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第6課時 函數的單調性與導數
基礎達標(水平一)
1.函數f(x)=x3-3x2+1的單調遞減區(qū)間為( ).
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-∞,0) D.(0,2)
【解析】函數f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)<0,得0
0,則當20,
∴函數f(x)在(2,+∞)上單調遞減,(-∞,2)上單調遞增.
又∵2f(log2a)>f(2a).
【答案】A
3.已知函數f(x),g(x)滿足當x∈R時,f(x)g(x)+f(x)g(x)>0,若a>b,則有( ).
A.f(a)g(a)=f(b)g(b)
B.f(a)g(a)>f(b)g(b)
C.f(a)g(a)0,∴f(x)g(x)在R上是增函數.∵a>b,∴f(a)g(a)>f(b)g(b).
【答案】B
4.已知函數y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導函數y=f(x)的圖象如圖所示,則該函數的圖象是( ).
【解析】在區(qū)間(-1,1)上,f(x)>0,因此函數y=f(x)在區(qū)間(-1,1)上為增函數,易知四個選項都符合.在區(qū)間(-1,0)上,f(x)單調遞增,故y=f(x)在區(qū)間(-1,0)上增加的越來越快,函數圖象應為指數增長的模式;在區(qū)間(0,1)上,f(x)單調遞減,故y=f(x)在區(qū)間(0,1)上增加的越來越慢,函數圖象應為對數增長的模式.故選B.
【答案】B
5.函數f(x)=(x-3)ex的單調遞增區(qū)間是 .
【解析】f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令f(x)>0,解得x>2.
【答案】(2,+∞)
6.函數y=ax3-x在R上是減函數,則實數a的取值范圍為 .
【解析】∵y=3ax2-1,且函數y=ax3-x在R上是減函數,
∴y=3ax2-1≤0在R上恒成立.
當x=0時,y=3ax2-1≤0在R上顯然成立;
當x≠0時,a≤13x2在R上恒成立,∴a≤0.
【答案】(-∞,0]
7.設函數f(x)=ln x-2ax,a>0,求函數f(x)的單調區(qū)間.
【解析】由題意知f(x)=ln x-2ax的定義域為(0,+∞),
且f(x)=1x-2a,
因為a>0,x>0,令1x-2a>0,則1-2ax>0.
所以當x∈0,12a時,f(x)>0,
當x∈12a,+∞時,f(x)<0.
所以當a>0時,函數f(x)的單調遞增區(qū)間是0,12a,單調遞減區(qū)間是12a,+∞.
拓展提升(水平二)
8.已知函數y=xf(x)的圖象如圖所示,下面四個圖象中能大致表示y=f(x)的圖象的是( ).
【解析】由題圖可知,當x<-1時,xf(x)<0,所以f(x)>0,此時y=f(x)為增函數,圖象應是上升的;當-10,所以f(x)<0,此時y=f(x)為減函數,圖象應是下降的;當01時,xf(x)>0,所以f(x)>0,此時y=f(x)為增函數,圖象應是上升的.由上述分析,可知選C.
【答案】C
9.如圖所示的是函數f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象,f(x)為函數f(x)的導函數,則不等式xf(x)<0的解集為.
【解析】由f(x)的圖象知,f(x)在(-∞,-3)和(3,+∞)上為增函數,在(-3,3)內為減函數,
∴當x∈(-∞,-3)∪(3,+∞)時,f(x)>0;
當x∈(-3,3)時,f(x)<0.
∴xf(x)的解集為{x|x<-3或00得f(x)的增區(qū)間為12,+∞;由y<0得f(x)的減區(qū)間為0,12,由于函數在(k-1,k+1)上不單調,所以k-1<120,
所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上為增函數,
故當0≤a<1時,f(x)在(-∞,0)上為增函數.
②當a≥1時,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),則f(x)>0,
所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上為增函數,
從而f(x)在(-∞,0)上也為增函數.
綜上所述,a的取值范圍為[0,+∞).
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