2018-2019學年高中數學 考點14 空間幾何體的內切球、外接球庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點14 空間幾何體的內切球、外接球 近年來在高考中經常有多面體與球的切與接的問題，充分體現(xiàn)了對學生空間想象能力，運算求解能力和轉化思想的考查，題目難度為中等或偏難．為了便于學習和掌握此類問題的求解方法,下面結合高考題進行了以下歸納： 類型一 求多面體與內切球或外接球的表面積和體積 類型二 多面體的內切球或外接球的最值問題 【例】一個正方體內接于球，過球心作一截面，如圖所示，則截面可能的圖形是( ) A．（1） （3） B．(2）(4） C．（1） （2） （3） D．（2） （3） （4） 【答案】C 【思路歸納】解決此類問題，必須多觀察幾何體，提高空間想象力． 1．一個正方體的體積是8，則這個正方體的內切球的表面積是( ) A．8π B．6π C．4π D．π 【答案】C 【解析】設正方體的棱長為a，則a3＝8，即a＝2．故該正方體的內切球的半徑r＝1，所以該正方體的內切球的表面積S＝4πr2＝4π． 【解題技巧】與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，可作出合適的截面圖． 2．設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為 a． 【規(guī)律方法】已知幾何體的結構特征求其內切球或外接球的表面積與體積，關鍵是正確分析已知幾何體的各項數據，從中推導出其內切球或外接球的半徑再代入公式即可． 3．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為2，這個球的表面積為6π，則這個正四棱柱的體積為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】S表＝4πR2＝6π，所以R＝．設正四棱柱底面邊長為x，則2＋1＝R2，所以x＝1．所以V正四棱柱＝2．故選B． 4．已知一個表面積為24的正方體，設有一個與每條棱都相切的球，則此球的體積為( ) A． B．4π C． D． 【答案】D 5．已知三棱錐S—ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=，則球的體積與三棱錐體積之比是( ) A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】D 【解析】由題意得SO=r為三棱錐的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面積是2rr=r2,所以三棱錐體積是，又球的體積為，則球的體積與三棱錐體積之比是4π． 6．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為( ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】A 【解析】設球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，∴球的體積為=，故選A． 【解題技巧】分清球被正方體上面所截得的圓的半徑為R，然后再求出這個圓的圓心到球的對應頂點的距離，最后在球心、圓心、球的頂點所構成的直角三角形中運用勾股定理求球體的半徑． 7．已知正方體的棱長為a，分別求出它的內切球、外接球及與各棱都相切的球半徑． (2R)2＝(a)2＋a2?R＝a． （3）與正方體的各棱均相切的球與正方體相連結的點是正方體各棱的中點，應作出經過正方體一組平行棱中點的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖（3）所示，易求得球的半徑為a． 1．表面積為16π的球的內接正方體的體積為( ) A．8 B．24 C． D．16 【答案】C 【解析】設表面積為16π的球的半徑為r,則4πr2=16π,解得r=2．設內接正方體的棱長為a，則a=2r，所以a=．所以內接正方體的體積V=a3=． 2．在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是( ) A．4π B． C．6π D． 【答案】B 【解析】由題意知，底面三角形的內切圓直徑為4．三棱柱的高為3，所以球的最大直徑為3，V的最大值為． 3．面積為的正六邊形的六個頂點都在球的球面上，球心到正六邊形所在平面的距離為 ，記球的體積為，球的表面積為，則的值是（ ） A． B． C． D． 4．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的表面積為( ) A． B． C． D． 【答案】A 黃海明珠 煙臺黃海游樂城中的海水中一個巨大的球形建筑，高30米，直徑21．8米，由不銹鋼網架結構筑成，叫做“黃海明珠”，球內共分六層，主要以游客餐飲娛樂為主 ．