沖刺2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 核心考點特色突破 專題16 圓錐曲線的基本量問題（含解析）.doc

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專題16 圓錐曲線的基本量問題 【自主熱身，歸納總結(jié)】 1、雙曲線－＝1的漸近線方程為________． 【答案】： x2y＝0　 把雙曲線方程中等號右邊的1換為0，即得漸近線方程． 該雙曲線的漸近線方程為－＝0，即x2y＝0. 2、 已知橢圓C的焦點坐標為F1(-4，0)，F(xiàn)2(4，0)，且橢圓C過點A(3，1)，則橢圓C的標準方程為 ． 【解析】 AF1+ AF2=，橢圓C的標準方程為． 3、在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C與雙曲線x2－＝1有公共的漸近線，且經(jīng)過點P(－2，)，則雙曲線C的焦距為________． 【答案】. 4　 解法1 與雙曲線x2－＝1有公共的漸近線的雙曲線C的方程可設(shè)為x2－＝λ，又它經(jīng)過點P(－2，)，故4－1＝λ，即λ＝3，所以雙曲線C的方程為－＝1，故a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4. 解法2 因為雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝x，且雙曲線C過點P(－2，)，它在漸近線y＝－x的下方，而雙曲線C與x2－＝1具有共同的漸近線，所以雙曲線C的焦點在x軸上，設(shè)所求的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，從而解得從而c＝2，故雙曲線C的焦距為4. 4、若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是 ． 【解析】 由，得． 【變式2】、已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點F是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點，且直線PQ經(jīng)過焦點F，則該橢圓的離心率為________． 【答案】 －1 　解法1　由拋物線方程可得，焦點為F；由橢圓方程可得，上焦點為(0，c)．故＝c，將y＝c代入橢圓方程可得x＝.又拋物線通徑為2p，所以2p＝＝4c，所以b2＝a2－c2＝2ac，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1. 解法2　由拋物線方程以及直線y＝可得，Q.又＝c，即Q(2c，c)，代入橢圓方程可得＋＝1，化簡可得e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2，e2＝3＋2＞1(舍去)，即e＝＝－1(負值舍去)． 解后反思 本題是典型的在兩種曲線的背景下對圓錐曲線的幾何性質(zhì)的考查．這類問題首先要明確不同曲線的幾何性質(zhì)對應(yīng)的代數(shù)表示．本題有兩個解法，解法1將直線y＝c與拋物線、橢圓相交所得弦長求出后，利用等量關(guān)系求離心率，其所得等量關(guān)系比解法2簡單． 【變式3】、如圖，已知過橢圓的左頂點作直線交軸于點，交橢圓于點，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為 . 【答案】： 思路分析1：由于，故可將Q點的坐標用A，P的坐標表示出來，利用點Q在橢圓上，得到關(guān)于的一個等式關(guān)系，求出橢圓的離心率。 解法1因為是等腰三角形，所以，故，又，所以，由點在橢圓上得，解得，故離心率。 思路分析2：由于點Q是直線AP與橢圓的交點，故將直線AP方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，求出點Q的坐標，再由得到點Q的坐標，由此得到關(guān)于的一個等式關(guān)系，求出橢圓的離心率。 解法2 因為是等腰三角形，所以，故設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立并消去得：，從而，即，又由，得，故，即，故。 【關(guān)聯(lián)1】、在平面直角坐標系xOy中，設(shè)直線l：x＋y＋1＝0與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線都相交且交點都在y軸左側(cè)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是________． 【答案】. (1，)　 【解析】：雙曲線的漸近線為y＝x，y＝－x，依題意有－>－1，即bb>0)上，P到橢圓C的兩個焦點的距離之和為4. (1) 求橢圓C的方程； (2) 若點M，N是橢圓C上的兩點，且四邊形POMN是平行四邊形，求點M，N的坐標． 規(guī)范解答 (1)由題意知，＋＝1,2a＝4. (2分) 解得a2＝4，b2＝3，所以橢圓的方程為＋＝1. (4分) (2) 解法1 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則ON的中點坐標為，PM的中點坐標為. 因為四邊形POMN是平行四邊形，所以即(6分) 由點M，N是橢圓C上的兩點， 所以(8分) 解得或 (12分) 由得由得 所以點M，點N(2,0)；或點M(－2,0)， 點N.(14分) 解法2 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為四邊形POMN是平行四邊形，所以＝＋， 所以(x2，y2)＝＋(x1，y1)，即(6分) 由點M，N是橢圓C上的兩點， 所以 (8分) 用②－①得x1＋2y1＋2＝0，即x1＝－2－2y1， 代入(1)中得3(－2－2y1)2＋4y＝12，整理得2y＋3y1＝0，所以y1＝0或y1＝－，于是或(12分) 由得由得 所以點M，點N(2,0)；或點M(－2,0)， 點N.(14分) 解法3 因為四邊形POMN是平行四邊形，所以＝， 因為點P，所以|MN|＝|OP|＝＝，且kMN＝kOP＝，(6分) 設(shè)直線MN方程為y＝x＋m(m≠0)， 聯(lián)立得3x2＋3mx＋m2－3＝0，(*) 所以Δ＝(3m)2－43(m2－3)>0，即m2－12<0，從而m∈(－2，0)∪(0,2)， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－m，x1x2＝，(8分) 且|MN|＝|x1－x2|＝＝＝， 又知|MN|＝，所以＝， 整理得m2－9＝0，所以m＝3或m＝－3.(12分)