中考數(shù)學試題分類匯編 考點20 等腰三角形、等邊三角形和直角三角形（含解析）.doc

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考點20 等腰三角形、等邊三角形和直角三角形 一．選擇題（共5小題） 1．（xx?湖州）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20，則∠ACE的度數(shù)是（　?。? A．20 B．35 C．40 D．70 【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40，∠B=∠ACB=（180﹣∠CAB）=70．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35． 【解答】解：∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20， ∴∠CAB=2∠CAD=40，∠B=∠ACB=（180﹣∠CAB）=70． ∵CE是△ABC的角平分線， ∴∠ACE=∠ACB=35． 故選：B． 　 2．（xx?宿遷）若實數(shù)m、n滿足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是（　?。? A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】由已知等式，結合非負數(shù)的性質求m、n的值，再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰，分類求解． 【解答】解：∵|m﹣2|+=0， ∴m﹣2=0，n﹣4=0， 解得m=2，n=4， 當m=2作腰時，三邊為2，2，4，不符合三邊關系定理； 當n=4作腰時，三邊為2，4，4，符合三邊關系定理，周長為：2+4+4=10． 故選：B． 　 3．（xx?揚州）在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結論一定成立的是（　　） A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC 【分析】根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE，再結合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角對等邊即可得出BC=BE，此題得解． 【解答】解：∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90，∠ACD+∠A=90， ∴∠BCD=∠A． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． 又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE． 故選：C． 　 4．（xx?淄博）如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC，若AN=1，則BC的長為（　　） A．4 B．6 C． D．8 【分析】根據(jù)題意，可以求得∠B的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的知識可以求得NC的長，從而可以求得BC的長． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，且MN平分∠AMC， ∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30， ∵AN=1， ∴MN=2， ∴AC=AN+NC=3， ∴BC=6， 故選：B． 　 5．（xx?黃岡）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD=2，CE=5，則CD=（　?。? A．2 B．3 C．4 D．2 【分析】根據(jù)直角三角形的性質得出AE=CE=5，進而得出DE=3，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，CE為AB邊上的中線，CE=5， ∴AE=CE=5， ∵AD=2， ∴DE=3， ∵CD為AB邊上的高， ∴在Rt△CDE中，CD=， 故選：C． 　 二．填空題（共12小題） 6．（xx?成都）等腰三角形的一個底角為50，則它的頂角的度數(shù)為　80?。? 【分析】本題給出了一個底角為50，利用等腰三角形的性質得另一底角的大小，然后利用三角形內角和可求頂角的大?。? 【解答】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180﹣502=80， ∴頂角為80． 故填80． 　 7．（xx?長春）如圖，在△ABC中，AB=AC．以點C為圓心，以CB長為半徑作圓弧，交AC的延長線于點D，連結BD．若∠A=32，則∠CDB的大小為　37　度． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形內角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74，根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形外角的性質在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=32， ∴∠ABC=∠ACB=74， 又∵BC=DC， ∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37． 故答案為：37． 　 8．（xx?哈爾濱）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADC的度數(shù)為　130或90?。? 【分析】根據(jù)題意可以求得∠B和∠C的度數(shù)，然后根據(jù)分類討論的數(shù)學思想即可求得∠ADC的度數(shù)． 【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100， ∴∠B=∠C=40， ∵點D在BC邊上，△ABD為直角三角形， ∴當∠BAD=90時，則∠ADB=50， ∴∠ADC=130， 當∠ADB=90時，則 ∠ADC=90， 故答案為：130或90． 　 9．（xx?吉林）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=，則該等腰三角形的頂角為　36　度． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得出∠B=∠C，根據(jù)三角形內角和定理和已知得出5∠A=180，求出即可． 【解答】解： ∵△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=， ∴∠A：∠B=1：2， 即5∠A=180， ∴∠A=36， 故答案為：36． 　 10．（xx?淮安）若一個等腰三角形的頂角等于50，則它的底角等于　65?。? 【分析】利用等腰三角形的性質及三角形內角和定理直接求得答案． 【解答】解：∵等腰三角形的頂角等于50， 又∵等腰三角形的底角相等， ∴底角等于（180﹣50）=65． 故答案為：65． 　 11．（xx?婁底）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D點，DE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，DE=3cm，則BF=　6　cm． 【分析】先利用HL證明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2AB?DE=AB?DE=3AB，又S△ABC=AC?BF，將AC=AB代入即可求出BF． 【解答】解：在Rt△ADB與Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC， ∴S△ABC=2S△ABD=2AB?DE=AB?DE=3AB， ∵S△ABC=AC?BF， ∴AC?BF=3AB， ∵AC=AB， ∴BF=3， ∴BF=6． 故答案為6． 　 12．（xx?桂林）如圖，在△ABC中，∠A=36，AB=AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是　3?。? 【分析】首先根據(jù)已知條件分別計算圖中每一個三角形每個角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的判定：等角對等邊解答，做題時要注意，從最明顯的找起，由易到難，不重不漏． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=36∴△ABC是等腰三角形， ∠ABC=∠ACB==72， BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36， ∴在△ABD中，∠A=∠ABD=36，AD=BD，△ABD是等腰三角形， 在△ABC中，∠C=∠ABC=72，AB=AC，△ABC是等腰三角形， 在△BDC中，∠C=∠BDC=72，BD=BC，△BDC是等腰三角形， 所以共有3個等腰三角形． 故答案為：3 　 13．（xx?徐州）邊長為a的正三角形的面積等于　　． 【分析】根據(jù)正三角形的性質求解． 【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D， ∵AD⊥BC ∴BD=CD=a， ∴AD==a， 面積則是： a?a=a2． 　 14．（xx?黑龍江）如圖，已知等邊△ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊△AB1C1；再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊△AB2C2；再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊△AB3C3；…，記△B1CB2的面積為S1，△B2C1B3的面積為S2，△B3C2B4的面積為S3，如此下去，則Sn=?。ǎ﹏　． 【分析】由AB1為邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點，求出BB1的長，利用勾股定理求出AB1的長，進而求出第一個等邊三角形AB1C1的面積，同理求出第二個等邊三角形AB2C2的面積，依此類推，得到第n個等邊三角形ABnCn的面積． 【解答】解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根據(jù)勾股定理得：AB1=， ∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為（）2=（）1； ∵等邊三角形AB1C1的邊長為，AB2⊥B1C1， ∴B1B2=，AB1=， 根據(jù)勾股定理得：AB2=， ∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為（）2=（）2； 依此類推，第n個等邊三角形ABnCn的面積為（）n． 故答案為：（）n． 　 15．（xx?湘潭）如圖，在等邊三角形ABC中，點D是邊BC的中點，則∠BAD=　30　． 【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質和等邊三角形三個內角相等的性質填空． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60，AB=AC． 又點D是邊BC的中點， ∴∠BAD=∠BAC=30． 故答案是：30． 　 16．（xx?天津）如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，EF⊥AC于點F，G為EF的中點，連接DG，則DG的長為　?。? 【分析】直接利用三角形中位線定理進而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性質得出EG以及DG的長． 【解答】解：連接DE， ∵在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2， ∵EF⊥AC于點F，∠C=60， ∴∠FEC=30，∠DEF=∠EFC=90， ∴FC=EC=1， 故EF==， ∵G為EF的中點， ∴EG=， ∴DG==． 故答案為：． 　 17．（xx?福建）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=6，D是AB的中點，則CD=　3?。? 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答． 【解答】解：∵∠ACB=90，D為AB的中點， ∴CD=AB=6=3． 故答案為：3． 　 三．解答題（共2小題） 18．（xx?紹興）數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題： 例1 等腰三角形ABC中，∠A=110，求∠B的度數(shù)．（答案：35） 例2 等腰三角形ABC中，∠A=40，求∠B的度數(shù)，（答案：40或70或100） 張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下一題： 變式 等腰三角形ABC中，∠A=80，求∠B的度數(shù)． （1）請你解答以上的變式題． （2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設∠A=x，當∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍． 【分析】（1）由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確，因此要分類討論； （2）分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90，結合三角形內角和定理求解即可． 【解答】解：（1）若∠A為頂角，則∠B=（180﹣∠A）2=50； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=180﹣280=20； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=80； 故∠B=50或20或80； （2）分兩種情況： ①當90≤x＜180時，∠A只能為頂角， ∴∠B的度數(shù)只有一個； ②當0＜x＜90時， 若∠A為頂角，則∠B=（）； 若∠A為底角，∠B為頂角，則∠B=（180﹣2x）； 若∠A為底角，∠B為底角，則∠B=x． 當≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x， 即x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 綜上所述，可知當0＜x＜90且x≠60時，∠B有三個不同的度數(shù)． 　 19．（xx?徐州）（A類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求證：∠A=∠C． （B類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求證：AD=CD． 【分析】（A類）連接AC，由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA，兩等式相加即可得； （B類）由以上過程反之即可得． 【解答】證明：（A類）連接AC， ∵AB=AC，AD=CD， ∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C； （B類）∵AB=AC， ∴∠BAC=∠BCA， 又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD．