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第15講 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值
1.函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值:
函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,f(a)=0;而且在點x=a附近的左側(cè) ,右側(cè) ,則點a叫作函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫作函數(shù)y=f(x)的極小值.
(2)函數(shù)的極大值:
函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,f(b)=0;而且在點x=b附近的左側(cè) ,右側(cè) ,則點b叫作函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫作函數(shù)y=f(x)的極大值.
極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.
2.函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.
(2)若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增,則 為函數(shù)的最小值, 為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,則 為函數(shù)的最大值, 為函數(shù)的最小值.
3.實際應用題
理解題意、建立函數(shù)模型,使用導數(shù)方法求解函數(shù)模型,根據(jù)求解結(jié)果回答實際問題.
常用結(jié)論
導數(shù)研究不等式的關(guān)鍵是函數(shù)的單調(diào)性和最值,各類不等式與函數(shù)最值關(guān)系如下:
不等式類型
與最值的關(guān)系
?x∈D,f(x)>M
?x∈D,f(x)min>M
?x∈D,f(x)
M
?x∈D,f(x)max>M
?x0∈D,f(x0)g(x)
?x∈D,[f(x)-g(x)]min>0
?x∈D,f(x)g(x2)
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)min>g(x2)max
(續(xù)表)
不等式類型
與最值的關(guān)系
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)min>g(x2)min
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)max
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)>g(x2)
?x1∈D1,?x2∈D2,
f(x1)max>g(x2)min
(注:上述的大于、小于分別改為不小于、不大于,相應的與最值關(guān)系對應的不等號也改變)
題組一 常識題
1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的極小值為 .
2.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間[-3,3]上的最大值是 .
3.[教材改編] 當x>0時,ln x,x,ex的大小關(guān)系是 .
4.[教材改編] 現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形,然后做成一個無蓋方盒,該方盒容積的最大值是 .
題組二 常錯題
◆索引:利用極值求參數(shù)時忽略對所求參數(shù)的檢驗;混淆極值與極值點的概念;連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上不一定存在最值;不等式問題中的易錯點.
5.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則a+b= .
6.函數(shù)g(x)=-x2的極值點是 ,函數(shù)f(x)=(x-1)3的極值點 (填“存在”或“不存在”).
7.函數(shù)g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分別是 ,在(1,2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”).
8.對任意實數(shù)x,不等式sin x≤a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ;存在實數(shù)x0,使不等式sin x0≤a成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
探究點一 利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題
微點1 由圖像判斷函數(shù)極值
例1 [2018杭州二中模擬] 如圖2-15-1所示,可導函數(shù)y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線為l:y=g(x).設(shè)h(x)=f(x)-g(x),則下列說法正確的是 ( )
圖2-15-1
A.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極大值點
B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的極小值點
C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的極值點
D.h(x0)≠0,x=x0不是h(x)的極值點
[總結(jié)反思] 可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)一定為零,是否為極值點以及是極大值點還是極小值點要看在極值點左、右兩側(cè)導數(shù)的符號.
微點2 已知函數(shù)求極值
例2 若x=1是函數(shù)f(x)=ax+ln x的極值點,則( )
A.f(x)有極大值-1
B.f(x)有極小值-1
C.f(x)有極大值0
D.f(x)有極小值0
[總結(jié)反思] 求函數(shù)極值的一般步驟:①先求函數(shù)f(x)的定義域,再求函數(shù)f(x)的導函數(shù);②求f(x)=0的根;③判斷在f(x)=0的根的左、右兩側(cè)f(x)的符號,確定極值點;④求出具體極值.
微點3 已知極值求參數(shù)
例3 [2018江西九校二聯(lián)] 若函數(shù)f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.0,62 B.1,62
C.-62,62 D.63,1∪1,62
[總結(jié)反思] 根據(jù)極值求參數(shù)的值(或取值范圍)就是根據(jù)極值點處的導數(shù)等于零、極值點處的函數(shù)值即極值列出關(guān)于參數(shù)的方程組(或不等式組),通過解方程組(或不等式組)求得參數(shù)的值(或取值范圍).
應用演練
1.【微點1】[2018河南中原名校質(zhì)檢] 已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導函數(shù)f(x)的大致圖像如圖2-15-2所示,則下列敘述正確的是 ( )
①f(b)>f(a)>f(c);
圖2-15-2
②函數(shù)f(x)在x=c處取得極小值,在x=e處取得極大值;
③函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值.
A.③
B.①②
C.①③
D.②
2.【微點3】函數(shù)f(x)=x2-aln x(a∈R)不存在極值點,則a的取值范圍是 ( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
3.【微點2】[2018安慶二模] 已知函數(shù)f(x)=2ef(e)ln x-xe(e是自然對數(shù)的底數(shù)),則f(x)的極大值為( )
A.2e-1 B.-1e
C.1 D.2ln 2
4.【微點3】[2018菏澤模擬] 已知函數(shù)f(x)=x3-ax+2的極大值為4,若函數(shù)g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的極小值不大于m-1,則實數(shù)m的取值范圍是 ( )
A.-9,-154 B.-9,-154
C.-154,+∞ D.(-∞,-9)
探究點二 利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題
例4 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+ln x.
(1)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax2+1,在其定義域上g(x)≤0恒成立,求實數(shù)a的最小值;
(2)若a>0時,f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2,求實數(shù)a的取值范圍.
[總結(jié)反思] (1)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值在端點處或區(qū)間內(nèi)的極值點處取得,上述值中最大的即為最大值、最小的即為最小值.如果函數(shù)在一個區(qū)間上(不論區(qū)間的類型)有唯一的極值點,則該點也是最值點.
(2)注意把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
變式題 (1)已知a≥1-xx+ln x對任意x∈1e,e恒成立,則a的最小值為 ( )
A.1 B.e-2 C.1e D.0
(2)[2018唐山三模] 已知a>0,f(x)=xexex+a,若f(x)的最小值為-1,則a= ( )
A.1e2 B.1e C.e D.e2
探究點三 利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題
例5 [2018南京四校聯(lián)考] 如圖2-15-3所示,某大型水上樂園內(nèi)有一塊矩形場地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC為直徑的半圓O1和半圓O2(半圓在矩形ABCD內(nèi)部)為兩個半圓形水上主題樂園,BC,CD,DA都建有圍墻,游客只能從線段AB處進出該主題樂園.為了進一步提高經(jīng)濟效益,水上樂園管理部門決定沿著AE,FB修建不銹鋼護欄,沿著線段EF修建該主題樂園大門并設(shè)置檢票口,其中E,F分別為AD,BC上的動點,EF∥AB,且線段EF與線段AB在圓心O1和O2連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費用為200元/米,直線部分的平均修建費用為400元/米.
圖2-15-3
(1)若EF=80米,則檢票等候區(qū)域(陰影部分)的面積為多少平方米?
(2)試確定點E的位置,使得修建費用最低.
[總結(jié)反思] (1)利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題的關(guān)鍵:理清數(shù)量關(guān)系、選取合適的自變量建立函數(shù)模型.
(2)注意:函數(shù)的定義域由實際問題確定,最后要把求解的數(shù)量結(jié)果“翻譯”為實際問題的答案.
變式題 某產(chǎn)品每件成本9元,售價30元,每星期賣出432件.如果降低價格,銷售量可以增加,若商品單價降低x(0≤x≤21)元,則一個星期增加的銷售量為kx2(k>0)件.已知商品單件降低2元時,一個星期的銷售量增加24件.(商品銷售利潤=商品銷售收入-商品銷售成本)
(1)將一個星期的商品銷售利潤f(x)表示成x的函數(shù);
(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大.
第15講 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值
考試說明 1.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件,會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次);會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).
2.會利用導數(shù)解決某些實際問題.
【課前雙基鞏固】
知識聚焦
1.(1)f(x)<0 f(x)>0 (2)f(x)>0 f(x)<0
2.(2)f(a) f(b) f(a) f(b)
對點演練
1.-3 [解析] f(x)=3x2-6x,
令f(x)=3x2-6x=0,得x1=0,x2=2.易知當x∈(-∞,0)時,f(x)>0;當x∈(0,2)時,f(x)<0;當x∈(2,+∞)時,f(x)>0.
故f(x)在x=2處取得極小值f(2)=8-12+1=-3.
2.16 [解析] 由f(x)=3x2-12=0,得x=2,易知x=-2為函數(shù)f(x)的極大值點,故函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值f(x)max=max{f(-2),f(3)}=max{16,-9}=16.
3.ln xx0時,有h(x)>0,h(x)為增函數(shù),
所以x=x0是h(x)的極小值點.故選B.
例2 [思路點撥] 先根據(jù)極值的定義求得a的值,再根據(jù)導數(shù)符號的變化規(guī)律確定極值.
A [解析] ∵x=1是函數(shù)f(x)=ax+ln x的極值點,∴f(1)=0,即a+11=0,∴a=-1,
∴f(x)=-1+1x=-x+1x,
∴當x>1時,f(x)<0,當00,因此f(x)有極大值f(1)=-1,故選A.
例3 [思路點撥] 函數(shù)f(x)有兩個極值點,等價于f(x)=0有兩個根,換元后利用一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系及判別式建立不等式(組)求解即可.
B [解析] ∵f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x,
∴f(x)=2(a+1)e2x-2ex+a-1.
∵f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有兩個極值點,
∴f(x)=0有兩個根.
設(shè)t=ex>0,則關(guān)于t的方程2(a+1)t2-2t+a-1=0有兩個正根,
可得a-12(a+1)>0,22(a+1)>0,4-8(a-1)(a+1)>0,解得10,所以函數(shù)f(x)在(-∞,c)與(e,+∞)上單調(diào)遞增;在(c,e)上,f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(c,e)上單調(diào)遞減.所以f(c)>f(a),①錯誤;函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值,②錯誤,③正確.故選A.
2.D [解析] f(x)的定義域是(0,+∞),f(x)=2x-ax=2x2-ax.因為f(x)在(0,+∞)上不存在極值點,所以2x2=a無正實數(shù)根,因為2x2>0,所以a≤0,故選D.
3.D [解析] ∵f(x)=2ef(e)x-1e,∴f(e)=2ef(e)e-1e,∴f(e)=1e,∴f(x)=2ln x-xe,f(x)=2x-1e.由f(x)=0,得x=2e,∴f(x)的極大值為f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,故選D.
4.B [解析] f(x)=3x2-a.
當a≤0時,f(x)≥0,f(x)無極值.
當a>0時,易得f(x)在x=-a3處取得極大值,則有f-a3=4,可得a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,則g(x)=3x2+(m-3).
當m-3≥0時,g(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在極小值.
當m-3<0時,易知g(x)在x=3-m3處取得極小值,
依題意有-3<3-m3<2,g3-m3≤m-1,解得-90),則h(x)=1-lnx-1x2=-lnxx2,
所以當00,h(x)單調(diào)遞增,當x>1時,h(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
因此h(x)max=h(1)=1,所以a+2≥1,可得a≥-1,
所以實數(shù)a的最小值為-1.
(2)f(x)=2ax-(a+2)+1x=(ax-1)(2x-1)x(x>0,a>0),由f(x)=0,得x=12或x=1a.
當a≥1時,1a≤1,因為x∈[1,e],所以f(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=-2,符合題意;
當1e0,
則g(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),
又g(-1)=1e>0,x→-∞時,g(x)→-∞,所以存在x0<-1,使g(x0)=0,
即ex0+ax0+a=0①,所以f(x0)=0,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,x0)上為減函數(shù),在(x0,+∞)上為增函數(shù),
則f(x)的最小值為f(x0)=x0ex0ex0+a=-1,即x0ex0=-ex0-a②.
聯(lián)立①②,可得x0=-2.
把x0=-2代入①,可得a=1e2,故選A.
例5 [思路點撥] (1)設(shè)直線EF與矩形ABCD交于M,N兩點,連接O1E,O2F,O1O2,則陰影部分的面積為矩形AO1O2B的面積減去三部分的面積,這三部分分別為梯形O1O2FE,扇形O1AE和扇形O2FB;(2)設(shè)∠AO1E=θ,θ∈0,π2,將修建費用表示為θ的函數(shù),即可利用導數(shù)求最小值.
解:(1)如圖所示,設(shè)直線EF與矩形ABCD交于M,N兩點,連接O1E,O2F,O1O2,則ME=20米,O1M=203米.
梯形O1O2FE的面積為12(120+80)203=20003(平方米),
矩形AO1O2B的面積為12040=4800(平方米),
易得∠AO1E=π6,則扇形O1AE和扇形O2FB的面積均為12π61600=400π3(平方米),
故陰影部分的面積為4800-20003-800π3平方米.
(2)設(shè)∠AO1E=θ,θ∈0,π2,則AE與BF的長都是40θ,
EF=120-240sin θ=120-80sin θ,
所以修建費用f(θ)=20080θ+400(120-80sin θ)=16 000(θ+3-2sin θ),
所以f(θ)=16 000(1-2cos θ).
令f(θ)=0,得θ=π3,
當θ變化時,f(θ),f(θ)的變化情況如下表:
θ
0,π3
π3
π3,π2
f(θ)
-
0
+
f(θ)
↘
極小值
↗
由上表可得,當θ=π3,即∠AO1E=π3時,f(θ)有極小值,也為最小值.
故當∠AO1E為π3時,修建費用最低.
變式題 解:(1)若商品單價降低x元,則一個星期增加的銷售量為kx2件,
由已知條件得k22=24,解得k=6,
則f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21].
(2)由(1)知f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).
令f(x)=0,解得x=2或x=12.
當x變化時,f(x)與f(x)的變化情況如下表:
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f(x)
-
0
+
0
-
f(x)
9072
↘
極小值
↗
極大值
↘
0
∴當x=12時,f(x)取得極大值;當x=2時,f(x)取得極小值.
∵f(0)=9072,f(12)=11 664,
∴當x=12時,f(x)max=11 664,
故定價為30-12=18(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大.
【備選理由】 例1主要考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值的個數(shù);例2是已知極值點的個數(shù)求參數(shù)取值范圍,并考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想及計算能力,屬于中檔題;例3的兩問都是利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題,而對于不等式恒成立問題要善于轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;例4為利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題.
例1 [配合例2使用] [2018丹東二模] 設(shè)f(x)=12x2-x+cos(1-x),則函數(shù)f(x) ( )
A.有且僅有一個極小值 B.有且僅有一個極大值
C.有無數(shù)個極值 D.沒有極值
[解析] A 由f(x)=12x2-x+cos(1-x),得f(x)=x-1+sin(1-x).
設(shè)g(x)=x-1+sin(1-x),則g(x)=1-cos(1-x)≥0,即g(x)為增函數(shù),
又g(1)=0,
所以當x∈(-∞,1)時,g(x)<0,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當x∈(1,+∞)時,g(x)>0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
又f(1)=0,
所以函數(shù)f(x)有且僅有一個極小值f(1).
故選A.
例2 [配合例3使用] 若函數(shù)f(x)=ax2+xln x有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是 .
[答案] -120),f(x)=ln x+1+2ax.令g(x)=ln x+1+2ax,因為函數(shù)f(x)=ax2+xln x有兩個極值點,所以g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個不相等的實數(shù)根.g(x)=1x+2a=1+2axx,
當a≥0時,g(x)>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,因此g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上不可能有兩個不相等的實數(shù)根,應舍去.
當a<0時,
由g(x)>0,得0-12a,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
所以當x=-12a時,函數(shù)g(x)取得極大值.要使g(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個不相等的實數(shù)根,
則g-12a=ln-12a>0,可得-122時,f(x)≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當a∈[0,1)時,函數(shù)g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x>2)有最小值,設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.
解:(1)因為f(x)=(x-4)ex-2+mx≥0對任意x∈(2,+∞)恒成立,
所以x-4xex-2≥-m對任意x∈(2,+∞)恒成立.設(shè)φ(x)=x-4xex-2=1-4xex-2,則φ(x)=1-4x+4x2ex-2=(x-2)2x2ex-2≥0,所以φ(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,
所以φ(x)>φ(2)=-1,則由題意得-m≤-1,即m≥1,
所以實數(shù)m的取值范圍為[1,+∞).
(2)對g(x)=ex-2-ax+a(x-2)2(x>2)求導,得g(x)=(x-4)ex-2+ax(x-2)3=x(x-4)ex-2x+a(x-2)3(x>2).
記F(x)=x-4xex-2+a(x>2),
由(1)知F(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,又F(2)=-1+a<0,F(4)=a≥0,
所以存在唯一正實數(shù)x0∈(2,4],使得F(x0)=x0-4x0ex0-2+a=0.
所以當x∈(2,x0)時,F(x)<0,g(x)<0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(2,x0)上單調(diào)遞減;
當x∈(x0,+∞)時,F(x)>0,g(x)>0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(x0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以g(x)在(2,+∞)上有最小值g(x0)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2,
由題設(shè)得h(a)=ex0-2-ax0+a(x0-2)2.
又因為-a=x0-4x0ex0-2,所以h(a)=1x0ex0-2.
令u(x)=1xex-2(20,函數(shù)u(x)在區(qū)間(2,4]上單調(diào)遞增,
所以u(2)0,V是增函數(shù);
當23
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通用版2020版高考數(shù)學大一輪復習
第15講
導數(shù)與函數(shù)的極值學案
新人教A版
通用版
2020
高考
數(shù)學
一輪
復習
15
導數(shù)
函數(shù)
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新人
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