2019高考數學大二輪復習 專題10 系列4選講 第1講 坐標系與參數方程真題押題精練 理.doc

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第1講　坐標系與參數方程 1. (2018高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2．(2018高考全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為(θ為參數)，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數方程． 解析：(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數方程為 . 設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數方程是 . 3．(2017高考全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為(t為參數)，直線l2的參數方程為(m為參數)．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． 解析：(1)消去參數t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去參數m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)． 設P(x，y)，由題設得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 聯(lián)立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. 1.已知橢圓C：(φ為參數)，A，B是橢圓C上的動點，且滿足OA⊥OB(O為坐標原點)．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點D的極坐標為(4，)． (1)求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程； (2)利用橢圓C的極坐標方程證明＋為定值，并求△AOB面積的最大值． 解析：(1)點D的直角坐標為(2,2)． 由題意可設點A的坐標為(2cos α，sin α)， 則AD的中點M的坐標為(1＋cos α，＋sin α)， 所以點M的軌跡E的參數方程為(α為參數)， 消去α可得E的普通方程為(x－1)2＋4(y－)2＝1. (2)證明：橢圓C的普通方程為＋y2＝1，化為極坐標方程得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，變形得ρ＝ . 由OA⊥OB，不妨設A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)， 所以＋＝＋＝＋＝＝(定值)． 所以△AOB的面積S＝ρ1ρ2 ＝＝ ＝ . 易知當sin 2θ＝0時，△AOB的面積取得最大值1. 2．已知直線l的參數方程為(t為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4sin(θ－)． (1)求圓C的直角坐標方程； (2)若P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sin(θ－)的公共點，求x＋y的取值范圍． 解析：(1)因為圓C的極坐標方程為ρ＝4sin(θ－)， 所以ρ2＝4ρsin(θ－)＝4ρ(sin θ－cos θ)． 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以x2＋y2＝2y－2x， 故圓C的直角坐標方程為x2＋y2＋2x－2y＝0. (2)設z＝x＋y.由圓C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得(x＋1)2＋(y－)2＝4， 所以圓C的圓心是(－1，)，半徑是2. 將代入z＝x＋y，得z＝－t， 又直線l過C(－1，)，圓C的半徑是2， 所以|t|≤2，解得－2≤t≤2， 所以－2≤－t≤2，即－2≤z≤2. 故x＋y的取值范圍是[－2,2]．