如何建立一個數(shù)學模型.ppt

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一個完整的數(shù)學建模過程主要由三部分組成：1、用適當?shù)臄?shù)學方法對實際問題進行描述2、采取各種數(shù)學和計算機手段求解模型3、從實際的角度分析模型的結果，考察其是否合理、是否具有實際意義？,如何建立一個完整的數(shù)學模型仇秋生數(shù)理信息工程學院,一、模型準備,了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征,,,形成一個比較清晰的“問題”,拿到需要解決的問題之后，首先應該做的事情是:了解有關背景知識，查閱前人在這方面的工作，并在此基礎上探討解決問題的方法。,例1.1CMCM-96B題：節(jié)水洗衣機,由于淡水資源的短缺以及洗衣機的廣為普及，節(jié)約洗衣機用水十分重要。假設放入衣物和洗滌后洗衣機的運行程序為：加水一漂洗一脫水一加水一漂洗一脫水一，(稱“加水一漂水一脫水”為一輪。)現(xiàn)為洗衣機設計一種程序(包括運行多少輪、每輪加水量等)，使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少，選用合理數(shù)據(jù)計算。,洗衣的基本原理,洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶走污物。無論是如何精心設計的洗衣方式和程序都是以此為基礎的。洗衣的過程就是通過加水來實現(xiàn)上述“溶污物一脫污水”動作的反復執(zhí)行，使得殘留在衣物上的污物越來越少，直到滿意的程度.通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助衣物上原有的污物溶解.洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西.因此“污物”應是衣物上原有污物與洗滌劑的總和.,例1.2：CMCM-92B題。,組成生命蛋白質的若干種氨基酸可以形成不同的組合。通過質譜實驗測定分子量來分析蛋白質分子的組成時，遇到的首要問題是如何將它的分子量X分解為幾個氨基酸的已知分子量之和。,,,分析：題目要求根據(jù)蛋白質的分子量給出所有的氨基酸組合方式。,令M為蛋白質的分子量，表示第i種氨基酸的分子量，ai表示第i種氨基酸的數(shù)目，問題歸結為求解下列不定方程,計算結果表明，當?shù)鞍踪|的分子量為1000時，解的個數(shù)已達到28268個，這樣的模型對于實際的工作而言并無多大的意義。,要想建立一個合理的有用的模型，首先應該了解生物學中關于蛋白質組成以及化學中關于分子結構測試方面的知識，例如原題中提到了質譜儀的使用，質譜儀可以精確測定分子量和分子式，即可以知道蛋白質分子中包含的C、N、O、H、S每一種原子的數(shù)目，利用這些信息，不僅可以大減少解的數(shù)目和計算機運行時間，而且便模型更具有實用性。,有些問題可能是某一領域中早已存在的問題，專家們已經(jīng)有過許多研究，充分利用他們的研究結果，對于建模有很大的幫助.例如:,CMCM-91B題（施肥效果分析）,農(nóng)學家已經(jīng)總結出肥料對作物生長作用的一些規(guī)律，如米采利希學說：只增加某種養(yǎng)分x時，引起產(chǎn)量的增加與該種養(yǎng)分供應充足時達到的最高產(chǎn)量A與現(xiàn)有產(chǎn)量W的差成正比：,其中C為常數(shù)，綜合運用這些農(nóng)學家的經(jīng)驗規(guī)律，結合所給實驗數(shù)據(jù)，就容易建立施肥量與產(chǎn)量關系的模型。,例1.3CMCM-92A題（施肥效果分析）,總之，抓住了本質的東西，建立的模型才是有合理性，一個模型的優(yōu)與劣，最根本的是在于是否采用恰當?shù)姆椒ǎ侠淼孛枋隽藢嶋H問題，而不是取決于是否用到了高深的數(shù)學知識。,二、模型假設,,1、假設的依據(jù):（1）、對問題內在規(guī)律的認識。（2）、對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析。,針對問題特點和建模目的，作出合理的、簡化的假設設，在合理與簡化之間作出折中,2、基本原則：（1）多數(shù)的原則。如曲線擬合時，可根據(jù)多數(shù)點的分布趨勢來確定曲線，經(jīng)驗證后，選擇誤差少的曲線。（2）發(fā)展的原則。觀察事物的發(fā)展方向。（3）主導性的原則。分析何種因素起主導作用。如修盤山公路，主導性因素是公路坡度在一個合理范圍內。（4）相對性的原則。,,,例2.1：AMCM-92B題，在應急系統(tǒng)的研制過程中，優(yōu)秀論文作者作了如下假定：,（1）、從派遣中心到事故發(fā)生地點的距離以兩地橫坐標和縱坐標之差的絕對值之和度量（2）、修理隊總以30里/小時的平均速度行駛（3）、在緊急情況下，修理隊隨時可供派遣（4）、修理隊的車輛無損壞情況……這些假設給應急系統(tǒng)的設計帶來了方便,,,3、假設的分類：（1）簡化問題的假設。（2）對所研究對象進行近似，使之滿足建模所用數(shù)學方法必需的前提條件。,例2.2：椅子能否在不平的地面放穩(wěn)？,,第二條假設為我們利用連續(xù)函數(shù)的零點定理奠定了基礎。,模型假設,四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;,地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。,建立數(shù)學模型就是采用或建立某種數(shù)學方法來解決具體的問題，而每種理論的應用都必須滿足一定的理想化條件，因此能否應用某種數(shù)學方法的關鍵在于所研究對象是否近似滿足理想化條件。必須著重指出的是，對于一個假設，最重要的是它是否符合實際情況，而不是為了解決問題的方便，即假設必須合理。,例2.3：雙層玻璃窗的功效北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，如圖所示：兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，試建立一個模型描述熱量通過窗戶的傳導（即流失）過程。,以上假設為我們利用熱傳導定理奠定了基礎。,假設,1、熱量傳播只有傳導，沒有對流,2、T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài),3、材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù),例2.4：AMCM-89A題要求對蠓蟲加以分類。在采用概率判別方法建模之前，作了如下假設：,1、兩類蠓蟲的觸角與翅膀長度的總體均值、標準差和相關系數(shù)與學習樣本所能反映的值是相符的，2、觸角長度x和y服從二維正態(tài)分布,這兩條假設為從概率論的角度對蠓蟲進行分類提供了根據(jù)，由于統(tǒng)計方法的應用必須建立在對大量樣本進行分析的基礎上，而我們面臨的問題是，題中所給的數(shù)據(jù)（15個學習樣本）太少，因此優(yōu)秀論文作者清醒指出，這些假設未必一定可靠，這顯示了他們對實際問題及所用方法的深刻見解，,例2.5：AMCM-86A題—水道測量數(shù)據(jù)。對海底地形圖的插值擬合，其成立的條件是曲面必須光滑，因此有必要假設，海底地形無陡峭形狀，可當作光滑曲面處理，在實際中，由于海水的不斷沖蝕，這個假設是近似成立的，這樣就為模型的合理性提供了依據(jù)。,三、模型的建立,1、分析問題，闡明建模的依據(jù)。不同性質的問題需要采用不同的數(shù)學方法加以解決，建立什么樣的模型是由問題的本質決定的。,例3.1、Logistic模型。資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，即增長率是人口數(shù)的減函數(shù)。最簡單的假設是,例3.2CMCM-04B電力市場輸電阻塞模型關于有功潮流近似表達的確定，有一篇優(yōu)秀論文是怎樣分析的：根據(jù)功率疊加原理，我們認為各線路上的有功潮流應為各發(fā)電機組出力的線性組合。,隨機抽取兩組數(shù)據(jù)進行檢驗。如線路1受機組1的影響，線路3受機組4的影響，可以發(fā)現(xiàn)，有功潮流受到各機組的影響近似成線性關系。因此假設有功潮流關于各個機組出力的函數(shù)關系為,2．采用適當?shù)臄?shù)學方法建立模型主要有以下幾種類型（1）優(yōu)化模型根據(jù)已知信息，對某一目標進行優(yōu)化，如費用最小，時間最短等。如AMCM89B設計飛機排隊起飛的系統(tǒng)，CMCM-96B節(jié)水洗衣機，CMCM-010B鋼管訂購和運輸，等等。,一般分三種情況。1）給出了明確的優(yōu)化目標2）有些問題本身的性質（如圖與網(wǎng)絡中的NPC問題）決定了無法找到最優(yōu)解。應從實際出發(fā)，設計近似算法，使目標盡可能優(yōu)化。3）沒有提出明確的優(yōu)化目標，應根據(jù)實際需要，提出合理的優(yōu)化目標。,（2）微分方程模型所研究對象與已知因素之間的關系可以用微分方程的形式加以表示。如AMCM-85A動物群體的增長。CMCM-96A最優(yōu)捕魚策略等。這類模型的求解主要是利用所給數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)。,（3）統(tǒng)計分析模型如AMCM-89A可以用統(tǒng)計學中的Fisher判別法對蠓蟲加以分類。,（4）插值與擬合模型這是離散數(shù)據(jù)連續(xù)化處理時常用的方法。如AMCM-86A題海底地形的描繪，AMCM-91A水塔水流量的估計等。,（5）其它。如計算機模擬，神經(jīng)網(wǎng)絡等。,,大學生數(shù)學建模競賽試題解題方法總結,方法總結：,用的最多的方法是：微分方程、優(yōu)化化方法和概率統(tǒng)計的方法.插值與擬合，隨機模擬在數(shù)據(jù)處理時很有必要?；疑到y(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡、模糊數(shù)學經(jīng)常被亂用。層次分析只能做半定量分析,3．創(chuàng)造性地改造已有模型。數(shù)學建模的問題一般來自解決的實際問題，沒有現(xiàn)成的模型可直接套，能否提出自己見解是評價一個數(shù)學模型優(yōu)劣的重要標準。因為時間和知識水平的限制，一般在現(xiàn)有的模型上對已有的模型進行必要的修正，或者創(chuàng)造條件而使用這些模型。,例3.3：AMCM-96A，北卡羅米納隊利用等高線圖確定目標的方法很有創(chuàng)造性，盡管有其他不足，仍被評為特獎。,例3.5：CMCM-00A題DNA序列分類問題，需要做的是提DNA序列的分類特征。,例3.5減肥問題,在以下假設下：1、體重增加正比于吸收的熱量；2、代謝引起的體重減少正比于體重；3、運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關。得到下面的基本模型：,四、模型簡化,根據(jù)賽題的實際情況，對建立的模型作出合理的簡化是解決問題的關鍵。,例4.1CMCM-98B,,,根據(jù)題意，得到購買Si的金額為xi的交易費為,但因M相當大，Si若被選中，其投資額xi一般都超過ui，交易費可簡化為,數(shù)學模型的建立是一個從實際——數(shù)學——實際的過程，用恰當?shù)臄?shù)學方法對實際問題進行抽象化描述后，可編寫計算機程序或運用各種軟件包（Matlab,Mathematica，Lingo等是非常有用的數(shù)學軟件包）對模型進行求解，得到數(shù)學結果之后，問題并未完全解決，前已述及，我們在建立數(shù)學模型的過程中，作了各種近似和簡化，而且更重要的是，我們建立的數(shù)學模型僅用到了題中給出的數(shù)據(jù)，因此，模型的結果是否具有實際意義或滿足實際要求，有待于細致的分析。,五、模型求解及結果的分析,一個最典型的例子是：AMCM-92A題——控制空中交通雷達發(fā)射功率的計算。,按照原題中給出的關于接收線路的靈敏度即對10微瓦的信號會作出反應，通過模型計算，對于大飛機（保證雷達反射截面大于75米2）而言，雷達發(fā)射功率為7.3106瓦，雖然很大，但還是可以達到。要控測到小飛機（雷達反射截面約為2米2），雷達需要的發(fā)射功率為2.61013瓦！這顯然是不合理的。,優(yōu)秀論文作者通過查閱資料，由1944年某雷達天線信噪比的數(shù)據(jù)算出，該雷達可以對瓦的信號作出反應，相比之下，本題所給的雷達的靈敏度就太差了，按照瓦的靈敏度重新計算，得到雷達的發(fā)射功率只需大于36千瓦即可，這就比較符合實際了,六、模型的檢驗,完成模型的設計及求解之后，我們還需要對模型的各種性能作出評價，這就是模型的檢驗，它一般包括以下幾個方面：,1、穩(wěn)定性和敏感性分析數(shù)學模型它的價值在于能夠從已知的信息預測未知的東西，因此，一個好的數(shù)學模型的結果對模型所依賴的數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性，這是其廣泛適用性的保證,以足球賽排名為例，用特征向量法求出排名結果后，隨意改變一兩場比賽結果，觀察排名結果的變動，發(fā)現(xiàn)變動很小，說明該模型對原如數(shù)據(jù)有較好的穩(wěn)定性。,作為實際問題的一個近似描述，數(shù)學模型所預測的結果與實際數(shù)據(jù)總存在或多或少的偏差，這種偏差是來源于實驗觀測，還是由于模型的不完善造成的？為回答這個問題，應該對殘差（模型的計算結果與實驗數(shù)據(jù)的偏差）的分布作統(tǒng)計分析。,如果殘差服從均值為0，且方差很小的正態(tài)分布，表示模型很好地反映了實際情況；如果殘差分布的均值不為0，則表明模型可能還需要進一點修正。,2、統(tǒng)計檢驗和誤差分析,以AMCM-90A題大腦藥物分布為例，優(yōu)秀論文作者先假設殘差服從正態(tài)分布，然后用顯著性水平a=0.01進行檢驗，發(fā)現(xiàn)不能通過原假設，隨后，又對對數(shù)殘差分別表示多巴胺濃度的觀測值和計算結果)進行檢驗，結果表明模型預測結果和實驗數(shù)據(jù)在數(shù)量級上是保持一致的。,另一個重要的方面是，數(shù)據(jù)的測量中不可避免地存在的誤差，由于誤差的傳遞，模型結果（依賴于原始數(shù)據(jù)）必然有一定的不準確度，因此，估計結果的誤差范圍是必要的，這可以利用一般的誤差傳遞公式來計算，s為結果的標準差，Si（i=1,2,…）是每個觀測量的標準差，如AMCM-91A題對于水塔水流量的估計，用上述方法很容易計算出用水量總標準偏差為7.3%，大約相當于水塔容量的2.1%,數(shù)學建模即根據(jù)對實際問題的分析，提出新的模型或在原有一般模型的基礎上加以改進，將新建的模型與原來的模型進行比較，可以判斷新模型是否具有更大的合理性和優(yōu)越性，,以CMCM-93B題(足球比賽的排名問題)為例，優(yōu)秀論文用計算機模擬的方法對積分法和特征向量法的排名結果與各隊強弱順序（事先設定）進行比較，100次模擬的結果表明，特征向量法給出的結果的偏差明顯小于積分法的情況，顯示了所建模型的合理性的優(yōu)越性。,3、新舊模型的對比,MCM中的優(yōu)化模型常常是對一個系統(tǒng)進行優(yōu)化設計，使之盡可能滿足實際要求，如AMCM-89B題緊急修復系統(tǒng)的研制都屬于這種類型，在完成系統(tǒng)的設計之后，最重要的事情是檢驗模型在實際中的可行性和有效性，只有做到這一點，才是一個運籌學模型的真正完成，以飛機排隊模型為例，優(yōu)秀論文用線性規(guī)劃方法設計飛機排隊系統(tǒng)之后，為了解模型運行的良好性，用計算機模擬的方法，產(chǎn)生各種情形，根據(jù)優(yōu)先排隊模型確定起飛次序，并觀察結果的合理性。,4、實際可行性檢驗,七、模型的改進、推廣及優(yōu)缺點分析,在建立數(shù)學模型時，一般先考慮主要因素建立模型，忽略一些次要因素以簡化問題。,如AMCM-92A題，優(yōu)秀論文在設計雷達發(fā)射功率時，進一步考慮了出現(xiàn)雷雨天氣時，雨滴對雷達所發(fā)射電磁波信號的消弱，從而得到更適用的雷達發(fā)射功率，又如對系統(tǒng)進行優(yōu)化設計時，也應考慮各種偶然事故或極端情況的出現(xiàn)對系統(tǒng)的影響，這樣既使模型更符合實際要求，也增加了模型的穩(wěn)定性。,模型的推廣是針對模型的適用性而言的，一個好的模型不應該對題中所給數(shù)據(jù)的結構有過多的依賴性，正如一個好的程序總是將算法獨立于數(shù)據(jù)之外一樣，數(shù)學模型應是對問題本質的描述，另一方面，數(shù)學模型的應用價值取決于它的廣泛適用性，因此推廣所建立的模型是擴大模型的應用范圍，從而提高其使用價值，一般來說，可將模型中某些固定量改為可調性參數(shù)以擴大其適用范圍，如CMCM-93B題足球賽排名，可將排名算法推廣到任意隊數(shù)、任意比賽數(shù)據(jù)的情形，這樣就大大提高了模型的應用價值。,模型的推廣,模型的優(yōu)缺點分析是對所建立模型特性和本質的更深刻的認識，有的人將其誤認為是對文章的自夸或自貶，這種觀點是不對的，一般而言，可以從模型精確性，實用性，對各種實際因素的考慮等方面對自己的模型進行評價。值得指出的是，現(xiàn)有的模型僅依賴于題中信息，不合理性一般是難以避免的，闡明這些不合理之處，正是表明對問題本質有著清醒的認識。,模型的優(yōu)缺點分析,