中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 解答重難點(diǎn)題型突破 題型五 幾何圖形探究題試題.doc

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題型五　幾何圖形探究題 類型一　幾何圖形靜態(tài)探究 1．(xx成都)問(wèn)題背景：如圖①，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝∠BAC＝60，于是＝＝； 遷移應(yīng)用：如圖②，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD. ①求證：△ADB≌△AEC； ②請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式； 拓展延伸：如圖③，在菱形ABCD中，∠ABC＝120，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF. ①證明△CEF是等邊三角形； ②若AE＝5，CE＝2，求BF的長(zhǎng). 2．(xx許昌模擬)在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上(不含點(diǎn)B)，∠BPE＝∠ACB，PE交BO于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點(diǎn)G. (1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖①)，求證：△BOG≌△POE； (2)通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想：＝__________，并結(jié)合圖②證明你的猜想； (3)把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變(如圖③)，若∠ACB＝α，求的值．(用含α的式子表示) 3．(xx河南)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 如圖①，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE. 填空： ①∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_________； ②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________． (2) 拓展探究 如圖②，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． (3)解決問(wèn)題 如圖③，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離. 4．(xx長(zhǎng)春改編)【再現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，可以得到：DE∥BC，且DE＝BC.(不需要證明) 【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明； 【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：__________.(只添加一個(gè)條件) (2)如圖③，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若AO＝OC，四邊形ABCD面積為5，求陰影部分圖形的面積. 5．(xx新鄉(xiāng)模擬)問(wèn)題背景：已知在△ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A，B不重合)，同時(shí)，點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合)，連接DE交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn)，求的值． (1)初步嘗試 如圖①，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過(guò)點(diǎn)D做DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，先證GH＝AH.再證GF＝CF，從而求得的值為_(kāi)_________； (2)類比探究 如圖②，若在△ABC中，∠ABC＝90，∠ADH＝∠BAC＝30，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度之比是∶1，求的值； (3)延伸拓展 如圖③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36，記＝m，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，試用含m的代數(shù)式表示的值(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)解答過(guò)程) . 類型二　幾何圖形動(dòng)態(tài)探究 1．(xx河南)如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90，BC＝2AB＝8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α. (1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) ①當(dāng)α＝0時(shí)，＝__________；②當(dāng)α＝180時(shí)，＝__________； (2)拓展探究 試判斷：當(dāng)0≤α＜360時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖②的情形給出證明． (3)問(wèn)題解決 當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng)． 2．已知，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC. (1)如圖①，已知∠AOB＝150，∠BOC＝120，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得△ADC. ①∠DAO的度數(shù)是__________； ②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明； (2)設(shè)∠AOB＝α，∠BOC＝β. ①當(dāng)α，β滿足什么關(guān)系時(shí)，OA＋OB＋OC有最小值？請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出符合條件的圖形，并說(shuō)明理由； ②若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，直接寫(xiě)出OA＋OB＋OC的最小值. 3．(xx 河南)如圖①，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中∠C＝90，∠B＝∠E＝30. (1)操作發(fā)現(xiàn) 如圖②，固定△ABC，使△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空： ①線段DE與AC的位置關(guān)系是__________； ②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是__________； (2) 猜想論證 當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想； (3) 拓展探究 已知∠ABC＝60，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E(如圖④)，若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF＝S△BDC，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的BF的長(zhǎng). 4．(xx鄭州模擬)【問(wèn)題情境】 數(shù)學(xué)課上，李老師提出了如下問(wèn)題：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，將射線DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α與過(guò)點(diǎn)A且平行于BC邊的直線交于點(diǎn)E.請(qǐng)判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系． 小穎在小組合作交流中，發(fā)表自己的意見(jiàn)：“我們不妨從特殊情況下獲得解決問(wèn)題的思路，然后類比到一般情況．”小穎的想法獲得了其他成員一致的贊成． 【問(wèn)題解決】 (1)如圖①，當(dāng)α＝60時(shí)，判斷BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系； 解法如下：過(guò)D點(diǎn)作AC的平行線交BC于F，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)推理使問(wèn)題得到解決，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：__________. 【類比探究】 (2)如圖②，當(dāng)α＝45時(shí)，請(qǐng)判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明； (3)如圖③，當(dāng)α為任意銳角時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：__________.(用含α的式子表示，其中0＜α＜90) 5．(xx煙臺(tái))【操作發(fā)現(xiàn)】 (1)如圖①，△ABC為等邊三角形，現(xiàn)將三角板中的60角與∠ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0且小于30)，旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D，在三角板斜邊上取一點(diǎn)F，使CF＝CD，線段AB上取點(diǎn)E，使∠DCE＝30，連接AF，EF. ①求∠EAF的度數(shù)； ②DE與EF相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由； 【類比探究】 (2)如圖②，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90，先將三角板的90角與∠ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0且小于45)，旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D，在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F，使CF＝CD，線段AB上取點(diǎn)E，使∠DCE＝45，連接AF，EF，請(qǐng)直接寫(xiě)出探究結(jié)果： ①求∠EAF的度數(shù)； ②線段AE，ED，DB之間的數(shù)量關(guān)系． 題型五　第22題幾何圖形探究題 類型一　幾何圖形靜態(tài)探究 1．遷移應(yīng)用：①證明：∵∠BAC＝∠DAE＝120， ∴∠DAB＝∠CAE， 在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC; 　　　,圖②) ②解：結(jié)論：CD＝AD＋BD. 理由：如解圖①，作AH⊥CD于H. ∵△DAB≌△EAC，∴BD＝CE， 在Rt△ADH中，DH＝ADcos30＝AD， ∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE， ∵CD＝DE＋EC＝2DH＋BD＝AD＋BD； 拓展延伸：①證明：如解圖②，作BH⊥AE于H，連接BE. ∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120，∴△ABD，△BDC是等邊三角形，∴BA＝BD＝BC， ∵E、C關(guān)于BM對(duì)稱， ∴BC＝BE＝BD＝BA，F(xiàn)E＝FC，∴A、D、E、C四點(diǎn)共圓， ∴∠ADC＝∠AEC＝120，∴∠FEC＝60， ∴△EFC是等邊三角形， ②解：∵AE＝5，EC＝EF＝2， ∴AH＝HE＝2.5，F(xiàn)H＝4.5， 在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30， ∴＝cos30，∴BF＝＝3. 2．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90， ∵PF⊥BG，∠PFB＝90， ∴∠GBO＝90－∠BGO，∠EPO＝90－∠BGO，∴∠GBO＝∠EPO， 在△BOG和△POE中，，∴△BOG≌△POE(ASA)； (2)解：猜想＝. 證明：如解圖①，過(guò)P作PM∥AC交BG于M，交BO于N， ∴∠PNE＝∠BOC＝90，∠BPN＝∠OCB. ∵∠OBC＝∠OCB＝45，∴∠NBP＝∠NPB，∴NB＝NP. ∵∠MBN＝90－∠BMN，∠NPE＝90－∠BMN，∴∠MBN＝∠NPE， 在△BMN和△PEN中，， ∴△BMN≌△PEN(ASA)，∴BM＝PE. ∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，∴∠BPF＝∠MPF. ∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90. 在△BPF和△MPF中， ，∴△BPF≌△MPF(ASA). ∴BF＝MF. 即BF＝BM.∴BF＝PE.即＝； (3)解：如解圖②，過(guò)P作PM∥AC交BG于點(diǎn)M，交BO于點(diǎn)N， ∴∠BPN＝∠ACB＝α，∠PNE＝∠BOC＝90. 由(2)同理可得BF＝BM，∠MBN＝∠EPN， ∴△BMN∽△PEN，∴＝. 在Rt△BNP中，tanα＝， ∴＝tanα，即＝tanα，∴＝. 3．解：(1)∵△ACB和△DCE均為等邊三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60，∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60. ∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝120，∴∠BEC＝120，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60； ②∴AD＝BE； (2)∠AEB＝90，AE＝BE＋2CM. 理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90.∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45. ∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上， ∴∠ADC＝135，∴∠BEC＝135，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90. ∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME. ∵∠DCE＝90，∴DM＝ME＝CM， ∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM； (3)點(diǎn)A到BP的距離為或. 理由如下：∵PD＝1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上． ∵∠BPD＝90，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)． ①當(dāng)點(diǎn)P在如解圖①所示位置時(shí)， 連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H， 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝45.AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90.∴BD＝2. ∵DP＝1，∴BP＝. ∵∠BPD＝∠BAD＝90，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上， ∴∠APB＝∠ADB＝45.∴△PAE是等腰直角三角形． 又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP， ∴由(2)中的結(jié)論可得：BP＝2AH＋PD. ∴＝2AH＋1.∴AH＝； ②當(dāng)點(diǎn)P在如解圖②所示位置時(shí)， 連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H， 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E， 同理可得：BP＝2AH－PD.∴＝2AH－1.∴AH＝. 綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或. 4．解：【探究】平行四邊形． 理由：如解圖①，連接AC， ∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF＝AC， 同理HG∥AC，HG＝AC， 綜上可得：EF∥HG，EF＝HG， 故四邊形EFGH是平行四邊形． 【應(yīng)用】(1)添加AC＝BD， 理由：連接AC，BD，同(1)知，EF＝AC， 同【探究】的方法得，F(xiàn)G＝BD， ∵AC＝BD，∴EF＝FG， ∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴?EFGH是菱形； (2)如解圖②，由【探究】得，四邊形EFGH是平行四邊形， ∵F，G是BC，CD的中點(diǎn)， ∴FG∥BD，F(xiàn)G＝BD，∴△CFG∽△CBD，∴＝，∴S△BCD＝4S△CFG， 同理：S△ABD＝4S△AEH， ∵四邊形ABCD面積為5，∴S△BCD＋S△ABD＝5，∴S△CFG＋S△AEH＝，同理：S△DHG＋S△BEF＝， ∴S四邊形EFGH＝S四邊形ABCD－(S△CFG＋S△AEH＋S△DHG＋S△BEF)＝5－＝， 設(shè)AC與FG，EH相交于M，N，EF與BD相交于P， ∵FG∥BD，F(xiàn)G＝BD，∴CM＝OM＝OC，同理：AN＝ON＝OA， ∵OA＝OC，∴OM＝ON， 易知，四邊形ENOP，F(xiàn)MOP是平行四邊形，S?EPON＝S?FMOP， ∴S陰影＝S四邊形EFGH＝. 5．解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴△AGD是等邊三角形，∴AD＝GD， 由題意知：CE＝AD，∴CE＝GD， ∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF， 在△GDF與△CEF中， ∴△GDF≌△CEF(AAS)，∴CF＝GF， ∵DH⊥AG，∴AH＝GH， ∴AC＝AG＋CG＝2GH＋2GF＝2(GH＋GF)＝2HF， ∴＝2； (2)如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G， 則∠ADG＝∠ABC＝90. ∵∠BAC＝∠ADH＝30，∴AH＝DH，∠GHD＝∠BAC＋∠ADH＝60， ∠HDG＝∠ADG－∠ADH＝60，∴△DGH為等邊三角形． ∴GD＝GH＝DH＝AH，AD＝GDtan60＝GD. 由題意可知，AD＝CE.∴GD＝CE. ∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF. 在△GDF與△CEF中，， ∴△GDF≌△CEF(AAS)，∴GF＝CF. GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF，∴HF＝AC，即＝2； (3)＝.理由如下： 如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G， 易得AD＝AG，AD＝EC，∠AGD＝∠ACB. 在△ABC中，∵∠BAC＝∠ADH＝36，AB＝AC， ∴AH＝DH，∠ACB＝∠B＝72，∠GHD＝∠HAD＋∠ADH＝72. ∴∠AGD＝∠GHD＝72， ∵∠GHD＝∠B＝∠HGD＝∠ACB，∴△ABC∽△DGH.∴＝＝m，∴GH＝mDH＝mAH. 由△ADG∽△ABC可得＝＝＝m. ∵DG∥BC，∴＝＝m.∴FG＝mFC. ∴GH＋FG＝m(AH＋FC)＝m(AC－HF)，即HF＝m(AC－HF)．∴＝. 類型二　幾何圖形動(dòng)態(tài)探究 1．解：(1)①當(dāng)α＝0時(shí)， ∵Rt△ABC中，∠B＝90， ∴AC＝＝＝4， ∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)， ∴AE＝42＝2，BD＝82＝4，∴＝＝. ②如解圖①，當(dāng)α＝180時(shí)，可得AB∥DE， ∵＝，∴＝＝＝； (2)當(dāng)0≤α＜360時(shí)，的大小沒(méi)有變化， ∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB， 又∵＝＝， ∴△ECA∽△DCB，∴＝＝； (3)①當(dāng)D在AE上時(shí)，如解圖②，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD， ∴AD＝＝＝＝8， ∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90， ∴四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4； ②當(dāng)D在AE延長(zhǎng)線上時(shí)，如解圖③，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P， ∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD， ∴AD＝＝＝＝8， ∵原圖中點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)， ∴DE＝AB＝(82)＝4＝2，∴AE＝AD－DE＝8－2＝6，由(2)可得＝，∴BD＝＝. 綜上所述，BD的長(zhǎng)為4或. 2．解：(1)①∵∠AOB＝150，∠BOC＝120，∴∠AOC＝90， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OCD＝60，∠ADC＝∠BOC＝120， ∴∠DAO＝360－60－90－120＝90； ②線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2＋OB2＝OC2. 如解圖①，連接OD.∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得△ADC， ∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60. ∴CD＝OC， ∴△OCD是等邊三角形， ∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60， ∵∠AOB＝150，∠BOC＝120，∴∠AOC＝90， ∴∠AOD＝30，∠ADO＝60.∴∠DAO＝90. 在Rt△ADO中，∠DAO＝90，∴OA2＋AD2＝OD2， ∴OA2＋OB2＝OC2； (2)①當(dāng)α＝β＝120時(shí)，OA＋OB＋OC有最小值．作圖如解圖②， 將△AOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得△A′O′C，連接OO′. ∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′＝∠ACA′＝60. ∴O′C＝OC，O′A′＝OA，A′C＝AC，∠A′O′C＝∠AOC.∴△OCO′是等邊三角形． ∴OC＝O′C＝OO′，∠COO′＝∠CO′O＝60. ∵∠AOB＝∠BOC＝120，∴∠AOC＝∠A′O′C＝120. ∴∠BOO′＝∠OO′A′＝180.∴B，O，O′，A′四點(diǎn)共線． ∴OA＋OB＋OC＝O′A′＋OB＋OO′＝BA′時(shí)值最?。? ②當(dāng)?shù)冗叀鰽BC的邊長(zhǎng)為1時(shí)，OA＋OB＋OC的最小值為A′B＝. 3．解：(1)①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC＝CD， ∵∠BAC＝90－∠B＝90－30＝60， ∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60， 又∵∠CDE＝∠BAC＝60，∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC； ②∵∠B＝30，∠C＝90，∴CD＝AC＝AB， ∴BD＝AD＝AC， 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)， 即S1＝S2； (2)∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC＝CE，AC＝CD， ∵∠ACN＋∠BCN＝90，∠DCM＋∠BCN＝180－90＝90， ∴∠ACN＝∠DCM， ∵在△ACN和△DCM中，， ∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN＝DM， ∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)， 即S1＝S2； (3)如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形， ∴BE＝DF1，且BE、DF1上的高相等，此時(shí)S△DCF1＝S△BDE； 過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD， ∵∠ABC＝60，F(xiàn)1D∥BE，∴∠F2F1D＝∠ABC＝60， ∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30，∠F2DB＝90，∴∠F1DF2＝∠ABC＝60， ∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1＝DF2， ∵BD＝CD，∠ABC＝60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)， ∴∠DBC＝∠DCB＝60＝30， ∴∠CDF1＝180－∠BCD＝180－30＝150， ∠CDF2＝360－150－60＝150，∴∠CDF1＝∠CDF2， ∵在△CDF1和△CDF2中，， ∴△CDF1≌△CDF2(SAS)，∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)， ∵∠ABC＝60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB， ∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝60＝30， 又∵BD＝4， ∴BE＝ED＝4cos30＝2＝， ∴BF1＝，BF2＝BF1＋F1F2＝＋＝， 故BF的長(zhǎng)為或. 4．解：(1)當(dāng)α＝60時(shí)，△ABC、△DCE是等邊三角形， ∴EC＝DC，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BDC和△AEC中，， ∴△BDC≌△AEC(SAS)，∴BD＝AE； (2)BD＝AE； 理由如下：如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于F. ∵DF∥AC，∴∠ACB＝∠DFB. ∵∠ABC＝∠ACB＝α，α＝45，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB＝45. ∴△DFB是等腰直角三角形∴BD＝DF＝BF. ∵AE∥BC，∴∠ABC＋∠BAE＝180. ∵∠DFB＋∠DFC＝180，∴∠BAE＝∠DFC. ∵∠ABC＋∠BCD＝∠ADC，∠ABC＝∠CDE＝α，∴∠ADE＝∠BCD. ∴△ADE∽△FCD.∴＝. ∵DF∥AC，∴＝.∴＝＝.∴BD＝AE. (3)補(bǔ)全圖形如解圖②，∵AE∥BC，∠EAC＝∠ACB＝α，∴∠EAC＝∠EDC＝α， ∴A、D、C、E四點(diǎn)共圓，∴∠ADE＝∠ACE， ∵∠ADE＋∠EDC＝∠ADC＝∠ABC＋∠BCD，∠ABC＝∠EDC＝α， ∴∠ADE＝∠BCD，∴∠ACE＝∠BCD， ∵∠ABC＝∠EAC＝α，∴△BDC∽△AEC，∴＝， 又∵＝2cosα，∴BD＝2cosαAE. 5．解：(1)①∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝60， ∵∠DCF＝60，∴∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD(SAS)， ∴∠CAF＝∠B＝60，∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝120； ②相等；理由如下： ∵∠DCF＝60，∠DCE＝30， ∴∠FCE＝60－30＝30，∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中，， ∴△DCE≌△FCE(SAS)，∴DE＝EF； (2)①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45， ∵∠DCF＝90，∴∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中，， ∴△ACF≌△BCD(SAS)，∴∠CAF＝∠B＝45，AF＝BD， ∴∠EAF＝∠BAC＋∠CAF＝90； ②AE2＋DB2＝DE2；理由如下： ∵∠DCF＝90，∠DCE＝45，∴∠FCE＝90－45＝45，∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中，， ∴△DCE≌△FCE(SAS)，∴DE＝EF， 在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2， 又∵AF＝DB，∴AE2＋DB2＝DE2.