高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 蘇教版選修2-2.doc

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3.3　復(fù)數(shù)的幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點難點 1．能知道復(fù)平面、實軸、虛軸等概念． 2．能用復(fù)平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復(fù)數(shù)以及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系． 3．能知道復(fù)數(shù)模的概念，會求復(fù)數(shù)的模． 4．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減法的幾何意義. 重點：1.理解并掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減法的幾何意義，并能適當(dāng)應(yīng)用． 2．復(fù)數(shù)的模． 難點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減法的幾何意義. 1．復(fù)平面 (1)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做______．x軸叫做________，y軸叫做________．實軸上的點都表示________．除原點外，虛軸上的點都表示________． (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，可以用復(fù)平面內(nèi)的點Z________來表示，也可以用向量________來表示，三者的關(guān)系如下： (3)為方便起見，常把復(fù)數(shù)z＝a＋bi說成點Z或向量，并且規(guī)定，相等的向量表示________復(fù)數(shù)． 預(yù)習(xí)交流1 做一做：復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i對應(yīng)的點在虛軸上，則實數(shù)a的值為________． 預(yù)習(xí)交流2 做一做：復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第________象限． 2．復(fù)數(shù)的模(或絕對值) (1)________的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或絕對值)，記作|z|或|a＋bi|. (2)如果z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝|a＋bi|＝______. 預(yù)習(xí)交流3 做一做：若對于實數(shù)x，y，復(fù)數(shù)x＋yi的模都為3，則點(x，y)的軌跡方程是__________． 3．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義 (1)加法的幾何意義 設(shè)向量，分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)對應(yīng)，且，不共線．如下圖，以，為兩條鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ所表示的向量就是與復(fù)數(shù)(a＋c)＋(b＋d)i對應(yīng)的向量． (2)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di相對應(yīng)．且，不共線，如下圖，則這兩個復(fù)數(shù)的差z1－z2與向量－(即)對應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義． 實際上，在平面向量中已有向量的幾何解釋，同復(fù)數(shù)減法的幾何解釋是一致的． (3)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則|z1－z2|＝________________，即兩個復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點間的________． 預(yù)習(xí)交流4 做一做：在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為__________． 在預(yù)習(xí)中還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學(xué)困點 我的學(xué)疑點 答案： 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1．(1)復(fù)平面　實軸　虛軸　實數(shù)　純虛數(shù)　(2)(a，b)　　(3)同一個 預(yù)習(xí)交流1：提示：∵復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在虛軸上， ∴a2－2a＝0，即a＝0或a＝2. 預(yù)習(xí)交流2：提示：z＝＝＝－i，對應(yīng)點為，在第四象限． 2．(1)向量　(2) 預(yù)習(xí)交流3：提示：∵|x＋yi|＝＝3， ∴x2＋y2＝9. 3．(3)　距離 預(yù)習(xí)交流4：提示：－3－2i 一、復(fù)數(shù)的幾何意義 實數(shù)x分別為什么值時，復(fù)數(shù)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i表示的點 (1)在實軸上？ (2)在虛軸上？ 思路分析：本題需弄清實軸、虛軸及實軸上數(shù)的特點、虛軸上數(shù)的特點，抓住特點完成． 1．在復(fù)平面內(nèi)，點A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是－3＋2i,1－4i，則線段AB的中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________． 2．復(fù)數(shù)z＝－2i－1，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第__________象限． 確定復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的位置時，關(guān)鍵是理解好復(fù)數(shù)與該點的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的實部就是該點的橫坐標(biāo)，復(fù)數(shù)的虛部就是該點的縱坐標(biāo)，據(jù)此可建立復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程或不等式求解． 二、有關(guān)復(fù)數(shù)模的問題 已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z. 思路分析：常規(guī)解法：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，求出a，b.也可以巧妙地利用|z|∈R，移項后得到復(fù)數(shù)的實部，再取?？傻藐P(guān)于|z|的方程，求解即可． 1．(2012湖南高考)已知復(fù)數(shù)z＝(3＋i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________. 2．已知復(fù)數(shù)z＝a＋i(0＜a＜2)，則|z|的取值范圍是__________． 3．已知復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，若復(fù)數(shù)z的虛部為，且|z|＝2，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則復(fù)數(shù)z＝__________. z為復(fù)數(shù)，但|z|為實數(shù)，復(fù)數(shù)相等的定義即實部與實部相等，虛部與虛部相等．需明確誰是實部，誰是虛部，同時，把復(fù)數(shù)z看作整體的方法值得借鑒． 三、復(fù)數(shù)加減法幾何意義的應(yīng)用 已知平行四邊形ABCD的頂點A、B、D對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i、4＋3i、－1＋3i. 試求：(1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)； (2)對應(yīng)的復(fù)數(shù)； (3)點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)． 思路分析：利用復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義進(jìn)行求解． 1．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋i，－1＋3i，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________． 2．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N. (1)指出集合P在復(fù)平面上表示的圖形； (2)求集合P中復(fù)數(shù)模的最大值和最小值． 向量加法、減法運算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù)．利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù)．注意向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB－zA(終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點對應(yīng)的復(fù)數(shù))． 1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝cos 3＋isin 3對應(yīng)的點位于第__________象限． 2．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z滿足|z＋1|＝|z－i|，則z所對應(yīng)的點的集合構(gòu)成的圖形是__________． 3．已知復(fù)數(shù)z＝(1－i)(2－i)，則|z|的值是__________． 4．在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為__________． 5．在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝(m－3)＋2i的點在直線y＝x上，則實數(shù)m的值為__________． 6．定義運算＝(a＋d)－(c＋b)，則符合條件＝0的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第______象限． 提示：用最精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識記. 知識精華 技能要領(lǐng) 答案： 活動與探究1：解：(1)當(dāng)x2－2x－15＝0， 即x＝－3或x＝5時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在實軸上． (2)當(dāng)x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在虛軸上． 遷移與應(yīng)用： 1．－1－i　解析：由已知A(－3,2)，B(1，－4)， ∴AB的中點為(－1，－1)， ∴AB中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－i. 2．三　解析：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(－1，－2)，該點位于第三象限． 活動與探究2：解法一：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i. ∴解得 ∴z＝－15＋8i. 解法二：原式可化為z＝2－|z|＋8i. ∵|z|∈R，∴2－|z|是z的實部． 于是|z|＝， 即|z|2＝68－4|z|＋|z|2. ∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i. 遷移與應(yīng)用： 1．10　解析：∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝32＋12＝10. 2．(1，)　解析：|z|＝|a＋i|＝. ∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5， ∴1＜|z|＜. 3．－1＋i　解析：由已知得， ∴. 又∵復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第二象限， ∴a＝－1，即z＝－1＋i. 活動與探究3：解：(1)設(shè)坐標(biāo)原點為O， 則有＝－， 所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i. (2)＝－， 所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(4＋3i)－(－1＋3i)＝5. 因為ABCD是平行四邊形， 所以＝. 由(1)知＝－2＋2i， 而＝－， 所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－2＋2i)＋(4＋3i)＝2＋5i， 這就是點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)． 遷移與應(yīng)用： 1．4－2i　解析：依題意有＝＝－， 所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i. 2．解：(1)由|z－1|≤1可知，集合M在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點集是以點E(1,0)為圓心，1為半徑的圓的內(nèi)部及邊界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N的軌跡是以點(1,1)和(2,0)為端點的線段的垂直平分線l，因此集合P是圓截直線l所得的一條線段AB，如圖所示． (2)圓方程為x2＋y2－2x＝0，直線l的方程為y＝x－1，解方程組 得A，B， 所以|OA|＝，|OB|＝.點O到直線l的距離為，且過O向l引垂線，垂足在線段BE上，＜，故集合P中復(fù)數(shù)模的最大值為，最小值為. 當(dāng)堂檢測 1．二　解析：由已知得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(cos 3，sin 3)， 而cos 3＜0，sin 3＞0，∴點(cos 3，sin 3)在第二象限． 2．以(－1,0)和(0,1)為端點的線段的垂直平分線 3．　解析：z＝(1－i)(2－i)＝1－3i， ∴|z|＝＝. 4．－3－4i　解析：＝－＝－＝(－1－3i)－(2＋i)＝－3－4i. 5．9　解析：復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為(m－3,2)， 由已知得m－3＝2，∴m＝9. 6．一　解析：由定義得(z＋1－i)－(1－2i＋1＋2i)＝0，z－1－i＝0， ∴z＝1＋i，對應(yīng)點為(1,1)，故z對應(yīng)的點在第一象限．