中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究(壓軸題)類型4 針對(duì)訓(xùn)練.doc
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第二部分 專題六 類型四 1.在平面直角坐標(biāo)系中xOy中,正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如圖的方式放置.點(diǎn)A1,A2,A3,…,An和點(diǎn)C1,C2,C3,…,Cn分別落在直線y=x+1和x軸上.拋物線L1過(guò)點(diǎn)A1,B1,且頂點(diǎn)在直線y=x+1上,拋物線L2過(guò)點(diǎn)A2,B2,且頂點(diǎn)在直線y=x+1上,…,按此規(guī)律,拋物線Ln過(guò)點(diǎn)An,Bn,且頂點(diǎn)也在直線y=x+1上,其中拋物線L2交正方形A1B1C1O的邊A1B1于點(diǎn)D1,拋物線L3交正方形A2B2C2C1的邊A2B2于點(diǎn)D2,…,拋物線Ln+1交正方形AnBnCnCn-1的邊AnBn于點(diǎn)Dn(其中n≥2且n為正整數(shù)). (1)直接寫(xiě)出下列點(diǎn)的坐標(biāo):B1 (1,1),B2 (3,2),B3_(7,4)_ _; (2)寫(xiě)出拋物線L2,L3的解析式,并寫(xiě)出其中一個(gè)解析式的求解過(guò)程,再猜想拋物線Ln的頂點(diǎn)坐標(biāo) (32n-2-1,32n-2); (3)① 設(shè)A1D1=k1D1B1,A2D2=k2D2B2,試判斷k1與k2的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由; ②點(diǎn)D1,D2,…,Dn是否在一條直線上?若是,直接寫(xiě)出這條直線與直線y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4). (2)拋物線L2,L3的解析式分別為y2=-(x-2)2+3,y3=-(x-5)2+6. 拋物線L2的解析式的求解過(guò)程: 對(duì)于直線y=x+1,設(shè)x=0,可得y=1,∴A1(0,1). ∵四邊形A1B1C1O是正方形, ∴C1(1,0).又∵點(diǎn)A2在直線y=x+1上, ∴可得點(diǎn)A2(1,2),又∵B2的坐標(biāo)為(3,2), ∴拋物線L2的對(duì)稱軸為直線x=2, ∴拋物線L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3), 設(shè)拋物線L2的解析式為y=a(x-2)2+3, ∵L2過(guò)點(diǎn)B2(3,2),∴當(dāng)x=3時(shí),y=2, ∴2=a(3-2)2+3,解得a=-1, ∴拋物線L2的解析式為y=-(x-2)2+3. 拋物線L3的解析式的求解過(guò)程: ∵B3的坐標(biāo)為(7,4),同上可求得點(diǎn)A3的坐標(biāo)為(3,4), ∴拋物線L3的對(duì)稱軸為直線x=5, ∴拋物線L3的頂點(diǎn)為(5,6). 設(shè)拋物線L3的解析式為y=a(x-5)2+6, ∵L3過(guò)點(diǎn)B3(7,4),∴當(dāng)x=7時(shí),y=4, ∴4=a(7-5)2+6,解得a=-, ∴拋物線L3的解析式為y=-(x-5)2+6. 猜想拋物線Ln的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(32n-2-1,32n-2). 猜想過(guò)程: 方法1:可由拋物線L1,L2,L3,…的解析式為y1=-2(x-)2+,y2=-(x-2)2+3,y3=-(x-5)2+6,…,歸納總結(jié). 方法2:可由正方形AnBnCnCn-1頂點(diǎn)An,Bn的坐標(biāo)規(guī)律An(2n-1-1,2n-1)與Bn(2n-1,2n-1),再利用對(duì)稱性可得拋物線Ln的對(duì)稱軸為直線x=,即x==32n-2-1.又∵頂點(diǎn)在直線y=x+1上, ∴可得拋物線Ln的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(32n-2-1,32n-2); (3)①k1與k2的數(shù)量關(guān)系為k1=k2. 理由如下:同(2)可求得L2的解析式為y=-(x-2)2+3, 當(dāng)y=1時(shí),1=-(x-2)2+3,解得x1=2-,x2=2+,∴A1D1=2-=(-1), ∴D1B1=1-(2-)=-1, ∴A1D1=D1B1,即k1=. 同理可求得A2D2=4-2=2(-1), D2B2=2-(4-2)=2-2=2(-1), ∴A2D2=D2B2,即k2=,∴k1=k2. ②∵由①知,k1=k2, ∴點(diǎn)D1,D2,…,Dn在一條直線上; ∵拋物線L2的解析式為y=-(x-2)2+3, ∴當(dāng)y=1時(shí),x=2-,∴D1(2-,1); 同理,D2(5-2,2), ∴設(shè)直線D1D2的解析式為y=kx+b(k≠0), 則解得 ∴直線D1D2的解析式為y=x+, ∴解得 這條直線與直線y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0). 2.在平面直角坐標(biāo)系中,有一組有規(guī)律的點(diǎn): A1(0,1),A2(1,0),A3(2,1),A4(3,0),A5(4,1),….依此規(guī)律可知, 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有點(diǎn)An (n-1,1),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),有點(diǎn)An(n-1,0). 拋物線C1經(jīng)過(guò)A1,A2,A3三點(diǎn),拋物線C2經(jīng)過(guò)A2,A3,A4三點(diǎn),拋物線C3經(jīng)過(guò)A3,A4,A5三點(diǎn),…,拋物線Cn經(jīng)過(guò)An,An+1,An+2三點(diǎn). (1)直接寫(xiě)出拋物線Cn的解析式; (2)若點(diǎn)E(e,f1),F(xiàn)(e,f2)分別在拋物線C27,C28上,當(dāng)e=29時(shí),請(qǐng)判斷△A26EF是什么形狀的三角形并說(shuō)明理由; 第2題圖 (3)若直線x=m分別交x軸,拋物線C2 017,C2 018于點(diǎn)P,M,N,作直線A2 018 M,A2 018 N,當(dāng)∠PA2 018M=45時(shí),求sin∠PA2 018N的值. 解:(1)根據(jù)頂點(diǎn)式容易求出C1,C2,C3,C4的解析式分別為: y1=(x-1)2; y3=(x-3)2; …… y2=-(x-2)2+1; y4=-(x-4)2+1; …… 可以發(fā)現(xiàn)這組拋物線解析式的特點(diǎn): 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),yn=(x-n)2; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),yn=-(x-n)2+1. (2)△A26EF是等腰直角三角形.如答圖1, 由一般到特殊,可得拋物線C27的解析式為y27=(x-27)2,且過(guò)點(diǎn)A27,A28,A29 ,拋物線C28的解析式為y28=-(x-28)2+1,且過(guò)點(diǎn)A28,A29,A30.∵點(diǎn)E(e,f1),F(xiàn)(e,f2)分別在拋物線C27,C28上,e=29, ∴f1=(29-27)2=4, f2=-(29-28)2+1=0, ∴點(diǎn)E(e,f1),F(xiàn)(e,f2)坐標(biāo)分別為E(29,4),F(xiàn)(29,0); ∵A26的坐標(biāo)是(25,0),點(diǎn)F(29,0)與點(diǎn)A30重合, ∴A26A30=29-25=4,EF=4,且與y軸平行, ∠EF A26=90, ∴△A26EF是等腰直角三角形. 圖1 圖2 第2題答圖 (3)由(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知,拋物線C2 017,C2 018的解析式分別為y2 017=(x-2 017)2,y2 018=-(x-2 018)2+1.點(diǎn)A2 018坐標(biāo)為(2 017,0). 由(2)的研究經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),可以退回到簡(jiǎn)單的拋物線C3,C4的情況來(lái)研究. 如答圖2,在點(diǎn)A2 018(2 017,0)的左側(cè),當(dāng)m=2 016時(shí),M(2 016,1),此時(shí)有∠PA2 018M=45,N(2 016,-3),sin∠PA2 018N=; 在點(diǎn)A2 018(2 017,0)的右側(cè),當(dāng)m=2 018時(shí),M(2 018,1),此時(shí)有∠PA2 018M=45,N(2 018,1),sin∠PA2 018N=. 綜上,當(dāng)∠PA2 018M=45時(shí),sin∠PA2 018N=或. 3.(xx江西模擬)已知拋物線Cn:yn=-x2+(n-1)x+2n(其中n為正整數(shù))與x軸交于An,Bn兩點(diǎn)(點(diǎn)An在Bn的左邊),與y軸交于點(diǎn)Dn. (1)填空:①當(dāng)n=1時(shí),點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 (-2,0),點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2,0); ②當(dāng)n=2時(shí),點(diǎn)A2的坐標(biāo)為 (-2,0),點(diǎn)B2的坐標(biāo)為 (4,0); (2)猜想拋物線Cn是否經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn),若經(jīng)過(guò)請(qǐng)寫(xiě)出該定點(diǎn)坐標(biāo)并給予證明;若不經(jīng)過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)①判斷△A2D2B4的形狀; ②猜想∠AnDnBn2的大小,并給予證明. 解:(1)①n=1時(shí),拋物線解析式為y=-x2+2, 當(dāng)y=0時(shí),-x2+2=0,解得x1=2,x2=-2, ∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2,0); ②當(dāng)n=2時(shí),拋物線解析式為y=-x2+x+4, 當(dāng)y=0時(shí),-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=4, ∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(4,0). (2)yn=-x2+(n-1)x+2n=-(x+2)(x-2n), 當(dāng)x=-2時(shí),y=0, 所以拋物線Cn經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-2,0). (3)①n=2,拋物線解析式為y=-x2+x+4, 當(dāng)x=0時(shí),y=4,則D2(0,4), ∵n=4時(shí),拋物線解析式為y=-x2+3x+8, 當(dāng)y=0時(shí),-x2+3x+8=0,解得x1=-2,x2=8, ∴點(diǎn)B4的坐標(biāo)為(8,0). ∵A2D=22+42=20,B4D=82+42=80,B4A=102=100, ∴A2D+B4D=B4A, ∴△A2D2B4的形狀為直角三角形,∠A2D2B4=90; ②∠AnDnBn2=90.理由如下: 當(dāng)y=0時(shí),yn=-(x+2)(x-2n)=0, 解得x1=-2,x2=2n, ∴點(diǎn)An的坐標(biāo)(-2,0),點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為(2n,0); ∴點(diǎn)Bn2的坐標(biāo)為(2n2,0), 而Dn(0,2n), ∵AnD=(2n)2+22=4n2+4,Bn2D=(2n2)2+4n2=4n4+4n2,Bn2A=(2n2+2)2=4n4+8n2+4, ∴AnD+Bn2D=Bn2A, ∴△AnDnBn2為直角三角形,∠AnDnBn2=90.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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