（江蘇專用）2019高考數(shù)學二輪復習 解答題專項練1 立體幾何 理.docx

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1.立體幾何 1.(2018江蘇省金陵中學月考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，點M在棱PD上，AM⊥PD，點N是棱PC的中點，求證： (1) MN∥平面PAB； (2) AM⊥平面PCD. 證明　(1)因為在△PAD中，AP＝AD，AM⊥PD， 所以點M是棱PD的中點. 又點N是棱PC的中點， 所以MN是△PDC的中位線， 所以MN∥DC. 因為底面ABCD是矩形， 所以AB∥DC， 所以MN∥AB. 又AB?平面PAB, MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)因為平面PAD⊥平面ABCD, CD?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD， 所以CD⊥平面PAD. 又AM?平面PAD，所以CD⊥AM. 因為PD⊥AM，CD⊥AM, CD∩PD＝D，CD?平面PCD，PD?平面PCD， 所以AM⊥平面PCD. 2.已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝60，DC＝1，AD＝，PB＝PC，且M，N分別為BC，PA的中點. (1)求證：DN∥平面PBC； (2)求證：MN⊥BC. 證明　(1)取PB的中點E，連結NE，CE，AC， 因為ABCD是直角梯形，AB∥DC， ∠ABC＝60，DC＝1，AD＝， 易得AC＝CB＝AB＝2. 又N為PA的中點， 所以NE∥CD且NE＝CD， 所以四邊形CDNE是平行四邊形， 所以DN∥CE. 又CE?平面PBC，DN?平面PBC， 所以DN∥平面PBC. (2)連結AM，PM. 因為PB＝PC， 所以PM⊥BC， 因為AC＝AB， 所以AM⊥BC， 又AM∩PM＝M，AM，PM?平面PAM， 所以BC⊥平面PAM. 因為MN?平面APM， 所以MN⊥BC. 3.(2018揚州市邗江區(qū)模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90，BF＝FC，H為BC的中點. (1)求證：FH∥平面EDB； (2)求證：AC⊥平面EDB. 證明　(1)設AC與BD的交點為G，連結GE，GH， 如圖，以H為坐標原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系， 令BH＝1，則A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)， D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，G(0，－1,0)， ∴＝(0,0,1), 又∵＝(0,0,1)，∴∥， GE?平面EDB，HF?平面EDB， ∴FH∥平面EDB. (2)∵＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)， ∴＝0， ∴AC⊥GE. 又AC⊥BD，且GE?平面EDB，BD?平面EDB，GE∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. 4.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為棱A1C1和AB的中點. (1)求證：MN∥平面BCC1B1； (2)若平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且A1B1＝B1C1，求證：平面B1MN⊥平面ACC1A1. 證明　(1)方法一　如圖，設BC的中點為H，連結NH，HC1. 在△ABC中，因為N為AB的中點，所以NH∥AC，且NH＝AC， 在三棱柱ABC－A1B1C1中，因為AC∥A1C1，且AC＝A1C1，M為A1C1的中點， 所以MC1∥AC，且MC1＝AC， 所以NH∥MC1，且NH＝MC1， 所以四邊形MC1HN為平行四邊形，所以MN∥C1H， 又MN?平面BCC1B1，C1H?平面BCC1B1， 所以MN∥平面BCC1B1. 方法二　如圖2，在側面ACC1A1中，連結AM并延長交直線CC1于點Q，連結BQ.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥CC1，所以＝，因為M為A1C1的中點，所以M為AQ的中點.又因為N為AB中點，所以MN∥BQ，又MN?平面BCC1B1，BQ?平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1. 方法三　如圖3，取A1B1的中點O，連結OM，ON. 在△A1B1C1中，因為O，M分別為A1B1，A1C1的中點，所以OM∥B1C1. 因為OM?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，所以OM∥平面BCC1B1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB且A1B1＝AB，又因為O，N分別為A1B1，AB的中點，所以OB1∥NB，OB1＝NB，所以四邊形OB1BN為平行四邊形，所以ON∥B1B，又ON?平面BCC1B1，B1B?平面BCC1B1，所以ON∥平面BCC1B1. 因為OM∥平面BCC1B1，ON∥平面BCC1B1，OM∩ON＝O，OM?平面OMN，ON?平面OMN，所以平面OMN∥平面BCC1B1，又MN?平面OMN，所以MN∥平面BCC1B1. (2)因為A1B1＝B1C1, M為A1C1的中點，所以B1M⊥A1C1，因為平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，平面ACC1A1∩平面A1B1C1＝A1C1，B1M?平面A1B1C1，所以B1M⊥平面ACC1A1，又B1M?平面B1MN，所以平面B1MN⊥平面ACC1A1. 5.如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點. (1)若弧BC的中點為D，求證：AC∥平面POD； (2)如果△PAB的面積是9，求此圓錐的表面積. (1)證明　方法一　設BC∩OD＝E， ∵D是弧BC的中點， ∴E是BC的中點. 又∵O是AB的中點， ∴AC∥OE. 又∵AC?平面POD，OE?平面POD， ∴AC∥平面POD. 方法二　∵AB是底面圓的直徑， ∴AC⊥BC. ∵弧BC的中點為D， ∴OD⊥BC. 又AC，OD共面， ∴AC∥OD. 又AC?平面POD，OD?平面POD， ∴AC∥平面POD. (2)解　設圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l， ∵圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形， ∴h＝r，l＝r. 由S△PAB＝2rh＝r2＝9，得r＝3， ∴S表＝πrl＋πr2＝πrr＋πr2＝9(1＋)π. 6.已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD為正方形，頂點S在底面ABCD上的射影為其中心O，高為，設E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點，且SE＝2，M為CD邊上的點. (1)求證：EF∥平面SAD； (2)試確定點M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD. (1)證明　取SB的中點P，連結PF，PE. ∵F為SC的中點， ∴PF∥BC，又底面ABCD為正方形， ∴BC∥AD，即PF∥AD， 又PE∥SA，PE∩PF＝P，SA∩AD＝A， ∴平面PFE∥平面SAD. ∵EF?平面PFE， ∴EF∥平面SAD. (2)解　連結AC，AC的中點即為點O，連結SO， 由題意知SO⊥平面ABCD， 取OC的中點H，連結FH，則FH∥SO， ∴FH⊥平面ABCD， ∴平面EFH⊥平面ABCD，連結EH并延長， 則EH與DC的交點即為M點. 連結OE， 由題意知SO＝，SE＝2. ∴OE＝1，AB＝2，AE＝1， ∴＝＝， ∴MC＝AE＝CD， 即點M在CD邊上靠近C點距離為的位置.