中考數(shù)學(xué) 考前小題狂做 專題25 矩形菱形與正方形（含解析）.doc

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矩形菱形與正方形 1．下列說法正確的是（　　） A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．矩形的對(duì)角線互相垂直 C．一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 D．四邊相等的四邊形是菱形 2. 如圖，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，當(dāng)CA′的長度最小時(shí)，CQ的長為（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 3. 已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A（5，0），OB=4，點(diǎn)P是對(duì)角線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D（0，1），當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ） A. （0，0） B.（1，） C.（，） D.（，） 4. 如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對(duì)角線均交于點(diǎn)O，且EG∥BC，將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，折痕MN恰好過點(diǎn)G若AB=，EF=2，∠H=120，則DN的長為（　　） A． B． C．﹣D．2﹣ 5. 下列說法： ①三角形的三條高一定都在三角形內(nèi) ②有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 ③有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 ④兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 ⑤一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 其中正確的個(gè)數(shù)有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 6. 如圖，CB=CA，∠ACB=90，點(diǎn)D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，給出以下結(jié)論：①AC=FG；②;③∠ABC=∠ABF；④,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7． 如圖，四邊形ABCD是菱形，，，于H，則DH等于 A． B． C．5 D．4 第9題圖 A B C D H 8． 矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)△CDE的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（　?。? A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2） 9． 下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　?。? A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線互相垂直 D．鄰邊互相垂直 10． 如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN，再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE．若AB的長為2，則FM的長為（　　） A．2 B． C． D．1 參考答案 1. 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定． 【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)與平行四邊形的判定定理求解即可求得答案． 【解答】解：A、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、矩形的對(duì)角線相等，菱形的對(duì)角線互相垂直；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、兩組組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、四邊相等的四邊形是菱形；故本選項(xiàng)正確． 故選． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定以及平行四邊形的判定．注意掌握各特殊平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵． 2.【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，梯形，軸對(duì)稱（折疊），等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題． 【分析】如下圖所示，由題意可知，△ABC為等邊三角形；過C作CH⊥AB，則AH=HB；連接DH；要使CA′的長度最小，則梯形APQD沿直線PQ折疊后A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′應(yīng)落在CH上，且對(duì)稱軸PQ應(yīng)滿足PQ∥DH；因?yàn)锽P=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7. 【解答】解：如圖，過C作CH⊥AB，連接DH； ∵ABCD是菱形，∠B=60 ∴△ABC為等邊三角形； ∴AH=HB==4； ∵BP=3， ∴HP=1 要使CA′的長度最小，則梯形APQD沿直線PQ折疊后A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′應(yīng)落在CH上，且對(duì)稱軸PQ應(yīng)滿足PQ∥DH； 由作圖知，DHPQ為平行四邊形 ∴DQ=HP= 1， CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正確的答案為：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，梯形，軸對(duì)稱（折疊），等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題．本題作為選擇題，不必直接去計(jì)算，通過作圖得出答案是比較便捷的方法。弄清在什么情況下CA′的長度最?。ㄏ喈?dāng)于平移對(duì)稱軸）是解決本題的關(guān)鍵. 3. 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，，軸對(duì)稱——最短路線問題，三角形相似，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問題． 【分析】點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，連接AD，交OB于點(diǎn)P，P即為所求的使CP+DP最短的點(diǎn)；連接CP，解答即可. 【解答】解：如圖，連接AD，交OB于點(diǎn)P，P即為所求的使CP+DP最短的點(diǎn)；連接CP，AC，AC交OB于點(diǎn)E，過E作EF⊥OA，垂足為F. ∵點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A， ∴CP=AP， ∴AD即為CP+DP最短； ∵四邊形OABC是菱形， OB=4， ∴OE=OB=2，AC⊥OB 又∵A（5，0）， ∴在Rt△AEO中，AE===； 易知Rt△OEF∽△OAE ∴= ∴EF===2， ∴OF===4. ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為E（4，2） 設(shè)直線OE的解析式為：y=kx，將E（4，2）代入，得y=x， 設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b，將A（5，0），D（0，1）代入，得y=－x+1， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程組 y=x， y=－x+1， 解得 x=， y= ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，） 故選D. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系，，軸對(duì)稱——最短路線問題，三角形相似，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)問題．關(guān)于最短路線問題：在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)（注：本題C，D位于OB的同側(cè)）．如下圖： 解決本題的關(guān)鍵：一是找出最短路線，二是根據(jù)一次函數(shù)與方程組的關(guān)系，將兩直線的解析式聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo). 4. 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【分析】延長EG交DC于P點(diǎn)，連接GC、FH，則△GCP為直角三角形，證明四邊形OGCM為菱形，則可證OC=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位線定理CM+DN=2GP，即可得出答案． 【解答】解：長EG交DC于P點(diǎn)，連接GC、FH；如圖所示： 則CP=DP=CD=，△GCP為直角三角形， ∵四邊形EFGH是菱形，∠EHG=120， ∴GH=EF=2，∠OHG=60，EG⊥FH， ∴OG=GH?sin60=2=， 由折疊的性質(zhì)得：CG=OG=，OM=CM，∠MOG=∠MCG， ∴PG==， ∵OG∥CM， ∴∠MOG+∠OMC=180， ∴∠MCG+∠OMC=180， ∴OM∥CG， ∴四邊形OGCM為平行四邊形， ∵OM=CM， ∴四邊形OGCM為菱形， ∴CM=OG=， 根據(jù)題意得：PG是梯形MCDN的中位線， ∴DN+CM=2PG=， ∴DN=﹣； 故選：C． 5. 【考點(diǎn)】矩形的判定；三角形的角平分線、中線和高；全等三角形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】根據(jù)三角形高的性質(zhì)、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四邊形的判定方法即可解決問題． 【解答】解：①錯(cuò)誤，理由：鈍角三角形有兩條高在三角形外． ②錯(cuò)誤，理由：有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形不一定是矩形，有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形． ③正確，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形． ④錯(cuò)誤，理由兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等． ⑤錯(cuò)誤，理由：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形有可能是等腰梯形． 正確的只有③， 故選A． 6. 答案：D 考點(diǎn)：三角形的全等，三角形的相似，三角形、四邊形面積的計(jì)算。 解析： ∵CA=CB, ∠C=∠CBF=90 ∴∠ABC=∠ABF=45,故?正確 ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90 ∴△ACD∽△FEQ ∴AC∶AD=FE∶FQ ∴ADFE=AD=FQAC,故④正確 7. 【答案】A. 【解析】 試題分析：如圖，四邊形ABCD是菱形，，，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OA=4，OB=3，由勾股定理可得AB=5，再由即可求得DH=,故答案選A. 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì). 8. 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問題． 【分析】如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接CH與AB的交點(diǎn)為E，此時(shí)△CDE的周長最小，先求出直線CH解析式，再求出直線CH與AB的交點(diǎn)即可解決問題． 【解答】解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接CH與AB的交點(diǎn)為E，此時(shí)△CDE的周長最?。? ∵D（，0），A（3，0）， ∴H（，0）， ∴直線CH解析式為y=﹣x+4， ∴x=3時(shí)，y=， ∴點(diǎn)E坐標(biāo)（3，） 故選：B． 9.【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【分析】菱形的性質(zhì)有：四邊形相等，兩組對(duì)邊分別平行，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相垂直且平分，且每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角． 矩形的性質(zhì)有：兩組對(duì)邊分別相等，兩組對(duì)邊分別平行，四個(gè)內(nèi)角都是直角，對(duì)角線相等且平分． 【解答】解：（A）對(duì)角線相等是矩形具有的性質(zhì)，菱形不一定具有； （B）對(duì)角線互相平分是菱形和矩形共有的性質(zhì)； （C）對(duì)角線互相垂直是菱形具有的性質(zhì)，矩形不一定具有； （D）鄰邊互相垂直是矩形具有的性質(zhì)，菱形不一定具有． 故選：C． 10. 【分析】根據(jù)翻折不變性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值． 【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處， ∴FB=AB=2，BM=1， 則在Rt△BMF中， FM=， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了翻折變換的性質(zhì)，適時(shí)利用勾股定理是解答此類問題的關(guān)鍵．