(浙江專用)2020版高考數學一輪復習 專題9 平面解析幾何 第70練 橢圓的定義與標準方程練習(含解析).docx
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第70練 橢圓的定義與標準方程 [基礎保分練] 1.(2019杭州模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0),若長軸的長為6,且兩焦點恰好將長軸三等分,則此橢圓的標準方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2.(2019杭州模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數列,則橢圓C的離心率為( ) A.B.C.D. 3.以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1,則橢圓長軸長的最小值為( ) A.1B.C.2D.2 4.已知P為橢圓C上一點,F1,F2為橢圓的焦點,且|F1F2|=2,若|PF1|與|PF2|的等差中項為|F1F2|,則橢圓C的標準方程為( ) A.+=1 B.+=1或+=1 C.+=1 D.+=1或+=1 5.設P是橢圓+=1上一點,P到兩焦點F1,F2的距離之差為2,則△PF1F2是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知橢圓+=1(a>b>0),M為橢圓上一動點,F1為橢圓的左焦點,則線段MF1的中點P的軌跡是( ) A.圓B.橢圓C.線段D.直線 7.已知橢圓+y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,點M在該橢圓上,且=0,則點M到y(tǒng)軸的距離為( ) A.B.C.D. 8.設P是橢圓+=1上一點,M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為( ) A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12 9.(2019學軍中學月考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),其關于直線y=bx的對稱點Q在橢圓上,則離心率e=________,S△FOQ=________. 10.(2018廣東五校協(xié)作體考試)已知橢圓C:+y2=1的兩焦點為F1,F2,點P(x0,y0)滿足0<+y<1,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是________. [能力提升練] 1.已知橢圓+=1的上焦點為F,直線x+y+1=0和x+y-1=0與橢圓相交于點A,B,C,D,則|AF|+|BF|+|CF|+|DF|等于( ) A.2B.4C.4D.8 2.(2019浙大附中模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F,直線y=x與C相交于A,B兩點,且AF⊥BF,則C的離心率為( ) A.B.-1C.D.-1 3.(2019金華十校聯(lián)考)已知橢圓+=1(a>b>0)經過圓x2+y2-4x-2y=0的圓心,則ab的取值范圍是( ) A. B.[4,+∞) C. D.(0,4] 4.橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P是橢圓上任意一點,則||||的取值范圍是( ) A.(0,4] B.(0,3] C.[3,4) D.[3,4] 5.已知橢圓+=1(m>0)的一個焦點是(0,1),若橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2的面積為,則點P的坐標是______________. 6.若橢圓+=1的焦點在x軸上,過點作圓x2+y2=1的切線,切點分別為A,B,直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓的方程為__________________________. 答案精析 基礎保分練 1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.B 8.C 9. 解析 設點Q(x,y),則由點Q與橢圓的右焦點F(1,0)關于直線y=bx對稱得解得 代入橢圓C的方程得 +=1, 結合a2=b2+1解得 則橢圓的離心率e==, S△FOQ=|OF| =1=. 10.[2,2) 解析 由點P(x0,y0)滿足0<+y<1, 可知P(x0,y0)一定在橢圓內(不包括原點),因為a=,b=1, 所以由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|<2a=2, 當P(x0,y0)與F1或F2重合時, |PF1|+|PF2|=2, 又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2, 故|PF1|+|PF2|的取值范圍是[2,2). 能力提升練 1.D [設橢圓的下焦點為F1,連接CF1,DF1,因為+=1, 所以c=1. 所以F(0,1), F1(0,-1), 由題意知,直線x+y-1=0過點F,直線x+y+1=0過點F1, 由橢圓的對稱性知,四邊形CFBF1為平行四邊形,AFDF1為平行四邊形, 所以|AF|=|DF1|,|BF1|=|CF|. 所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|DF1|+|BF|+|BF1|+|DF|=4a=8.] 2.D [由 得到(3a2+b2)x2=a2b2, 解得x=, 分別代入y=x,可得y=, 不妨令A, B, 則=, =, 因為AF⊥BF,所以=0, 即c2--=0, 即c2=, 又b2=a2-c2, 所以c2(3a2+a2-c2)=4a2(a2-c2), 整理得4a2c2-c4=4a4-4a2c2, 兩邊同除以a4并整理得e4-8e2+4=0, 解得e2=4-2或e2=4+2(舍去), 由e2=4-2可得e=-1(舍負).] 3.B [x2+y2-4x-2y=0即為(x-2)2+(y-1)2=5,圓心為(2,1), ∵+=1(a>b>0)經過圓x2+y2-4x-2y=0的圓心,∴+=1, ∵+=1≥2=, ∴ab≥4, 當且僅當b2=2,a2=8時等號成立. 據此可得:ab的取值范圍是[4,+∞).] 4.D [由橢圓定義,知||+||=4, 且橢圓+=1的長軸長為4,焦距為2, 所以1≤||≤3.令||=t, 則||=4-t. 令f(t)=||||=t(4-t) =-t2+4t,t∈[1,3], 由二次函數的性質可知,函數f(t)在t=2處取得最大值, 即f(t)max=f(2)=-22+42=4, 函數f(t)在t=1或t=3處取得最小值, 由于f(1)=f(3)=3, 故f(t)min=3,即||||的取值范圍是[3,4],故選D.] 5.(,0) 解析 由題意知焦點在y軸上, 所以a2=3,b2=m,由b2=a2-c2=2, 得m=2,由S=|F1F2||xP|=, 得xP=,代入橢圓方程得yP=0, 故點P的坐標是(,0). 6.+=1 解析 由題意可設斜率存在的切線的方程為y-=k(x-1)(k為切線的斜率),即2kx-2y-2k+1=0, 由=1,解得k=-, 所以圓x2+y2=1的一條切線方程為3x+4y-5=0, 求得切點A, 當直線l與x軸垂直時,k不存在,直線方程為x=1, 易知另一切點為B(1,0), 則直線AB的方程為y=-2x+2, 令y=0得右焦點為(1,0),即c=1. 令x=0得上頂點為(0,2),即b=2,所以a2=b2+c2=5, 故所求橢圓的方程為+=1.- 配套講稿:
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