶3. 11.　[解析] ∵∠C＝90，BD是△ABC的角平分線，將△BCD沿著直線BD折疊， 則點C1恰好落在斜邊AB上， ∴∠DC1A＝90，∴∠ADC1＝∠ABC. ∵AB＝5，AC＝4， ∴sin∠ADC1＝sin∠ABC＝. 12.　[解析] 過點A作AC⊥x軸于點C.因為A(3，3)，所以AC＝3，OC＝3.又因為B(7，0)，所以BC＝4，所以AB＝5，所以sin∠ABO＝＝. 13. 　[解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，∴BC＝AB. 設(shè)AB＝5x，∵AE∶EB＝4∶1， ∴AE＝4x，EB＝x，BC＝x. ∵△ABC是直角三角形，∴AC＝ x. ∵EF⊥AC，∠C＝90，∴EF∥BC， ∴AF∶FC＝AE∶EB＝4∶1， 即FC＝AC＝x， ∴BF＝x，∴sin∠BFC＝＝ . 14．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90. ∵AD＝10，DC＝5，∴AC＝5 . ∵E為AC的中點，∴DE＝AE＝EC＝AC， ∴∠EDC＝∠C， ∴sin∠EDC＝sinC＝＝＝ . 15．D 16．D　[解析] ∵在Rt△ABC中， ∠C＝90，sinA＝＝，BC＝6， ∴AB＝＝＝10.故選D. 17．C　[解析] 如圖，過點A作AD⊥BC于點D. ∵sinB＝，∴＝. ∵AB＝5，∴AD＝3， ∴BD＝4. ∵BC＝6，∴CD＝2， ∴AC＝，∴sinC＝＝. 18.　[解析] ∵BC＝6，sinA＝， ∴AB＝6＝10，∴AC＝8. ∵D是AB的中點，∴AD＝5. 由△ABC∽△AED， 可得DE＝＝＝. 19.　[解析] 取AB的中點F，連接OF，EC，過點B作BG⊥AC于點G.由矩形的性質(zhì)可得AO＝BO＝CO＝DO， ∴OF⊥AB，OF＝BC＝2. 又∵△AOE的面積為5， ∴AE＝5. 由線段垂直平分線的性質(zhì)可得EC＝AE＝5. 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE＝3. ∵BG⊥AC，OE⊥AC，∴BG∥OE， ∴＝＝. ∵BG∥OE，∴∠BOE＝∠OBG， ∴sin∠BOE＝sin∠OBG＝＝＝. 20．解：過點A作AE⊥BC，垂足為E. 在Rt△ACE中，∠AEC＝90， ∴sinC＝，∴＝，∴AE＝8. 在Rt△ABE中，∠AEB＝90， ∴sinB＝，∴＝，∴AB＝24. 21．解：(1)根據(jù)正對的定義，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0時，其底角為60，則三角形為等邊三角形，則sad60＝1. (2)當(dāng)∠A接近0時，sadA接近0，當(dāng)∠A接近180時，等腰三角形的底邊長接近于腰長的2倍，故sadA接近2.所以當(dāng)0＜∠A＜180時，sadA的取值范圍是0＜sadA＜2. (3)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，sinA＝. 在AB上取一點D，使AD＝AC，過點D作DH⊥AC，H為垂足， 令BC＝3k，AB＝5k， 則AD＝AC＝4k. 在△ADH中，∠AHD＝90，sinA＝， 所以DH＝ADsinA＝k，由勾股定理可得AH＝＝ k， 則在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝k，CD＝ k. 在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝ k， 由正對的定義可得sadA＝＝， 即sadα＝. 【關(guān)鍵問答】 ①在直角三角形中，一個銳角的正弦是這個銳角的對邊與斜邊的比；這個比值不會發(fā)生變化． ②使銳角成為某個直角三角形的內(nèi)角，利用這個銳角的對比與斜邊的比來求得正弦值．