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考點(diǎn)測(cè)試61 幾何概型
高考概覽
考綱研讀
1．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率
2．了解幾何概型的意義
一、基礎(chǔ)小題
1．在區(qū)間(0，4)上任取一數(shù)x，則<2x－1<1的概率是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 由題設(shè)可得－2
20，解得216，∴p1－p3>0，即p1>p3．
而p2－p3＝－ln 2＝ln<0，
∴p2p3>p2．
18．(2017江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镈．在區(qū)間[－4，5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________．
答案
解析 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2，3]．如圖，區(qū)間[－4，5]的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5，∴P＝．
三、模擬小題
19．(2018唐山模擬)右圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為( )
A．8 B．9 C．10 D．12
答案 B
解析 根據(jù)面積之比與點(diǎn)數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分的面積S＝44＝9．故選B．
20．(2018鄭州質(zhì)檢三)七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為( )
A．B．C．D．
答案 C
解析 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則由幾何概型的概率公式，知所求概率為＝．故選C．
21．(2018合肥質(zhì)檢三)如圖所示的圖形是一個(gè)正六邊形及其內(nèi)切圓，現(xiàn)采取隨機(jī)模擬的方法估計(jì)圓周率的值：隨機(jī)撒一把豆子，若落在正六邊形內(nèi)的豆子個(gè)數(shù)為N，落在圓內(nèi)的豆子個(gè)數(shù)為M，則估計(jì)圓周率π的值為( )
A．B．C．D．
答案 D
解析 設(shè)圓的半徑為r，則根據(jù)幾何概型的概率公式，可得＝，故π＝，選D．
22．(2018福建質(zhì)檢)如圖，已知曲線y＝sin＋3把邊長(zhǎng)為4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分．若在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )
A．B．C．D．
答案 A
解析 如圖，點(diǎn)D，E在直線y＝3上，F(xiàn)為y＝3與曲線y＝sin＋3(0＜x＜4)的交點(diǎn)．將y＝3代入y＝sin＋3得sin＝0．又因?yàn)?＜x＜4，所以x＝2．由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知y＝sin＋3的圖象關(guān)于點(diǎn)F(2，3)對(duì)稱，所以陰影部分的面積S＝S四邊形BCDE＝4(4－3)＝4．又因?yàn)镾正方形OABC＝44＝16，所以此點(diǎn)取自黑色部分的概率是＝．故選A．
23．(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢二)若向區(qū)域Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于1的概率為_(kāi)_______．
答案
解析 如圖，由題意知區(qū)域Ω的面積為1，在區(qū)域Ω內(nèi)，到原點(diǎn)的距離小于1的區(qū)域?yàn)殛幱安糠郑此姆种粋€(gè)圓，其面積為，所以所求概率為．
24．(2018合肥質(zhì)檢二)小李從網(wǎng)上購(gòu)買了一件商品，快遞員計(jì)劃在下午5：00～6：00之間送貨上門．已知小李下班到家的時(shí)間為下午5：30～6：00．快遞員到小李家時(shí)，若小李未到家，就將商品存放快遞柜中，則小李需要去快遞柜收取商品的概率等于________．
答案
解析 設(shè)快遞員到小李家的時(shí)間為5點(diǎn)x分，小李到家的時(shí)間為5點(diǎn)y分，則依題意，若需要去快遞柜收取商品，需滿足
則可行域所表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．由于隨機(jī)試驗(yàn)落在矩形方框內(nèi)的任何位置的等可能性，進(jìn)而依據(jù)幾何概型的概率公式，可得小李需要去快遞柜收取商品的概率為＝．
一、高考大題
本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型．
二、模擬大題
1．(2018湖北黃岡、黃石等八市聯(lián)考)若張三每天的工作時(shí)間在6小時(shí)至9小時(shí)之間隨機(jī)均勻分布，求張三連續(xù)兩天平均工作時(shí)間不少于7小時(shí)的概率．
解 設(shè)第一天工作的時(shí)間為x小時(shí)，第二天工作的時(shí)間為y小時(shí)，則因?yàn)檫B續(xù)兩天平均工作時(shí)間不少于7小時(shí)，所以≥7，即x＋y≥14，表示的區(qū)域面積為9，其中滿足x＋y≥14的區(qū)域面積為9－22＝7，∴張三連續(xù)兩天平均工作時(shí)間不少于7小時(shí)的概率是．
2．(2018安徽皖南地區(qū)調(diào)研)某港口有一個(gè)泊位，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位?？康臅r(shí)間(單位：小時(shí))，如果?？繒r(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí)，超過(guò)半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí)，依此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
?？繒r(shí)間
2．5
3
3．5
4
4．5
5
5．5
6
輪船數(shù)量
12
12
17
20
15
13
8
3
(1)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r(shí)間為a小時(shí)，求a的值；
(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠a小時(shí)，且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r(shí)必須等待的概率．
解 (1)a＝(2．512＋312＋3．517＋420＋4．515＋513＋5．58＋63)＝4．
(2)設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為x，乙船到達(dá)的時(shí)間為y，則
若這兩艘輪船在?？吭摬次粫r(shí)至少有一艘船需要等待，則|y－x|<4，符合題意的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?不包括x，y軸)，
所以所求概率P＝＝，
則這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r(shí)必須等待的概率為．
3．(2018山東臨沂一模)設(shè)f(x)和g(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意x∈[1，2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，則稱f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，設(shè)f(x)＝ax，g(x)＝．
(1)若a∈{1，4}，b∈{－1，1，4}，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率；
(2)若a∈[1，4]，b∈[1，4]，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率．
解 (1)設(shè)事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，
則|f(x)＋g(x)|(x∈[1，2])所有的情況有：
x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，
共6種且每種情況被取到的可能性相同．
又當(dāng)a>0，b>0時(shí)，
ax＋在上遞減，在上遞增；
x－和4x－在(0，＋∞)上遞增，
∴對(duì)x∈[1，2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，
故事件A包含的基本事件有4種，
∴P(A)＝＝，故所求概率是．
(2)設(shè)事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，
∵a是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)，b是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)，
∴點(diǎn)(a，b)所在區(qū)域是長(zhǎng)為3，寬為3的矩形區(qū)域．
要使x∈[1，2]時(shí)，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋≤8，
∴事件B表示的點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分．
∴P(B)＝＝，
故所求概率是．
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