2018-2019學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二十四章 圓 小專題11 與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算習(xí)題 （新版）新人教版.doc

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小專題11　與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算 類型1　求角度 1．(哈爾濱中考)如圖，⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠A＝42，∠APD＝77，則∠B的大小是(B) A．43 B．35 C．34 D．44 2．(興安盟中考)如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝48，D為⊙O上一點(diǎn)，則∠ADC的度數(shù)是(A) A．24 B．42 C．48 D．12 3．(廣東中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50，則∠DAC的大小為(C) A．130 B．100 C．65 D．50 4．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，∠ACD＝60，∠ADC＝50，則∠CEB的度數(shù)為100． 5．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，BA，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AB＝2CE，∠E＝25，則∠BOD＝75． 6．(山西中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)．若∠A＝40，則∠B＝70__． 　　 7．(南京中考)如圖，四邊形ABCD是菱形，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，D，與BC相交于點(diǎn)E，連接AC，AE.若∠D＝78，則∠EAC＝27． 類型2　求長(zhǎng)度 8．如圖，⊙O的半徑是3，點(diǎn)P是弦AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接OP.若OP＝4，∠APO＝30，則弦AB的長(zhǎng)是2． 9．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接EC.若AB＝8，CD＝2，則EC的長(zhǎng)為2__． 　　　　 10．如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為2 cm. 11．(十堰中考)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D.若AC＝6，BD＝5，則BC的長(zhǎng)為8． 小專題12　教材P90習(xí)題T14的變式與應(yīng)用 【例】　(人教版九年級(jí)上冊(cè)教材第90頁(yè)第14題)如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60.判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論． 解：△ABC為等邊三角形． 證明：∵∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60， ∴∠ABC＝∠BAC＝60. ∴∠ACB＝60. ∴△ABC為等邊三角形． 【問(wèn)題延伸1】　求證：PA＋PB＝PC. 證明：在PC上截取PD＝AP，連接AD，如圖所示． ∵∠APC＝60， ∴△APD是等邊三角形． ∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60，∠ADC＝120. ∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120， ∴∠ADC＝∠APB. 在△APB和△ADC中， ∴△APB≌△ADC(AAS)． ∴BP＝CD. 又∵PD＝AP，∴PA＋PB＝PC. 　 證明線段的和、差、倍、分問(wèn)題的常見做法是“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法，具體做法是：在某一條線段上截取一條線段與特定線段相等，或?qū)⒛硹l線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明． 【問(wèn)題延伸2】　若BC＝2，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A，B)，求PA＋PB的最大值． 解：由上題知PA＋PB＝PC，要使PA＋PB最大，則PC為直徑，作直徑BG，連接CG.∴∠G＝∠BAC＝60，∠BCG＝90.∵BC＝2，∴BG＝4.即PA＋PB的最大值為4. 　 直徑是圓中最長(zhǎng)的一條弦，在求最值的問(wèn)題中經(jīng)常用到這一結(jié)論． 1．如圖，四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論． 解：△ABC是等腰三角形，理由： ∵四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠EPA＝∠ACB. ∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠ABC. ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． 2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是的中點(diǎn)，DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AE＝10，∠ACB＝60，求BC的長(zhǎng)． 解：∵D是的中點(diǎn)，∴＝. ∴DA＝DB. ∵∠ACB＝60，∠ACB與∠ADB是同弧所對(duì)的圓周角， ∴∠ADB＝60. ∴△ADB是等邊三角形． ∴∠DAB＝∠DBA＝60. ∴∠DCB＝∠DAB＝60. ∵DE∥BC， ∴∠E＝∠ACB＝60. ∴∠DCB＝∠E. ∵∠ECD＝∠DBA＝60， ∴△ECD是等邊三角形． ∴ED＝CD. ∵＝， ∴∠EAD＝∠DBC. 在△EAD和△CBD中， ∴△EAD≌△CBD(AAS)． ∴BC＝EA＝10. 3．如圖，A，P，B，C是圓上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60，連接AB，BC，AC. (1)求證：△ABC是等邊三角形； (2)若∠PAC＝90，AB＝2，求PB的長(zhǎng)． 解：(1)證明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60， ∴∠ABC＝∠BAC＝60， ∴△ABC是等邊三角形． (2)∵∠PAC＝90， ∴PC是⊙O的直徑， ∴∠PBC＝90.∵∠CPB＝60，∴∠BCP＝30. 在Rt△PBC中，設(shè)PB＝x，則PC＝2x. ∵BC＝AB＝2. 由勾股定理，得PB2＋BC2＝PC2， 即x2＋(2)2＝(2x)2， 解得x＝2， ∴PB＝2. 4．(廣州中考改編)如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上，且C點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不在上，且不與點(diǎn)B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45. (1)求證：BD是該圓的直徑； (2)連接CD，求證：AC＝BC＋CD. 證明：(1)∵＝， ∴∠ACB＝∠ADB＝45. ∵∠ABD＝45， ∴∠BAD＝90. ∴BD是該圓的直徑． (2)在CD的延長(zhǎng)線上截取DE＝BC，連接EA， ∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD. ∵∠ADE＋∠ADC＝180，∠ABC＋∠ADC＝180，∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)． ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD. ∴∠BAD＝∠CAE＝90. ∵＝，∴∠ACD＝∠ABD＝45. ∴△CAE是等腰直角三角形． ∴AC＝CE. ∴AC＝DE＋CD＝BC＋CD. 5．(山西中考)請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)： 阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希臘)是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子． 阿拉伯AlBiruni(973～1050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)AlBiruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB＋BD. 圖1 圖2 下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝AB＋BD的部分證明過(guò)程． 證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG. ∵M(jìn)是的中點(diǎn)． ∴MA＝MC. …… 任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分； (2)填空：如圖3，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝2，D為⊙O上一點(diǎn)，∠ABD＝45，AE⊥BD與點(diǎn)E，則△BDC的長(zhǎng)是2＋2． 圖3 解：證明：在△MBA和△MGC中， ∴△MBA≌△MGC(SAS)． ∴MB＝MG. 又∵M(jìn)D⊥BC， ∴BD＝GD. ∴CD＝GC＋GD＝AB＋BD.