2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1.2 瞬時速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案(含解析)新人教B版選修1 -1.docx
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3.1.2 瞬時速度與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解從平均變化率過渡到瞬時變化率的過程.2.了解導(dǎo)數(shù)的概念,知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù).3.掌握函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)的定義. 知識點一 瞬時變化率 1.物體運(yùn)動的瞬時速度 設(shè)物體運(yùn)動的路程與時間的關(guān)系是s=f(t),當(dāng)t0到t0+Δt時,當(dāng)Δt趨近于0時,函數(shù)f(t)在t0到t0+Δt的平均變化率趨近于常數(shù),這個常數(shù)稱為t0時刻的瞬時速度. 2.函數(shù)的瞬時變化率 設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0附近有定義,當(dāng)自變量在x=x0附近改變Δx時,函數(shù)值相應(yīng)地改變Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果當(dāng)Δx趨近于0時,平均變化率趨近于一個常數(shù)l,則常數(shù)l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化率. 知識點二 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)或,即f′(x0)=. 2.導(dǎo)函數(shù)定義 如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點x導(dǎo)數(shù)都存在,則稱f(x)在區(qū)間(a,b)可導(dǎo),這樣,對開區(qū)間(a,b)內(nèi)每個值x,都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f′(x),于是在區(qū)間(a,b)內(nèi)f′(x)構(gòu)成一個新的函數(shù),我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù).記為f′(x)(或yx′、y′). 3.函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x=x0處的函數(shù)值,即f′(x0)=. 1.函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)在該點處的瞬時變化率.( √ ) 2.平均變化率刻畫函數(shù)在區(qū)間上的變化的快慢,瞬時變化刻畫的是函數(shù)在某一點處的變化情況.( √ ) 3.f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)數(shù)f′(x)在x=x0處的函數(shù)值.( √ ) 題型一 求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù) 例1 求y=x2在點x=1處的導(dǎo)數(shù). 解 Δy=(1+Δx)2-12=2Δx+(Δx)2, ==2+Δx, ∴= (2+Δx)=2,∴y′|x=1=2. 反思感悟 求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟 (1)求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均變化率=; (3)取極限,得導(dǎo)數(shù)f′(x0)=. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)若=k, 則等于( ) A.2k B.k C.k D.以上都不是 答案 A 解析 , =2=2k. (2)求y=2x2+4x在點x=3處的導(dǎo)數(shù). 解 Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(232+43) =2(Δx)2+16Δx,=2Δx+16, = (2Δx+16)=16, 所以y′|x=3=16. 題型二 求物體運(yùn)動的瞬時速度 例2 某物體的運(yùn)動路程s(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t2+t+1表示,求物體在t=1s時的瞬時速度. 解 ∵= = =3+Δt, ∴= (3+Δt)=3. ∴物體在t=1處的瞬時變化率為3, 即物體在t=1s時的瞬時速度為3m/s. 引申探究 1.若本例的條件不變,試求物體的初速度. 解 ∵= = =1+Δt, ∴= (1+Δt)=1. ∴物體在t=0處的瞬時變化率為1, 即物體的初速度為1m/s. 2.若本例的條件不變,試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s. 解 設(shè)物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s, ∵= =2t0+1+Δt. ∴= (2t0+1+Δt)=2t0+1. 則2t0+1=9,∴t0=4. 則物體在4s時的瞬時速度為9m/s. 反思感悟 (1)不能將物體的瞬時速度轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時變化率是導(dǎo)致無從下手解答本題的常見問題. (2)求運(yùn)動物體瞬時速度的三個步驟 ①求時間改變量Δt和位移改變量Δs=s(t0+Δt)-s(t0). ②求平均速度=. ③求瞬時速度,當(dāng)Δt無限趨近于0時,無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時速度,即v=s′(t0). 跟蹤訓(xùn)練2 一質(zhì)點M按運(yùn)動方程s(t)=at2+1做直線運(yùn)動(位移單位:m,時間單位:s),若質(zhì)點M在t=2s時的瞬時速度為8m/s,求常數(shù)a的值. 解 質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度即為函數(shù)在t=2處的瞬時變化率. ∵質(zhì)點M在t=2附近的平均變化率 ===4a+aΔt, ∴=4a=8,即a=2. 題型三 導(dǎo)數(shù)的實際意義 例3 一條水管中流出的水量y(單位:m3)是時間x(單位:s)的函數(shù)y=f(x)=x2+7x+15(0≤x≤8).計算2s和6s時,水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并說明它們的實際意義. 解 在2s和6s時,水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(2)和f′(6),當(dāng)x=2時,= = ==Δx+11, 所以f′(2)== (Δx+11)=11, 即在2s時的水流速度為11m3/s. 同理可得在6s時的水流速度為19m3/s. 在2s與6s時,水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為11與19.它說明在2s時附近,水流大約以11m3/s的速度流出, 在6s時附近,水流大約以19m3/s的速度流出. 反思感悟 導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是瞬時變化率,它描述物體的瞬時變化,例如位移s關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)就是運(yùn)動物體的瞬時速度,氣球體積V關(guān)于半徑r的導(dǎo)數(shù)就是氣球的瞬時膨脹率. 跟蹤訓(xùn)練3 服藥后,人體血液中藥物的質(zhì)量濃度y(單位:μg/mL)關(guān)于時間t(單位:min)的函數(shù)為y=f(t),假設(shè)函數(shù)y=f(t)在t=10和t=100處的導(dǎo)數(shù)分別為f′(10)=1.5和f′(100)=-0.60,試解釋它們的實際意義. 解 f′(10)=1.5表示服藥后10 min時,血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5 μg/(mLmin). f′(100)=-0.6表示服藥后100 min時,血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為0.6 μg/(mLmin). 1.如果某物體的運(yùn)動方程為s=2(1-t2)(s的單位為m,t的單位為s),那么其在1.2s末的瞬時速度為( ) A.-4.8m/s B.-0.88 m/s C.0.88m/s D.4.8 m/s 答案 A 解析 物體運(yùn)動在1.2s末的瞬時速度即為s在1.2處的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求得. 2.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo),則等于( ) A.f′(1) B.3f′(1) C.f′(1) D.f′(3) 答案 A 解析?。絝′(1). 3.函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則( ) A.與x0,h都有關(guān) B.僅與x0有關(guān),而與h無關(guān) C.僅與h有關(guān),而與x0無關(guān) D.與x0,h均無關(guān) 答案 B 4.設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b為常數(shù)),則( ) A.f′(x)=a B.f′(x)=b C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b 考點 函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù) 題點 根據(jù)定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù) 答案 C 解析 f′(x0)== (a+bΔx)=a. 5.已知函數(shù)f(x)=在x=1處的導(dǎo)數(shù)為-2,則實數(shù)a的值是________. 答案 2 解析 f′(1)===-a. 由題意知,-a=-2,∴a=2. 利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)三步曲 (1)作差求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)作比求平均變化率=; (3)取極限,得導(dǎo)數(shù)f′(x0)=. 簡記為一差,二比,三極限. 一、選擇題 1.一質(zhì)點的運(yùn)動方程為s=5-3t2,若該質(zhì)點在時間段[1,1+Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為-3Δt-6,則該質(zhì)點在t=1時的瞬時速度是( ) A.-3B.3C.6D.-6 答案 D 解析 由平均速度和瞬時速度的關(guān)系可知,質(zhì)點在t=1時的瞬時速度為s′=(-3Δt-6)=-6. 2.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3,若f′(1)=3,則a等于( ) A.2B.-2C.3D.-3 答案 C 解析 ∵f′(1)= ==a, 又∵f′(1)=3,∴a=3. 3.若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象過原點,且滿足=-1,則f′(0)等于( ) A.-2B.-1C.1D.2 答案 B 解析 ∵f(x)的圖象過原點,∴f(0)=0, ∴f′(0)===-1. 4.物體的運(yùn)動方程是s=-4t2+16t,在某一時刻的速度為0,則相應(yīng)時刻為( ) A.t=1B.t=2C.t=3D.t=4 答案 B 解析 設(shè)在t0時刻速度為0, ∵s′(t0)= = = (-8t0+16-4Δt) =-8t0+16=0, ∴t0=2. 5.已知f(x)=x2-3x,則f′(0)等于( ) A.Δx-3 B.(Δx)2-3Δx C.-3 D.0 答案 C 解析 f′(0)== = (Δx-3)=-3. 6.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo),且=1,則f′(x0)等于( ) A.1 B.-1 C.- D. 答案 C 解析 因為 =- =-3f′(x0)=1,所以f′(x0)=-,故選C. 7.已知點P(x0,y0)是拋物線y=f(x)=3x2+6x+1上一點,且f′(x0)=0,則點P的坐標(biāo)為( ) A.(1,10) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(-1,10) 答案 B 解析 = = =3Δx+6x0+6, ∴f′(x0)== (3Δx+6x0+6)=6x0+6=0, ∴x0=-1.把x0=-1代入y=3x2+6x+1, 得y0=-2. ∴點P的坐標(biāo)為(-1,-2). 二、填空題 8.已知f(3)=2,f′(3)=-2,則=________. 答案 8 解析 = =[2+]=2+3 =2-3=2-3f′(3)=8. 9.對于函數(shù)y=,其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點是________. 答案 解析 設(shè)導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點是(x0,f(x0)), 則f′(x0)= ==-. 由題意知,f′(x0)=f(x0),即-=, 解得x0=-2,從而y0=. 所以導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點是. 10.如圖所示,水波的半徑以1m/s的速度向外擴(kuò)張,當(dāng)半徑為5m時,則水波面的圓面積的膨脹率是________. 答案 10π 解析 == (10π+πΔr)=10π. 11.已知函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為11,則=________. 答案?。?2 解析 =-2 =-2f′(x0)=-22. 三、解答題 12.某一運(yùn)動物體,在x(s)時離出發(fā)點的距離(單位:m)是f(x)=x3+x2+2x. (1)求在第1s內(nèi)的平均速度; (2)求在1s末的瞬時速度; (3)經(jīng)過多長時間該物體的運(yùn)動速度達(dá)到14m/s? 解 (1)物體在第1s內(nèi)的平均變化率(即平均速度)為=m/s. (2)= = =6+3Δx+(Δx)2. 當(dāng)Δx→0時,→6, 所以物體在1s末的瞬時速度為6m/s. (3)= = =2x2+2x+2+(Δx)2+2xΔx+Δx. 當(dāng)Δx→0時,→2x2+2x+2, 令2x2+2x+2=14,解得x=2或x=-3(舍), 即經(jīng)過2s該物體的運(yùn)動速度達(dá)到14m/s. 13.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求適合f′(x0)+2=g′(x0)的x0的值. 解 由導(dǎo)數(shù)的定義知, f′(x0)==2x0, g′(x0)==3x. 因為f′(x0)+2=g′(x0), 所以2x0+2=3x, 即3x-2x0-2=0, 解得x0=或x0=. 14.已知函數(shù)f(x)=,則f′(1)等于( ) A.- B.1 C.2 D. 答案 A 解析 f′(1)== ==-. 15.建造一棟面積為xm2的房屋需要成本y萬元,y是x的函數(shù),y=f(x)=++0.3,求f′(100),并解釋它的實際意義. 解 = = =+=+, 所以當(dāng)x=100時, = =0.105 (萬元/m2), 即f′(100)=0.105. f′(100)=0.105表示當(dāng)建筑面積為100m2時,成本增加的速度為1050元/m2,也就是說當(dāng)建筑面積為100m2時,每增加1m2的建筑面積,成本就要增加1050元.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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