2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 1.1 歸納推理學(xué)案 北師大版選修1 -2.docx
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1.1 歸納推理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解歸納推理的含義.2.能用歸納方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用. 知識(shí)點(diǎn) 歸納推理 思考 (1)一個(gè)人看見一群烏鴉都是黑的,于是說“天下烏鴉一般黑”; (2)銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導(dǎo)電,猜想:一切金屬都能導(dǎo)電. 以上屬于什么推理? 答案 屬于歸納推理.符合歸納推理的定義特征,即由部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理. 梳理 歸納推理的定義及特征 定義 根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性,我們將這種推理方式稱為歸納推理 特征 (1)歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理. (2)利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的 1.歸納推理得到的結(jié)論可作為定理應(yīng)用.( ) 2.由個(gè)別到一般的推理為歸納推理.( √ ) 3.由歸納推理得出的結(jié)論一定是正確的.( ) 類型一 歸納推理在數(shù)與式中的應(yīng)用 例1 (1)觀察下列等式: 1+1=21, (2+1)(2+2)=2213, (3+1)(3+2)(3+3)=23135, … 照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為_______________________________________________. (2)已知f(x)=,設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且n∈N+),則f3(x)的表達(dá)式為________,猜想fn(x)(n∈N+)的表達(dá)式為________. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 (1)(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1) (2)f3(x)= fn(x)= 解析 (1)觀察規(guī)律可知,左邊為n項(xiàng)的積,最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n+1),(n+n),右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n,則第n個(gè)等式為(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1). (2)∵f(x)=,∴f1(x)=. 又∵fn(x)=fn-1(fn-1(x)), ∴f2(x)=f1(f1(x))==, f3(x)=f2(f2(x))==, f4(x)=f3(f3(x))==, f5(x)=f4(f4(x))==, ∴根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn(x)=. 引申探究 在本例(2)中,若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改為“fn(x)=f(fn-1(x))”,其他條件不變,試猜想fn(x) (n∈N+)的表達(dá)式. 解 ∵f(x)=,∴f1(x)=. 又∵fn(x)=f(fn-1(x)), ∴f2(x)=f(f1(x))==, f3(x)=f(f2(x))==, f4(x)=f(f3(x))==. 因此,可以猜想fn(x)=. 反思與感悟 已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法 (1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律; (2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形成的特征; (3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn); (4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論. 跟蹤訓(xùn)練1 已知:1>;1++>1;1++++++>;1+++…+>2;…. 根據(jù)以上不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),歸納出一般性結(jié)論. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 解 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,猜想不等式左邊最后一項(xiàng)的分母為2n-1,而不等式右端依次分別為,,,,…,. 歸納得一般性結(jié)論:1+++…+>(n∈N+). 類型二 歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用 例2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=(n=1,2,3,…),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用 解 當(dāng)n=1時(shí),a1=1, 當(dāng)n=2時(shí),a2==, 當(dāng)n=3時(shí),a3==, 當(dāng)n=4時(shí),a4==, …, 歸納得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n=1,2,3,…). 反思與感悟 用歸納推理解決數(shù)列問題的方法 在求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式中,經(jīng)常用到歸納推理得出結(jié)論,在得出具體結(jié)論后,要注意統(tǒng)一形式,以便尋找規(guī)律,然后歸納猜想得出結(jié)論. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,則運(yùn)用歸納推理得到第11行第2個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為( ) …… A.B.C.D. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用 答案 B 解析 由“萊布尼茲調(diào)和三角形”中數(shù)的排列規(guī)律,我們可以推斷:第10行的第一個(gè)數(shù)為,第11行的第一個(gè)數(shù)為,第11行的第2個(gè)數(shù)為-=. 類型三 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 例3 如圖(1)是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊,圖(2),圖(3)是由(1)中的小正方體木塊疊放而成的.按照這樣的規(guī)律擺放下去,第7個(gè)圖形中,小正方體木塊的總個(gè)數(shù)是________. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案 91 解析 記第n個(gè)圖形中木塊的總數(shù)為an,觀察前三個(gè)圖形中的木塊數(shù)可知,a1=1,a2=1+(1+4)=1+5=6,a3=1+5+(5+4)=1+5+9=15,按照題中的規(guī)律放下去,可知,第7個(gè)圖形中小木塊的總個(gè)數(shù)為1+5+9+…+25=91. 反思與感悟 歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略 跟蹤訓(xùn)練3 如圖,在所給的四個(gè)選項(xiàng)中,能使兩組圖呈現(xiàn)一定的規(guī)律性的為( ) 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案 A 解析 觀察第一組中的三個(gè)圖,可知每一個(gè)黑色方塊都從右向左循環(huán)移動(dòng),每次向左移動(dòng)一格,由第二組的前兩個(gè)圖,可知整體圖形再次向左移動(dòng)一格,第三個(gè)圖,左邊沒有格的情況下,應(yīng)從最右邊出現(xiàn),故選A. 1.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)1234569+7等于( ) 19+2=11 129+3=111 1239+4=1111 12349+5=11111 123459+6=111111 … A.1111110 B.1111111 C.1111112 D.1111113 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 B 解析 由數(shù)塔猜測(cè)應(yīng)是各位都是1的七位數(shù), 即1111111. 2.已知a1=1,a2=,a3=,a4=,則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于( ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用 答案 C 解析 a1=,a2=,a3=,a4=, 則an=. 3.已知x>1,由不等式x+>2;x2+>3;x3+>4;…,可以推廣為( ) A.xn+>n B.xn+>n+1 C.xn+>n+1 D.xn+>n 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 B 解析 不等式左邊是兩項(xiàng)的和,第一項(xiàng)是x,x2,x3,…,右邊的數(shù)是2,3,4,…,利用此規(guī)律觀察所給的不等式,都是寫成xn+>n+1的形式,從而歸納出一般性結(jié)論:xn+>n+1,故選B. 4.有一串彩旗,代表藍(lán)色,代表黃色.兩種彩旗排成一行:…,那么在前200個(gè)彩旗中黃旗的個(gè)數(shù)為( ) A.111B.89C.133D.67 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案 D 解析 觀察彩旗排列規(guī)律可知,顏色的交替成周期性變化,周期為9,每9個(gè)旗子中有3個(gè)黃旗,則2009=22余2,則200個(gè)旗子中黃旗的個(gè)數(shù)為223+1=67.故選D. 5.按照?qǐng)D1、圖2、圖3的規(guī)律,第10個(gè)圖中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案 40 解析 圖1中的點(diǎn)數(shù)為4=14, 圖2中的點(diǎn)數(shù)為8=24, 圖3中的點(diǎn)數(shù)為12=34,…, 所以圖10中的點(diǎn)數(shù)為104=40. 1.歸納推理的四個(gè)特點(diǎn) (1)前提:幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所包括的范圍. (2)結(jié)論:具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn),因此,歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具. (3)步驟:先搜集一定的事實(shí)資料,有了個(gè)別性的、特殊性的事實(shí)作為前提,才能進(jìn)行歸納推理,因此歸納推理要在觀察和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行. (4)作用:具有創(chuàng)造性的推理,通過歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實(shí),獲得新結(jié)論,是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段. 2.歸納推理解決問題的思維過程 實(shí)驗(yàn)、觀察→分析概括→猜測(cè)總結(jié) 一、選擇題 1.觀察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根據(jù)上述規(guī)律可知,13+23+33+43+53+63等于( ) A.192B.202C.212D.222 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 C 解析 由題意可知,13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212. 2.觀察圖形規(guī)律,在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為( ) A.B.△C.D.○ 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案 A 解析 觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律:①每行、每列中,方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次,②每行、每列有兩陰影一空白,即得結(jié)果. 3.觀察下列式子:1+<,1++<,1+++<,…,根據(jù)以上式子可以猜想:1+++…+小于( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 C 解析 觀察可以發(fā)現(xiàn),第n(n≥1)個(gè)不等式左端有n+1項(xiàng),分子為1,分母依次為12,22,32,…,(n+1)2;右端分母為n+1,分子成等差數(shù)列,首項(xiàng)為3,公差為2,因此第n個(gè)不等式為1+++…+<,所以當(dāng)n=2018時(shí)不等式為1+++…+<. 4.觀察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,則72019的末兩位數(shù)字為( ) A.01B.43C.07D.49 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 B 解析 由71=7,72=49,73=343,74=2401, 75=16807,76=117649,77=823543, 可以看出末兩位數(shù)字呈周期出現(xiàn),且周期為4, 20194=504…3. 所以72019的末兩位數(shù)字為43. 5.用火柴棒擺“金魚”,如圖所示.按照?qǐng)D中所示的規(guī)律,第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為( ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案 C 解析 從①②③可以看出,從圖②開始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根,故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列,第一個(gè)圖中火柴棒為8根,故可歸納出第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為6n+2. 6.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 C 解析 利用歸納法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=3+1=4,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123,規(guī)律為從第三組開始,其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和. 7.記Sk=1k+2k+3k+…+nk,當(dāng)k=1,2,3,…時(shí),觀察下列等式: S1=n2+n, S2=n3+n2+n, S3=n4+n3+n2, S4=n5+n4+n3-n, S5=An6+n5+n4+Bn2, …, 可知推測(cè)A-B等于( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用 答案 D 解析 觀察發(fā)現(xiàn)各式等號(hào)右邊第一項(xiàng)的系數(shù)為對(duì)應(yīng)項(xiàng)指數(shù)的倒數(shù),且各項(xiàng)系數(shù)之和為1,故A=,B=-,所以A-B=. 8.如圖,已知△ABC的周長(zhǎng)為2,連接△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形,再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形,依此類推,第2018個(gè)三角形的周長(zhǎng)為( ) A.B.C.D. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案 D 解析 ∵第一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為2,第二個(gè)三角形的周長(zhǎng)為1,第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)為,……,∴第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)為22-n,∴第2018個(gè)三角形的周長(zhǎng)為22-2018=. 二、填空題 9.經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式:+<2,+<2,+<2,…,根據(jù)以上不等式的規(guī)律,試寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a,b都成立的條件不等式:____________________________________. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 已知a,b是正實(shí)數(shù)且a≠b,若a+b=20,則+<2 10.觀察下列等式: 12=1; 12-22=-3; 12-22+32=6; 12-22+32-42=-10; …; 照此規(guī)律,第n個(gè)等式為________. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1 解析 12=1, 12-22=-(1+2), 12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4), …, 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2 =(-1)n+1(1+2+3+…+n) =(-1)n+1. 11.對(duì)于大于1的自然數(shù)m的n次冪可用奇數(shù)進(jìn)行如圖所示的“分裂”,仿此,記53的“分裂”中的最小數(shù)為a,52的“分裂”中的最大數(shù)是b,則a+b=________. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)對(duì)(組)中的應(yīng)用 答案 30 解析 觀察題圖易得 ∴a=21,b=9,∴a+b=30. 12.n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如表:根據(jù)規(guī)律,從2018到2020,箭頭的方向依次為________.(填序號(hào)) 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 答案?、? 解析 箭頭方向呈周期變化,且周期為4,20184=504…2,故填③. 三、解答題 13.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足Sn=,求出a1,a2,a3,并推測(cè)通項(xiàng)an. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用 解 ∵Sn=,∴S1=, 又∵S1=a1,∴a1=,∴a1=1(負(fù)值舍去). 又∵當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1, ∴an=-, ∴-an=an-1+,∴-a2=2, ∴a2=-1, 又∵an>0,∴a2=-1. 同理,a3=-. ∴a1=1,a2=-1,a3=-. 利用歸納推理,猜測(cè):an=-,n∈N+. 四、探究與拓展 14.給出以下數(shù)對(duì)序列: (1,1) (1,2),(2,1) (1,3),(2,2),(3,1) (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) … 記第n行的第m個(gè)數(shù)對(duì)為anm(m,n∈N+),如a43=(3,2),則: (1)a54=________;(2)anm=________________. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在數(shù)陣(表)中的應(yīng)用 答案 (1)(4,2) (2)(m,n-m+1) 解析 若anm=(a,b),則a=m,b=n-m+1, ∴a54=(4,2). 15.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,圖①②③④所示的為她們刺繡的最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的,小正方形數(shù)越多,刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形. (1)求f(5)的值; (2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式,并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式; (3)求+++…+的值. 考點(diǎn) 歸納推理的應(yīng)用 題點(diǎn) 歸納推理在圖形中的應(yīng)用 解 (1)f(5)=41. (2)f(2)-f(1)=4=41, f(3)-f(2)=8=42, f(4)-f(3)=12=43, f(5)-f(4)=16=44, …, 由上述規(guī)律,得f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(n+1)=f(n)+4n, f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4 =2n2-2n+1. (3)當(dāng)n≥2時(shí),==, ∴+++…+ =1+++…+ =1+=-.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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