2019高考數(shù)學(xué) 專題十八 圓錐曲線綜合精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文.doc

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培優(yōu)點十八 圓錐曲線綜合 1．直線過定點 例1：已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，且． （1）求的方程； （2）若直線是圓上的點處的切線，點是直線上任一點，過點作橢圓的切線，，切點分別為，，設(shè)切線的斜率都存在．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）證明見解析，． 【解析】（1）由已知，設(shè)橢圓的方程為， 因為，不妨設(shè)點，代入橢圓方程得， 又因為，所以，，所以，， 所以的方程為． （2）依題設(shè)，得直線的方程為，即， 設(shè)，，， 由切線的斜率存在，設(shè)其方程為， 聯(lián)立得，， 由相切得， 化簡得，即， 因為方程只有一解，所以，所以切線的方程為， 即，同理，切線的方程為， 又因為兩切線都經(jīng)過點，所以，所以直線的方程為， 又，所以直線的方程可化為， 即，令，得， 所以直線恒過定點． 2．面積問題 例2：已知橢圓的左、右焦點分別為、，焦距為4，直線與橢圓相交于、兩點，關(guān)于直線的對稱點在橢圓上．斜率為的直線與線段相交于點，與橢圓相交于、兩點． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求四邊形面積的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由橢圓焦距為4，設(shè)，，連結(jié)，設(shè)， 則，又，得，， ， 解得，，所以橢圓方程為． （2）設(shè)直線方程：，、， 由，得，所以， 由（1）知直線：，代入橢圓得，，得，由直線與線段相交于點，得， ， 而與，知，， 由，得，所以， 四邊形面積的取值范圍． 3．參數(shù)的值與范圍 例3：已知拋物線的焦點，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于，兩點． （1）求拋物線的方程以及的值； （2）記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，若，，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）拋物線的焦點， ，則，拋物線方程為； 點在拋物線上，． （2）依題意，，設(shè)，設(shè)、， 聯(lián)立方程，消去，得． 所以 ①，且， 又，則，即， 代入①得，消去得， ，則，， 則 ， 當(dāng)，解得，故． 4．弦長類問題 例4：已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點，且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）若直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題意可知：，又橢圓的上頂點為， 雙曲線的漸近線為：， 由點到直線的距離公式有：，∴橢圓方程． （2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，代入，消去并整理得： ， 要與相交于兩點，則應(yīng)有：， 設(shè)，， 則有：，． 又． 又：，所以有：， ，② 將，代入，消去并整理得：， 要有兩交點，則．③ 由①②③有． 設(shè)、．有，， ． 將代入有． ，令，， 令，． 所以在內(nèi)恒成立，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增， 故． 5．存在性問題 例5：已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個不同交點，時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則， ∵在橢圓上，∴， ∴，，故橢圓的方程為． （2）假設(shè)這樣的直線存在，設(shè)直線的方程為， 設(shè)，，，，的中點為， 由，消去，得， ∴，且，故且， 由，知四邊形為平行四邊形， 而為線段的中點，因此為線段的中點， ∴，得， 又，可得，∴點不在橢圓上， 故不存在滿足題意的直線． 對點增分集訓(xùn) 一、解答題 1．已知動圓過點并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為． （1）求曲線的軌跡方程； （2）過點的直線與軌跡交于、兩點，設(shè)直線，設(shè)點，直線交于，求證：直線經(jīng)過定點． 【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）由已知，， 軌跡為雙曲線的右支，，，， 曲線標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）由對稱性可知，直線必過軸的定點， 當(dāng)直線的斜率不存在時，，，，知直線經(jīng)過點， 當(dāng)直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線，，， 直線，當(dāng)時，，， 得，，， 下面證明直線經(jīng)過點，即證，即， 即，由，， 整理得，，即 即證經(jīng)過點，直線過定點． 2．已知點在橢圓上，設(shè)，分別為橢圓的左頂點、下頂點，原點到直線的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)為橢圓在第一象限內(nèi)一點，直線，分別交軸、軸于，兩點，求四邊形的面積． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因為橢圓經(jīng)過點，有， 由等面積法，可得原點到直線的距離為， 聯(lián)立兩方程解得，，所以橢圓的方程為． （2）設(shè)點，則，即． 直線，令，得． 從而有，同理，可得． 所以四邊形的面積為 ． 所以四邊形的面積為． 3．已知點為圓的圓心，是圓上的動點，點在圓的半徑上，且有點和上的點，滿足，． （1）當(dāng)點在圓上運動時，判斷點的軌跡是什么？并求出其方程； （2）若斜率為的直線與圓相切，與（1）中所求點的軌跡交于不同的兩點，， 且（其中是坐標(biāo)原點），求的取值范圍． 【答案】（1）是以點，為焦點，焦距為2，長軸長為的橢圓，；（2）． 【解析】（1）由題意是線段的垂直平分線， 所以， 所以點的軌跡是以點，為焦點，焦距為2，長軸長為的橢圓， ∴，，， 故點的軌跡方程是． （2）設(shè)直線：，，， 直線與圓相切，得，即， 聯(lián)立，消去得：， ，得， ，， ∴ ， 所以，得， ∴，解得或， 故所求范圍為． 4．已知橢圓的焦距為，離心率為，圓，，是橢圓的左右頂點，是圓的任意一條直徑，面積的最大值為2． （1）求橢圓及圓的方程； （2）若為圓的任意一條切線，與橢圓交于兩點，，求的取值范圍． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）設(shè)點到軸距離為，則，易知當(dāng)線段在軸時，，， ，，，，， 所以橢圓方程為，圓的方程為． （2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時； 設(shè)直線方程為：，直線為圓的切線，，， 直線與橢圓聯(lián)立，，得， 判別式，由韋達定理得：， 所以弦長，令， 所以； 綜上，， 5．如圖，己知、是橢圓的左、右焦點，直線經(jīng)過左焦點，且與橢圓交，兩點，的周長為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）是否存在直線，使得為等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）不存在，見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因為直線與軸的交點為，故． 又的周長為，即，故，所以，． 因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）不存在．理由如下： 先用反證法證明不可能為底邊，即． 由題意知，設(shè)，，假設(shè)，則， 又，，代入上式，消去，得：． 因為直線斜率存在，所以直線不垂直于軸，所以，故． (與，，矛盾） 聯(lián)立方程，得：，所以矛盾． 故． 再證明不可能為等腰直角三角形的直角腰． 假設(shè)為等腰直角三角形，不妨設(shè)為直角頂點． 設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，此方程無解．故不存在這樣的等腰直角三角形．