沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點特色突破 專題15 直線與圓(2)(含解析).doc
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專題15 直線與圓(2) 【自主熱身,歸納總結(jié)】 1、 圓心在直線y=-4x上,且與直線x+y-1=0相切于點P(3,-2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 【答案】: (x-1)2+(y+4)2=8 解法1 設(shè)圓心為(a,-4a),則有r==,解得a=1,r=2,則圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. 解法2 過點P(3,-2)且垂直于直線x+y-1=0的直線方程為x-y-5=0,聯(lián)立方程組解得則圓心坐標(biāo)為(1,-4),半徑為r==2,故圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. 2、 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=16相交于A,B兩點,且△ABC為直角三角形,則實數(shù)a的值是________. 【答案】: -1 【解析】:因為△ABC為直角三角形,所以BC=AC=r=4,所以圓心C到直線AB的距離為2,從而有=2,解得a=-1. 3、 已知直線l:x+y-2=0與圓C:x2+y2=4交于A,B兩點,則弦AB的長度為________. 【答案】:. 2 【解析】:圓心C(0,0)到直線l的距離d==1,由垂徑定理得AB=2=2=2,故弦AB的長度為2. 4、已知過點的直線被圓截得的弦長為4,則直線的方程為 . 【答案】:或 【解析】:化成標(biāo)準(zhǔn)式為:.因為截得弦長為4 小于直徑故該直線必有兩條且圓心到直線的距離為.當(dāng)斜率不存在時, ,顯然符合要求。當(dāng)斜率存在時,,,截得, 故直線為. 5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若動圓C上的點都在不等式組,表示的平面區(qū)域內(nèi),則面積最大的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 【答案】: (x-1)2+y2=4 【解析】:首先由線性約束條件作出可行域,面積最大的圓C即為可行域三角形的內(nèi)切圓(如圖),由對稱性可知,圓C的圓心在x軸上,設(shè)半徑為r,則圓心C(3-r,0),且它與直線x-y+3=0相切,所以=r,解得r=2,所以面積最大的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4. 6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若圓(x-2)2+(y-2)2=1上存在點M,使得點M關(guān)于x軸的對稱點N在直線kx+y+3=0上,則實數(shù)k的最小值為________. 7、已知經(jīng)過點P的兩個圓C1,C2都與直線l1:y=x,l2:y=2x相切,則這兩圓的圓心距C1C2=________. 【答案】 【解析】:易求直線C1C2的方程為y=x,設(shè)C1(x1,x1),C2(x2,x2), 由題意得C1(x1,x1)到直線2x-y=0的距離等于C1P,即=,整理得9x-25x1+=0,同理可得9x-25x2+=0,所以x1,x2是方程9x2-25x+=0的兩個實數(shù)根,從而x1+x2=,x1x2=,所以圓心距C1C2=|x1-x2|===. 8、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+(y-3)2=2,點A是x軸上的一個動點,AP,AQ分別切圓C于P,Q兩點,則線段PQ長的取值范圍是________. 【答案】 【解析】:設(shè)∠PCA=θ,所以PQ=2sinθ.又cosθ=,AC∈[3,+∞),所以cosθ∈,所以cos2θ∈,sin2θ=1-cos2θ∈,所以sinθ∈,所以PQ∈. 與切線有關(guān)的問題,一般都不需要求出切點,而是利用直線與圓相切時所得到的直角三角形轉(zhuǎn)化為點與圓心的距離問題求解. 9、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點,點,為圓上一動點,則的最大值是 . 【答案】、2 【解析】1:設(shè),則,, 令,即,則動直線與圓必須有公共點,所以,解得,所以,即,的最大值是. (有了上面的解法,也可設(shè),直接通過動直線與圓有公共點來解決) 【解析】2:設(shè),則, 令, 則,即,因為, 所以,則動直線與圓必須有公共點,所以,解得,即,的最大值是. 【解析】3:因為為圓上一動點,故設(shè)(),則令,整理為,由,解得,從而,的最大值是. 10、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=9,直線l:y=kx+3與圓C相交于A,B兩點,M為弦AB上一動點,以M為圓心,2為半徑的圓與圓C總有公共點,則實數(shù)k的取值范圍為 . 【答案】 思路分析:根據(jù)兩個圓的位置關(guān)系的判斷方法,本題即要求則可,根據(jù)圖形的對稱性, 當(dāng)點位于的中點時存在公共點,則在其它位置時,一定存在公共點,由點到直線的距離不難得到答案。 【解析】:由題意得對于任意的點恒成立,由圖形的對稱性可知,只需點位于的中點時存在則可。由點到直線的距離得,解得。 11、已知點A(0,1),B(1,0),C(t,0),點D是直線AC上的動點,若AD≤2BD恒成立,則最小正整數(shù)t的值為________. 【答案】 4 解法1 設(shè)點D(x,y),因為AD≤2BD,A(0,1),B(1,0),所以≤2,整理得2+2≥,它表示以為圓心,以為半徑的圓及其外部,又因為直線AC為+y=1,即x+ty-t=0,且點D是直線AC上的動點,所以直線AC與圓相離,即≥,即t2-4t+1≥0,解得t≥2+(t≤2-舍),所以最小正整數(shù)t的值為4. 解法2 設(shè)點D(x,y),因為A(0,1),C(t,0),點D在直線AC上,所以有且只有一個實數(shù)λ,使=λ,所以(x,y-1)=λ(t,-1),從而x=tλ,y=1-λ,即點D(tλ,1-λ), 又因為AD≤2BD恒成立,所以≤2在R上恒成立, 即3(t2+1)λ2-8(t+1)λ+8≥0在R上恒成立, 令f(λ)=3(t2+1)λ2-8(t+1)λ+8, 所以Δ≤0恒成立,即t2-4t+1≥0,解得t≥2+(t≤2-舍),所以最小整數(shù)t的值為4. 綜上所述,滿足條件的最小正整數(shù)t的值為4. 12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)直線y=-x+2與圓x2+y2=r2(r>0)交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,若圓上一點C滿足=+,則實數(shù)r=________. 解法2 由=,得r2+r2+2=8?、?由=+,得2=r2++=r2?、?由①②可知r2=10,即r=. 解法3 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),由=+得則x2+y2=2+2=x+y+x1x2+x+y+y1y2.由題意得r2=r2+r2+(x1x2+y1y2),聯(lián)立直線y=-x+2與圓x2+y2=r2(r>0)的方程,得2x2-4x+4-r2=0.由韋達(dá)定理得x1x2=,x1+x2=2,y1y2=x1x2-2x1-2x2+4=,代入上式可解得r=. 解法4 由=+得=+,設(shè)OC與AB交于點M,則A,M,B三點共線.由∠AMO與∠BMO互補(bǔ)結(jié)合余弦定理可求得AB=r,過點O作AB的垂線交AB于點D,根據(jù)圓心O到直線y=-x+2的距離為OD==,得2+()2=r2,解得r2=10,所以r=. 【問題探究,變式訓(xùn)練】 例1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=1,圓M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a為實數(shù)).若圓O與圓M上分別存在點P,Q,使得∠OQP=30,則a的取值范圍為 ▲ . 【答案】.[-,0] 【思路分析】本題中在兩個圓上分別存在點P,Q,使得∠OQP=30是本題的關(guān)鍵.首先對于圓O,可以根據(jù)∠OQP=30得出點Q的軌跡,再將點Q的存在性問題轉(zhuǎn)化為點Q的軌跡與圓M有公共點,從而求出參數(shù)的取值范圍. 過Q點作圓O的切線,設(shè)切點為,在圓O上要存在點P滿足, 即,又,即.設(shè),所以 又點Q在圓M上,即圓M與有公共點,所以有, 解得. 【解后反思】一般地對于圓上存在一點的問題,都可以利用其所給幾何條件求出點的軌跡,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點的軌跡與圓的位置關(guān)系問題,其中常見的動點軌跡有直線、線段、圓、圓面等. 【變式1】、.已知圓O:x2+y2=1,圓M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圓M上存在點P,過點P作圓O的兩條切線,切點為A,B,使得∠APB=60,則實數(shù)a的取值范圍為________. 【答案】. 【解析】:由題意得圓心M(a,a-4)在直線x-y-4=0上運動,所以動圓M是圓心在直線x-y-4=0上,半徑為1的圓;又因為圓M上存在點P,使經(jīng)過點P作圓O的兩條切線,切點為A,B,使∠APB=60,所以O(shè)P=2,即點P也在x2+y2=4上,于是2-1≤≤2+1,即1≤≤3,解之得實數(shù)a的取值范圍是. 解題反思 一方面,要注意點P在動圓M上,另一方面,點P也在x2+y2=4上,從而將所求解的問題轉(zhuǎn)化成研究圓與圓的位置關(guān)系問題,此類試題出現(xiàn)頻率高,希望考生重視. 【變式2】、已知點A(0,2)為圓M:x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外一點,圓M上存在點T,使得∠MAT=45,則實數(shù)a的取值范圍是________. 【答案】:[-1,1) 【解析】:圓M的方程可化為(x-a)2+(y-a)2=2a2.圓心為M(a,a),半徑為a.當(dāng)A,M,T三點共線時,∠MAT=0最小,當(dāng)AT與圓M相切時,∠MAT最大.圓M上存在點T,使得∠MAT=45,只需要當(dāng)∠MAT最大時,滿足45≤∠MAT<90即可.MA==,此時直線AT與圓M相切,所以sin∠MAT== .因為45≤∠MAT<90,所以≤sin∠MAT<1,所以≤<1,解得-1≤a<1. 【變式3】、已知圓M:(x-1)2+(y-1)2=4,直線l:x+y-6=0,A為直線l上一點,若圓M上存在兩點B,C,使得∠BAC=60,則點A的橫坐標(biāo)的取值范圍是________. 【答案】[1,5] 對于圓M上任意兩點B,C,∠BAC的大小是變化的,有變化就有范圍,而60是范圍中的一個值.由此得到一個不等式. 首先,直線l與圓M相離,所以點A在圓M外.設(shè)AP,AQ分別與圓M相切于點P,Q,則∠PAQ≥∠BAC=60,從而∠MAQ≥30.因為MQ=2,所以MA≤4.設(shè)A(x0,6-x0),則MA2=(x0-1)2+(6-x0-1)2≤16,解得1≤x0≤5. 【關(guān)聯(lián)1】、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個動點,P(異于原點O)為y軸上的一個定點.若以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒為定值,則線段OP的長為________. 【答案】: 【解析】:設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為C(a,0),半徑為r(0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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