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分式方程
一、選擇題
1.方程 的解為（ ）.
A.x=-1B.x=0C.x= D.x=1
2.解分式方程 分以下幾步，其中錯(cuò)誤的一步是（ ）
A.方程兩邊分式的最簡公分母是（x－1）（x＋1）B.方程兩邊都乘以（x－1）（x＋1），得整式方程2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C.解這個(gè)整式方程，得x＝1D.原方程的解為x＝1
3.方程 的解的個(gè)數(shù)為（ ）
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
4.“綠水青山就是金山銀山”．某工程隊(duì)承接了60萬平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了25%，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)．設(shè)實(shí)際工作時(shí)每天綠化的面積為x萬平方米，則下面所列方程中正確的是（ ）
A.B.
C.D.
5.若關(guān)于x的分式方程 = 的根為正數(shù),則k的取值范圍是( )
A.k<- 且k≠-1B.k≠-1C.-
b>0,且 ，則 ________。
21.甲、乙兩個(gè)機(jī)器人檢測零件，甲比乙每小時(shí)多檢測20個(gè)，甲檢測300個(gè)比乙檢測200個(gè)所用的時(shí)間少10％，若設(shè)甲每小時(shí)檢x個(gè)，則根據(jù)題意，可列處方程：________。
22.新定義：[a ， b]為一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0，a ， b為實(shí)數(shù))的“關(guān)聯(lián)數(shù)”．若“關(guān)聯(lián)數(shù)”[1，m－3]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則關(guān)于x的方程 的解為________．
三、計(jì)算題
23.解方程： ＝ －1.
24.解方程： ．
四、解答題
25.從稱許到南京可乘列車A與列車B，已知徐州至南京里程約為350km，A與B車的平均速度之比為10∶7，A車的行駛時(shí)間比B車的少1h，那么兩車的平均速度分別為多少？
26.劉阿姨到超市購買大米，第一次按原價(jià)購買，用了 元.幾天后，遇上這種大米 折出售，她用 元又買了一些，兩次一共購買了 kg.這種大米的原價(jià)是多少？
27.某公司購買了一批A、B型芯片，其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元，已知該公司用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等．
（1）求該公司購買的A、B型芯片的單價(jià)各是多少元？
（2）若兩種芯片共購買了200條，且購買的總費(fèi)用為6280元，求購買了多少條A型芯片？
答案解析
一、選擇題
1.【答案】D
【解析】 ：方程兩邊同時(shí)乘以2x（x+3）得
X+3=4x
解之：x=1
經(jīng)檢驗(yàn)：x=1是原方程的根。
【分析】將方程兩邊同時(shí)乘以2x（x+3），將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解方程，檢驗(yàn)即可求解。
2.【答案】D
【解析】 方程無解，雖然化簡求得 ，但是將 代入原方程中，可發(fā)現(xiàn) 和 的分母都為零，即無意義，所以 ，即方程無解
【分析】因?yàn)榉质椒匠淘诨癁檎椒匠痰倪^程中，未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了，所以會(huì)產(chǎn)生增根，因此分式方程要驗(yàn)根。增根是使分母為0的未知數(shù)的值。
3.【答案】D
【解析】 ：
方程兩邊同時(shí)乘以（x+1)（x-1）得：
（x-3）2（x+1）+（x-3）=0
（x-3）（x2-2x-2）=0
∴x-3=0或x2-2x-2=0
解之：x1=3，x2=1+，x3=1-
經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的根。
有3個(gè)解
故答案為：D
【分析】將分子分母能分解因式的先分解因式，再去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出方程的解，檢驗(yàn)即可得出結(jié)果。易錯(cuò)：方程兩邊不能同時(shí)除以（x-3）.
4.【答案】C
【解析】 ：設(shè)實(shí)際工作時(shí)每天綠化的面積為x萬平方米，則原來每天綠化的面積為 萬平方米，
依題意得： ，即 ．
故答案為：C．
【分析】設(shè)實(shí)際工作時(shí)每天綠化的面積為x萬平方米，則原來每天綠化的面積為萬平方米，原計(jì)劃的工作時(shí)間為：天，實(shí)際的工作時(shí)間為：天，根據(jù)實(shí)際比計(jì)劃提前30天完成了這一任務(wù)，列出方程即可。
5.【答案】A
【解析】 ：方程兩邊同時(shí)乘以（x+k）（x-1）得：
x-1=5x+5k
解之：x=
∵x＞0且x≠1，x≠k
∴＞0，≠1，≠k
解之：k＜，k≠-1，k≠
∴k＜且k≠-1
故答案為：A
【分析】先去分母求出分式方程的解。再根據(jù)此方程的解為正數(shù)，列出關(guān)于k的不等式，注意此方程有解，則x≠1，x≠k，求出k的取值范圍即可。
6.【答案】B
【解析 方程兩邊都乘（x+1）（x﹣1），得
6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），
由最簡公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．
當(dāng)x=1時(shí)，m=3，
當(dāng)x=﹣1時(shí)，得到6=0，這是不可能的，
所以增根只能是x=1．
故答案為：B．
【分析】將分式方程去分母得6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），因?yàn)榉匠逃性龈?，所以（x+1）（x﹣1）=0，解得x=1或﹣1，當(dāng)x=1時(shí)，m=3；當(dāng)x=﹣1時(shí)，得到6=0，不符合實(shí)際意義，所以增根是x=1。
7.【答案】A
【解析】 ：
∴
解之：
∴4A-B=4-=13
故答案為：A
【分析】先將等式的右邊通分化簡，再根據(jù)分子中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，建立關(guān)于A、B的方程組，求出A、B的值，再求出4A-B的值即可。
8.【答案】A
【解析】 關(guān)鍵描述語為：提前20分鐘完成任務(wù)；等量關(guān)系為：原計(jì)劃用的時(shí)間-提前的時(shí)間=實(shí)際用的時(shí)間．原計(jì)劃植樹用的時(shí)間應(yīng)該表示為 ，而實(shí)際用的時(shí)間為 ，那么方程可表示為 ．故答案為：A．
【分析】由題意可得相等關(guān)系：原計(jì)劃用的時(shí)間-提前的時(shí)間=實(shí)際用的時(shí)間．根據(jù)相等關(guān)系列出分式方程即可。即設(shè)原計(jì)劃的工作效率為x,則實(shí)際的工作效率為1.2x,原計(jì)劃植樹用的時(shí)間為,實(shí)際用的時(shí)間為,20分鐘=小時(shí)。
9.【答案】D
【解析】 ：去分母得， ，
解得， ，
∵關(guān)于x的分式方程 的解是正實(shí)數(shù)且
∴ ，
解得，m<6且m≠2.
故答案為：D.
【分析】首先將分式方程去分母整理成整式方程，然后將m作為常數(shù)，求解得出方程的解，根據(jù)分式方程的解是正實(shí)數(shù)，從而得出關(guān)于m的不等式組，，及≠0，求解得出m的取值范圍。
10.【答案】B
【解析】 甲班每人的捐款額為： 元，乙班每人的捐款額為： 元，
根據(jù)（2）中所給出的信息，方程可列為： ，
故答案為：B．
【分析】設(shè)甲班有x人，甲班每人的捐款額為：元，乙班有學(xué)生（x-5）人，乙班每人的捐款額為：元，根據(jù)乙班平均每人捐款數(shù)比甲班平均每人捐款數(shù)多，列出方程即可。
11.【答案】B
【解析】 去分母，得a+2=x+1，
解得，x=a+1，
∵x≤0且x+1≠0，
∴a+1≤0且a+1≠-1，
∴a≤-1且a≠-2，
∴a≤-1且a≠-2．
故答案為：B．
【分析】先解分式方程，求出方程的解，再根據(jù)方程有解，得出x+1≠0，且x≤0，建立關(guān)于a的不等式組，求解即可。
12.【答案】A
【解析】 ：設(shè)原來的平均車速為xkm/h，則根據(jù)題意可列方程為： ﹣ =1．故答案為：A．【分析】由題意可得相等關(guān)系：提速前走完全程所需時(shí)間-提速后走完全程所需時(shí)間=縮短的時(shí)間，根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系即可列方程。
二、填空題
13.【答案】x=2
【解析】 ：方程兩邊同時(shí)乘以x（x+6)得：
x+6=4x
∴x=2.
經(jīng)檢驗(yàn)得x=2是原分式方程的解.
故答案為：2.
【分析】方程兩邊同時(shí)乘以最先公分母x（x+6)，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解之即可得出答案.
14.【答案】-1
【解析】 ∵與互為相反數(shù).
∴
方程兩邊同時(shí)乘以（2x-1）（x+4）得
3(x+4)+3（2x-1）=0
解之：x=-1
經(jīng)檢驗(yàn)x=-1時(shí)此分式方程的根。
故答案為：-1【分析】根據(jù)若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0，建立關(guān)于x的分式方程，解方程檢驗(yàn)即可。
15.【答案】x=1
【解析】 兩邊都乘以x-1，得
x+m=2x-2，
∵方程有增根，
∴最簡公分母x-1=0,即增根是x=1，
把x=1代入整式方程,得m=-1，
故答案是:x=1.
【分析】將m看做常數(shù)，解分式方程，分式方程有增根，即當(dāng)x=1時(shí)，分母為0，所以有增根，方程的解不等于1 即可.
16.【答案】x=
【解析】 根據(jù)題意 即
可以知道x在1～2，2～3之間都不可能，在3～4之間，
則
∵x為非整數(shù)解，
∴
故答案為：
【分析】利用已知方程的解來求出新方程的兩個(gè)解 x = ,再根據(jù)[x]表示不大于x的最大整數(shù)求出 [ x ] = 3，從而求出x的值 .
17.【答案】
【解析】 設(shè)甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)x米，則乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)（x+5）米，由題意得： ．
【分析】由題意可知相等關(guān)系：甲工程隊(duì)鋪設(shè)管道160米所用時(shí)間=乙工程隊(duì)鋪設(shè)管道200米所用時(shí)間，即設(shè)甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)x米，則乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)（x+5）米，.
18.【答案】k＜3且k≠1
【解析】 去分母得： 解得：
由分式方程的解為負(fù)數(shù)，得到 且 即
解得： 且
故答案為： 且
【分析】先解關(guān)于x的方程，求出x的值，再根據(jù)方程的解為負(fù)數(shù)且x+1≠0，建立不等式，求解即可。
19.【答案】2
【解析】 分式方程可化為：x-5=-m，
由分母可知，分式方程的增根是3，
當(dāng)x=3時(shí)，3-5=-m，解得m=2，
故答案為：2．
【分析】先去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再根據(jù)分式方程出現(xiàn)增根，就是分母為0，再將增根代入整式方程，就可求出m的值。
20.【答案】
【解析】 ∵ + + =0，
兩邊同時(shí)乘以ab（b-a）得：
a2-2ab-2b2=0，
兩邊同時(shí)除以a2得：
2（ ） 2+2 -1=0，
令t= （t〉0）,
∴2t2+2t-1=0，
∴t= ，
∴t= = .
故答案為： .
【分析】等式兩邊同時(shí)乘以ab（b-a）得：a2-2ab-2b2=0，兩邊同時(shí)除以a 得：
2（ ）2+2 -1=0，解此一元二次方程即可得答案.
21.【答案】
【解析】 ：設(shè)甲每小時(shí)檢x個(gè)，則乙每小時(shí)檢測（x-20）個(gè)，
甲檢測300個(gè)的時(shí)間為,
乙檢測200個(gè)所用的時(shí)間為
由等量關(guān)系可得
故答案為
【分析】根據(jù)實(shí)際問題列方程，找出列方程的等量關(guān)系式：甲檢測300個(gè)的時(shí)間=乙檢測200個(gè)所用的時(shí)間（1-10%），分別用未知數(shù)x表示出各自的時(shí)間即可
22.【答案】x=
【解析】 ：根據(jù)題意可得：y=x+m?3，
∵“關(guān)聯(lián)數(shù)”[1,m?3]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，
∴m?3=0，
解得：m=3，
則關(guān)于x的方程+=1變?yōu)?=1
解得：x=，
檢驗(yàn)：把x=代入最簡公分母3(x?1)≠0，
故x=是原分式方程的解，
故答案為：x=.
【分析】根據(jù)[a ， b]為一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0，a ， b為實(shí)數(shù))的“關(guān)聯(lián)數(shù)”得出y=x+m?3，又關(guān)聯(lián)數(shù)”[1,m?3]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，從而得出m?3=0，從而求出m的值，然后將m的值代入分式方程，解方程，再檢驗(yàn)即可得出答案。
三、計(jì)算題
23.【答案】解：化為整式方程得：2－2x＝x－2x＋4，解得：x＝－2，
把x＝－2代入原分式方程中，等式兩邊相等，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝－2是分式方程的解
【解析】【分析】先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出方程的解即可。
24.【答案】解：去分母，得 ,
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)，得 .
經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是原分式方程的根.
【解析】【分析】解分式方程的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）系數(shù)化為1.
四、解答題
25.【答案】解：設(shè)A車平均速度為10x，B車平均速度為7x，依題可得：，
解得：x=15,
∴7x=715=105（km/h），
10x=1015=150（km/h），
答:A車平均速度為150km/h，B車平均速度為105km/h.
【解析】【分析】設(shè)A車平均速度為10x，B車平均速度為7x，根據(jù)A車的行駛時(shí)間比B車的少1h列出分式方程，解之并檢驗(yàn).
26.【答案】解：設(shè)這種大米的原價(jià)為每千克 元，
根據(jù)題意，得 .
解這個(gè)方程，得 .
經(jīng)檢驗(yàn)， 是所列方程的解.
答：這種大米的原價(jià)為每千克 元.
【解析】【分析】設(shè)這種大米的原價(jià)為每千克 x 元，降價(jià)后大米的價(jià)格是0.8x元，則第一次.購買大米的數(shù)量為：千克，第二次購買大米的數(shù)量是千克，根據(jù)兩次購買的大米質(zhì)量是40千克，列出方程求解并檢驗(yàn)即可。
27.【答案】（1）解：設(shè)B型芯片的單價(jià)為x元/條，則A型芯片的單價(jià)為（x﹣9）元/條，
根據(jù)題意得： = ，
解得：x=35，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=35是原方程的解，
∴x﹣9=26．
答：A型芯片的單價(jià)為26元/條，B型芯片的單價(jià)為35元/條
（2）解：設(shè)購買a條A型芯片，則購買（200﹣a）條B型芯片，
根據(jù)題意得：26a+35（200﹣a）=6280，
解得：a=80．
答：購買了80條A型芯片
【解析】【分析】（1）設(shè)B型芯片的單價(jià)為x元/條，則A型芯片的單價(jià)為（x﹣9）元/條，則用3120元購進(jìn)A型芯片的數(shù)量是條，用4200元購進(jìn)B型芯片的數(shù)量是條，根據(jù)用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等．列出方程，求解并檢驗(yàn)即可；
（2）設(shè)購買a條A型芯片，則購買（200﹣a）條B型芯片，根據(jù)購進(jìn)A型芯片的錢數(shù)+購進(jìn)A型芯片的錢數(shù)=6280，列出方程，求解即可。
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